Filtro di Kalman Filtro di Kalman … se si impiega anche la conoscenza del modello del sistema, si perviene al Filtro di Kalman Filtro di Kalman

È possibile costruire un filtro ricorsivo che prenda in ingresso tutte le misure disponibili e combini tra loro le informazioni contenute in ciascun dato, compresa la conoscenza del modello dello strumento che lo ha fornito Il temine ricorsivo è fondamentale per un’implementazione al calcolatore del filtro di Kalman, esso indica infatti che l’algoritmo non richiede la memorizzazione e la rielaborazione di tutta la storia dei dati ogni volta che è disponibile una nuova misura Filtro di Kalman

Stima dello stato basata su modello del sistema La conoscenza degli ingressi (controlli) e uscite (misure) può essere utilizzata per effettuare una stima dello stato del sistema Filtro di Kalman

Filtro di Kalman – fonti incertezza Le fonti di incertezza sul modello del sistema o incertezza di modello derivano dalla non completa conoscenza di tutte le variabili che influiscono sulla sua dinamica e da scostamenti dal modello matematico spesso semplificato. Le fonti di incertezza sulle misure comprendono: - la non perfetta conoscenza di quali sono le relazioni tra le variabili di stato e le uscite misurate (incertezza di modello degli strumenti) – effetti principalmente modificanti - l’incertezza dovuta agli errori casuali e sistematici – effetti principalmente interferenti Filtro di Kalman – fonti incertezza

Filtro di Kalman - ipotesi Sotto le seguenti ipotesi il filtro di Kalman fornisce una stima ottima dello stato: - il sistema sia descritto da un modello lineare il rumore associato al sistema e alle misure sia bianco e Gaussiano (ovvero a media nulla, con densità di potenza spettrale distribuita uniformemente su tutta la banda di frequenze e con distribuzione di probabilità Normale, e non correlato nelle sua realizzazione ovvero non c’è correlazione tra un suo campione ed il successivo!) Filtro di Kalman - ipotesi

Filtro di Kalman – ipotesi di linearità Il modello di sistema lineare è giustificabile per varie ragioni. - spesso un modello lineare si adatta bene allo scopo - in presenza di non linearità, l’approccio ingegneristico più utilizzato è quello della linearizzazione del modello attorno a una qualche configurazione del sistema, ad esempio un punto o una traiettoria - la teoria dei sistemi lineari è molto più completa e pratica di quelli non lineari Esistono dei metodi per estendere l’applicazione del filtro di Kalman ai sistemi non lineari qualora essi dovessero rivelarsi inadeguati: Filtro di Kalman esteso Filtro di Kalman – ipotesi di linearità

Filtro di Kalman – ipotesi di rumore bianco L’ipotesi di rumore bianco implica che i valori di rumore non sono correlati tra di loro nel tempo. In pratica, se si conosce quanto vale il rumore all’istante attuale, ciò non aggiunge nessuna informazione ai fini di una previsione su quale sarà il suo valore in un altro istante. Inoltre un rumore bianco ha uno spettro con uguale densità di potenza per tutte le frequenze, ciò implica che un tale segnale ha potenza infinita!, pertanto un rumore bianco non può esistere in natura Poiché però ogni sistema fisico ha una banda passante limitata nello spazio delle frequenze ed è tipicamente affetto da un rumore a larga banda, dal punto di vista del sistema è equivalente ad assumere che vi sia rumore bianco Filtro di Kalman – ipotesi di rumore bianco

Filtro di Kalman – ipotesi di rumore bianco Se invece all’interno della banda passante del sistema il rumore non ha densità spettrale uniforme, oppure è correlato nel tempo, attraverso un filtro aggiuntivo è possibile riprodurre, partendo da un rumore bianco, qualsiasi forma di rumore correlato (il filtro consiste in un sistema lineare chiamato “shaping filter”). Tale filtro viene poi aggiunto alla dinamica del sistema. Filtro di Kalman – ipotesi di rumore bianco

Filtro di Kalman – ipotesi di rumore gaussiano Mentre l’attributo “bianco” per un rumore è riferito alle sue caratteristiche temporali (o di frequenza), l’attributo “Gaussiano” è riferito alla sua ampiezza. Cioè, per ogni singolo istante temporale, la densità di probabilità dell’ampiezza di un rumore Gaussiano ha la nota forma di una campana. Questa assunzione è giustificata in senso fisico dal fatto che, tipicamente, vi è un gran numero di piccole sorgenti che contribuiscono a creare il rumore di misura. Questo fenomeno è descritto dal teorema del limite centrale: all’aumentare del numero di variabili casuali indipendenti che si sommano tra loro, qualora non ve ne sia nessuna preponderante, qualunque sia la distribuzione di probabilità di ciascuna, la distribuzione di probabilità della somma tende ad essere quella Gaussiana Filtro di Kalman – ipotesi di rumore gaussiano

Filtro di Kalman – modello sistema lineare

Filtro di Kalman – modello sistema discreto

L’ipotesi di base per il filtro di Kalman in cui si assume che il rumore del processo di evoluzione dello stato e il rumore di misura siano a media nulla e temporalmente scorrelati si traduce rispettivamente con le equazioni è la stima dello stato all’istante k condizionata alle sole informazioni ottenute fino all’istante k-1 è detta previsione di un passo in avanti. Tale simbologia viene impiegata da ora in avanti

Si calcola la previsione: Si assume che al passo k-esimo siano noti i seguenti parametri: la stima la covarianza condizionata Si calcola la previsione:

Si calcola l’aggiornamento: Scarto tra misura e previsione della misura Dove, la matrice di Kalman: NOTA: la previsione è generata dal filtro utilizzando il modello di evoluzione del misurando l’aggiornamento fa uso del modello di misura

Filtro di Kalman – schema ricorsivo

Filtro di Kalman – filtraggio Bayesiano! Si calcoli l’aggiornamento per un semplice caso scalare: Dove, la matrice di Kalman: (combinazione Bayesiana della misura z e della previsione x) Si noti anche che se misura e previsione sono uguali non c’è aggiornamento Filtro di Kalman – filtraggio Bayesiano!

