SUPERFICIE NELLO SPAZIO, FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES LORO AREA. FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES

Argomenti della lezione Superficie nello spazio. Loro area Formule della divergenza e di Stokes

SUPERFICIE NELLO SPAZIO. LORO AREA

Già abbiamo incontrato le superficie in R3 come grafico di una funzione. Converrà presentare altri modi per descrivere una superficie; precisamente ci occuperemo della loro rappresentazione implicita come superficie di livello di una funzione f(x,y,z) e della loro rappresentazione parametrica

x = ( u , v ) y z ì í ï î con x(u,v), y(u,v), z(u,v) funzioni definite sulla chiusura di un aperto connesso E  R2, che supporremo sufficientemente regolari: tipicamente di classe C1(E)

Cominciamo ad occuparci delle superficie in forma implicita. Sia Dunque data una funzione f: A  R3  R, che supporremo sufficientemente regolare: solitamente funzione di classe C1(A) Per il teorema di Dini sulle funzioni implicite sappiamo che se f(x0,y0,z0) = 0 e fz(x0,y0,z0) ≠ 0, allora esistono un intorno U di (x0,y0) e uno V di z0, tali che l’insieme dei punti che soddisfano l’equazione f(x,y,z) = 0 e che stanno

in U  V è il grafico di una funzione z = g(x,y), definita su U e a valori in V, di classe C1(U) Dunque, sotto ipotesi di sufficiente regolarità, un’equazione f(x,y,z) = 0 è in grado di descrivere una superficie in R3 Determiniamo l’equazione del piano tangente a una superficie implicitamente definita in un suo punto (x0,y0,z0)T

Consideriamo una curva regolare che giace sulla superficie e che passa per il punto (x0,y0,z0)T Tale curva abbia equazioni parametriche x = x(t), y = y(t), z = z(t). Deve accadere che F(t) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0 per ogni t in [0,1] e, per esempio, x(0) = x0 , y(0) = y0 e z(0) = z0 .

Poiché necessariamente F’(t) = 0, è, in particolare, F’(0) = 0; ma F’(0) = <grad f(x(0),y(0),z(0)), (x’(0),y’(0),z’(0))T > = 0 Dunque ogni vettore tangente alla superficie e passante per (x0,y0,z0)T è ortogonale a grad f(x0,y0,z0) Ma i vettori ortogonale a un assegnato vettore di R3 stanno tutti su uno stesso piano.

Ñ f ( x , y z ), - ) = Questo piano si dice il piano tangente alla superficie in (x0,y0,z0)T Dunque l’equazione del piano tangente alla superficie f(x,y,z) = 0 in (x0,y0,z0)T è in termini vettoriali Ñ f ( x , y z ), - ) T =

ossia, esplicitamente: (∂xf)0(x-x0) + (∂yf)0(y-y0) + (∂zf)0(z-z0) = 0 Dove (∂xf)0 indica la derivata parziale di f rispetto a x calcolata in (x0,y0,z0)T e notazioni analoghe per le altre derivate parziali. Il vettore grad f(x0,y0,z0) è normale alla superficie f(x,y,z) = 0 nel punto (x0,y0,z0)T

Supponiamo ora che una superficie  sia data in forma parametrica : E  R2  R3 con (u,v)  E e (u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )T Diremo che la superficie  è regolare se è di classe C1(E) e inoltre la matrice jacobiana ha caratteristica massima, cioè 2, in ogni punto interno di E.

x y z æ è ç ö ø ÷ Esempi di questa situazione sono: v æ è ç ö ø ÷ Esempi di questa situazione sono: (u,v) = (R sen u cos v, R sen u sen v, R cos u)T , E = [0, π]  [0, 2π] : (sfera di centro l’origine e raggio R)

Una superficie si dirà semplice se (u1,v1)T ≠ (u2,v2)T implica (u1,v1) ≠ (u2,v2) quando almeno uno dei due punti è interno ad E Consideriamo una superficie regolare semplice e un punto (u0,v0)T  E. Al variare di u in modo che (u,v0)T  E otteniamo una linea d’equazione (u, v0) che giace su  e passa per (u0, v0). Analogamente troveremo

una linea d’equazione (u0, v) che giace su  e passa per (u0, v0). Tali linee si diranno linee coordinate della superficie passanti per x0 = (u0, v0). Per le ipotesi fatte sul rango della matrice jacobiana, sappiamo che i due vettori u(u0, v0) e v(u0, v0) sono linearmente indipendenti e sono tangenti alla superficie. Il vettore u(u0, v0) v(u0, v0) è ortogonale a  V

