Flusso Massimo Applicazione di algoritmi Esercizio 1 Sia dato la seguente rete di flusso, in cui la sorgente è il nodo 1 e la destinazione è il nodo 6. I valori riportati vicino agli archi sono le capacità superiori 8 2 4 11 7 5 3 1 6 3 9 14 8 3 5 6 Si determini il flusso massimo applicando l’algoritmo MCP, che usa cammini aumentanti di massima capacità. (continua)
Ad ogni iterazione mostrare: il grafo residuo relativo al flusso corrente; l’albero dei cammini di massima capacità sul suddetto grafo residuo; il cammino aumentante determinato e la sua capacità; il nuovo valore del flusso. Al termine dell’ultima iterazione, mostrare il flusso di valore massimo (cioè il vettore x dei flussi sugli archi) e il taglio minimo ottenuti. Nota: non si richiede di applicare nessuno specifico algoritmo per la ricerca dell’albero dei cammini di massima capacità.
Nuova rete incrementale 11 8 Iterazione 1 8 2 4 11 7 5 3 ∞ 1 6 3 8 9 14 8 3 5 6 8 8 Cammino aumentante trovato: (1,2,4,5,6). Capacità: 8. Nuovo valore del flusso: 8 Nuova rete incrementale 2 4 3 8 7 5 8 3 ∞ 1 6 3 8 1 6 8 3 5 8 6
6 6 Iterazione 2 2 4 3 8 7 5 8 3 ∞ 1 6 3 8 6 1 6 8 3 5 8 6 8 6 Capacità del cammino aumentante (1,3,5,4,6) trovato: 6 Nuovo valore del flusso: 14 Nota: si può usare l’arco (5,6) invece di (4,6), ottenendo il cammino aumentante (1,3,5,6), sempre con capacità 6. Nuovo grafo residuo 2 4 3 6 8 5 8 3 ∞ 1 1 6 3 2 7 6 6 2 3 5 8 6
Iterazione 3 3 3 2 4 3 8 6 5 8 3 ∞ 1 1 6 3 7 2 3 6 6 2 8 3 5 6 3 3 Capacità del cammino aumentante trovato: 3 Nuovo valore del flusso: 17 Nuovo grafo residuo 2 4 6 8 2 11 3 ∞ 1 1 6 3 5 4 6 3 3 2 3 5 11 6
Iterazione 4 2 2 2 4 6 8 2 11 3 ∞ 1 1 6 3 5 2 4 6 3 3 2 3 5 11 6 2 2 Capacità del cammino aumentante trovato: 2 Nuovo valore del flusso: 19 Nuovo grafo residuo: non ci sono altri cammini aumentanti. Il taglio minimo individuato è Ns= {1}, Nt = {2,3,4,5,6} 2 4 6 8 11 3 ∞ 1 1 6 3 7 2 8 1 5 3 5 13 6
Ricostruzione del flusso x 2 4 6 8 11 3 ∞ 1 1 6 3 7 2 8 1 5 3 5 13 6 Il valore del flusso su ciascun arco corrisponde alla capacità degli archi “inversi” (quelli rossi); riportiamo i valori sul grafo originale 8 8 2 4 11 11 7 6 5 5 3 1 3 6 3 7 9 14 13 8 8 3 5 6 6