Abbiamo visto i fondamenti dell’applicazione del teorema di Bayes e del filtro di Kalman, per la combinazione delle informazioni, ora vediamo un esempio concreto di SENSOR FUSION! Teorema di Bayes

Esempio di applicazione (veicoli mobili) 1° STEP (a & b) 1° STEP (c) Odometers Gyro Laser Triangulating Scanner 2° STEP - No drift - Limited repeatability (motion, poor environment, …) - Smooth updates - Drift 1 & 2° STEP: Smooth updates & no drift Esempio di applicazione (veicoli mobili)

Sensor Fusion Delay Comp. Esempio di applicazione

Esempio di applicazione Si fondono i dati all’istante Ts e poi si somma la variazione di posa e l’accumulo di covarianza Laser Scan data Tl LS_NAV computation time Ts2 = (n+m)Tl Data Fusion To Odometric estimation time Ts1 = nTl Tcomp = nTl+ kTo Esempio di applicazione

Esempio di applicazione – stima incertezza laser L’incertezza del LS_NAV è funzione della velocità angolare che provoca un degrado della mappa dovuto al moto del veicolo sovrapposto al moto di scansione del raggio laser : velocità lineare ed angolare Esempio di applicazione – stima incertezza laser

Esempio di applicazione In evidence initial guess of pose and searching fields of possible solutions derived from computed covariance given as an input to the LS_NAV algorithm Esempio di applicazione

Esempio di applicazione – assetto fuso Assetto fuso e relativo intervallo di confidenza Esempio di applicazione – assetto fuso

Esempio di applicazione – compensazione deriva

SLAM Simultanea localizzazione e mappatura di veicoli autonomi in ambiente non strutturato

Ambiente in cui il robot opera Strutturato: Ingegnerizzazione dell’ambiente Bassa flessibilità Conoscenza a priori della mappa Non strutturato: Non necessita di infrastrutture Alta flessibilità Costruzione mappa in tempo reale Passi fondamentali per interagire con ambiente non-strutturato: - navigazione e propagazione incertezza mediante sistemi di misura autocontenuti - autolocalizzazione mediante landmark naturali - fusione tra navigazione incrementale e quella riferita all’ambiente - mappatura dell’ambiente stesso METODI E PROBLEMATICHE AFFRONTATE: (contiene un riassunto del lavoro) Inquadramento ai veicoli autonomi Inquadramnto della tesi: SLAM (Simultaneous Localization And Map Building), ovvero la disponibilità di sistemi che permettano la mappatura e la localizza- zione da parte di un veicolo autonomo per la navigazione in ambienti sconosciuti. E’ possibile per un veicolo che si trova in un ambiente sconosciuto, costruire una mappa dell’ambiente e contemporaneamente usare quest’ultima per localizzarsi? Ambiente strutturato/non strutturato ingegnerizzazione dell’ambiente Icertezza cenni alla propagazione e significati Mappatura introduzione e significato Localizzazione introduzione e significato Importanza SLAM nel senso delle enormi applicazioni in robotica. Ambiente in cui il robot opera

Veicolo e strumentazione Veicolo a guida differenziale - Sistema di acquisizione PXI LabView RTOS - 2 Encoder incrementali : no:4000 - Laser a scansione IR [SICK PLS-101] : Tempo di volo Risoluzione angolare max: 0.5° Campo di scansione: (0°,180°) Distanza massima: 50 m Accuratezza = f(orientazione,materiali) Parametro Incertezza Range distanze 5 cm 7-50 m angoli 0.1 ° 0-180 ° Descrizione del veicolo e degli strumenti a disposizione: veicolo a guida differenziale Sistema di acquisizione PXI NationalInstrument Sistema di misura odometrico Lase scanner PLS-101 acquisire le informazioni sulle caratteristiche dell’ambiente e sulle entit`a che circondano il robot attraverso il processo di misura; elaborare tali informazioni per ottenere una rappresentazione del- lo spazio circostante, dando un significato alle informazioni tenen- do conto dell’incertezza dei sensori. Veicolo e strumentazione

Propagazione incertezza odometrica Equazione cinematica di ricorrenza: Parametri incerti: Parametro Valore Nominale µ Deviazione standard σ RR 89.50 mm 0.14 mm RL L 0.5 mm b Equazione cinematica di ricorrenza(PLS): [x,y,δ] δ PLS RR ΔLS b θLS αi,j RL Covarianza della posa: Propagazione dell’incertezza relativa agli encoder [De Cecco M., Baglivo L., Angrilli F., IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, June 2007] Covariana relativa alla posa, spiegazione dei vari termini della ricorrenza: - Jacobiano Matrice deviazione standard parametri incerti storia della propagazione Elissoidi che rappresentano l’incertezza relativa alla POSA riferiti al sistema di misura laser Propagazione incertezza: Propagazione incertezza odometrica

Mappatura

Sono stati fatti compiere al veicolo 2 giri del laboratorio per verificare i metodi sviluppati

Sono stati fatti compiere al veicolo 2 giri del laboratorio per verificare i metodi sviluppati: filmato che mostra l’ambiente, il veicolo ed una tecnica di determinazione del percorso mediante scansioni e gestione del grafo delle profondità