L’equazione del piano tangente si ottiene sviluppando il determinante x - y z u ( , v ) =

Se, in particolare, la superficie è data in forma cartesiana, x = u, y = v, z = f(u,v), il vettore normale è (1,0,fu)T (0,1,fv)T = V N = - fu e1 - fv e2 + e3 Il vettore ha norma |N| = √[1+|grad f|2] Il versore normale è n = N/|N|

Vogliamo ora occuparci del problema della definizione dell’area di una superficie regolare. Il problema non è banale, poiché l’idea intuitiva di approssimare una superficie con tratti di superficie triangolare, prendendo il sup di queste aree, non è praticabile. Infatti semplici esempi mostrano come anche un cilindro possa essere avvolto con carta sufficientemente “increspata” in modo che il sup sia +∞

d | s = j Partendo dall’osservazione che l’area di un parallelogramma delimitato da due vettori a e b è data dal modulo del prodotto vettoriale di a e b, definiremo elemento d’area sulla superficie  come segue d s = | j u v V Cioè d  = |N| dudv

òò A ( S ) = 1 + | Ñ f d x y òò A ( S ) = | j d N Data una superficie regolare semplice  d’equazione  : E  R2  R3 definiremo area della superficie il valore del seguente integrale V A ( S ) = | j u E òò v d N Se  è data in forma cartesiana esplicita E A ( S ) = 1 + | Ñ f 2 d x y òò

ò A ( S ) = R sen u d v 4 p Se  è la sfera di centro l’origine e raggio R, avente l’equazione parametrica già ricordata, si trova d  = R2 sen u dudv , con 0 ≤ u ≤ π e 0 ≤ v ≤ 2 π. L’area è A ( S ) = R 2 sen u d v 4 p ò

ò x = d s l ( ) Supponiamo che sia data una linea nel piano x z, x ≥ 0, d’equazione (u) = (x(u),z(u))T , u  [a,b] . Se facciamo rotare questa linea intorno all’asse z di un angolo   ]0,2 π] , otteniamo una figura di rotazione. Ricordiamo che x = d s g ò l ( )

dà l’ascissa del baricentro della curva  . L’equazione della superficie di rotazione è (u,v) = (x(u) cos v,x(u) sen v,z(u))T con E = [a,b]  [0,] u(u0, v0) v(u0, v0) = (- x(u)z’(u) cos v, -x(u)z’(u) sen v, x(u) x’(u) )T V e il modulo è

A ( S ) = a × x l g òò ò A ( S ) = | ¢ g u d v a x s | j ´ = ¢ x ( ) + 2 ( ) + z g Ma A ( S ) = | ¢ g u d v a x s ò E òò Cioè A ( S ) = a × x l g

A ( S ) = a × x l g Quanto abbiamo appena enunciato è il Primo teorema di Pappo-Guldino L’area di una superficie di rotazione ottenuta rotando di un angolo   ]0,2 π] attorno all’asse z una curva regolare semplice  è data da A ( S ) = a × x l g dove x è l’ascissa del baricentro di (I)

L’area del toro ottenuto rotando intorno all’asse z un cerchio di raggio r nel piano x z , cerchio a distanza R > r con centro sull’asse x è A(T) = 2π R (2π r) = 4 π2 R r

R + r x z

z E x

Sia E un dominio del piano x, z , con x ≥ 0, e lo si faccia rotare di un angolo   ]0,2 π] , intorno all’asse z. Vogliamo determinare il volume del solido di rotazione S generato da E. Sia D = E  [0,] e sia F: D  S data da F(u,v,w) = (u cos w, u sen w, v)T che ha determinante jacobiano = u > 0

òò ò = d w u v a x m = a × x m ( E ) òòò V ( S ) = 1 d x y z u v w Allora V ( S ) = 1 d x y z u v w D òòò = d w u v a x m E ò òò = a × x m ( E ) dove x è l’ascissa del baricentro del dominio E . Dunque abbiamo

Secondo teorema di Pappo - Guldino Il volume di un solido di rotazione S ottenuto rotando di un angolo   ]0,2 π] , intorno all’asse z un dominio E, contenuto nel piano x, z, con x ≥ 0 è dato da V(S) =  x m(E) dove x è l’ascissa del baricentro geometrico di E.

Applicato al toro, questo teorema ci dà il volume V(T) = 2πR π r2 = 2π2 R r2

FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES

Una superficie regolare  si può orientare localmente scegliendo come positivo uno dei due orientamenti possibili del vettore normale N o -N. In generale si potrà dire che è data, almeno localmente, un’orientazione positiva se in un intorno di uno stesso punto è assegnata un’orientazione dell vettore normale.

Il vettore normale, se la superficie è regolare, varia in modo continuo con il punto nel quale è calcolato. Se, al variare del punto sulla superficie n è una funzione continua su tutta la superficie, allora la superficie  si dice orientabile.

Sfortunatamente esistono superficie non orientabili quali il nastro di Möbius

) 2 1 ( , )) cos( v sen hu u z r y x × = + Il nastro di Möbius ha equazioni ) 2 1 ( , )) cos( v sen hu u z r y x × = + con 0 ≤ v ≤ 2π e -1 ≤ u ≤ 1, r > h

Ma molte superficie sono orientabili come la sfera o come le superficie che delimitano un dominio normale rispetto al piano x y. Data una funzione f : A  R3  R , f continua, e data una superficie regolare con sostegno  = (E)  A , definiremo l’integrale superficiale di f esteso a , come segue

| j = E × G - F òò f d s = ( j u , v )) | Se indichiamo con E = | u|2 , con G = | v|2, e con F = < u, v> si trova che | j u v = E × G - F 2 V

Sia dato un dominio regolare D normale rispetto al piano x y, delimitato da due superficie di classe C1(A), ,  : A  R2  R e sia Z(x,y,z) una funzione continua con la sua derivata rispetto a z su un aperto  contente D. Allora vale il seguente

Nelle ipotesi dette in precedenza, si ha Teorema (Formula di Gauss) Nelle ipotesi dette in precedenza, si ha Z z D òòò ( x , y ) d = á n e 3 ñ s + òò

òòò ò òò Z d x y = ( òò = Z ( x , y b )) d - a ) Qui si è scelta come positiva la normale esterna. Dalla formula di riduzione per corde si ha Z z D òòò d x y = ( a , ) b ò A òò = Z ( x , y b )) d - a ) A òò

òò = Z á n , ñ d s Più in generale, con procedimenti 3 ñ d s + òò Più in generale, con procedimenti analoghi, si può dimostrare che ( X x D òòò + Y y Z z ) d = á , T n e ñ s òò Lo scalare Xx + Yy + Zz si dice la divergenza del campo F = (X,Y,Z)T : div F

Dunque la divergenza di un campo su un dominio D uguaglia il flusso uscente dalla superficie laterale Infine abbiamo il teorema di Stokes

Teorema (Teorema di Stokes) Sia A un dominio nel piano x y avente frontiera A gen. reg. e orientata positivamente. Sia f(x,y) di classe C1(A)

Sia X(x,y,z) continua con le derivate Xy e Xz su un aperto contenente f(A). Allora vale s d e n X Xdx z y ) , ( 2 3 ñ á + - = òò ò S G dove  = f(A)

ò òò òò òò dxdy g gdx Xdx = - dxdy f X ) ( = + - s d e n X ) , ( ñ á + Infatti, posto g(x,y) = X(x,y f(x,y)), risulta gy = Xy + Xz fy Per Green A A dxdy g gdx Xdx y = - ò òò G dxdy f X A y z ) ( = + - òò s d e n X z y ) , ( 2 3 ñ á + - = òò

ò òò ñ á = + d n rotF Zdz Ydy Xdx , ) ( Se Y(x,y,z) e Z(x,y,z) soddisfano ipotesi analoghe con le loro derivate opportune, e la superficie è rappresentabile esplicitamente anche nelle variabili x, z e y, z, allora ò òò G ñ á = + s d n rotF Zdz Ydy Xdx , ) ( con F = (X,Y,Z)T

A A n  