SISTEMI D’EQUAZIONI ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

Argomenti della lezione Equazioni e sistemi d’equazioni differenziali ordinarie Sistemi d’equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui

EQUAZIONI E SISTEMI D’EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Mostreremo, per iniziare, che un’equazione differenziale d’ordine n è equivalente a un sistema d’equazioni differenziali del prim’ordine di n equazioni in n funzioni incognite. Sarà così plausibile la nostra affermazione che ogni sistema d’equazioni differenziali d’ordine qualsiasi è equivalente a un sistema d’equazioni del prim’ordine in un numero opportuno di funzioni incognite.

¢ y = f ( x , z ) g ì í î ï Un sistema d’equazioni differenziali di due equazioni in due funzioni incognite d’ordine 3 è per esempio il seguente (di forma normale: nel seguito per semplicità ci riferiremo a sistemi di forma normale.) ¢ y = f ( x , z ) g ì í î ï

y f ( x , y , y , , y ) = ¢ K Un’equazione d’ordine n, si scrive - 1 = ¢ K ed è in generale accompagnata da opportune condizioni iniziali o al contorno Mostriamo come si possa trasformare l’equazione data in un sistema equivalente di n equazioni del prim’ordine in n funzioni incognite

Facciamo le seguenti posizioni y 1 = 2 ¢ 3 K n ( - ) ì í ï î

¢ y = K f ( x , ) ì í ï î Allora l’equazione d’ordine n equivale al sistema del prim’ordine ¢ y 1 = 2 3 4 K n f ( x , ) ì í ï î

In generale, un sistema di n equazioni, ciascuna d’ordine m, è equivalente a un sistema di n.m equazioni del prim’ordine. Useremo la notazione Y per indicare un vettore colonna avente n componenti y1, … , yn. In questo modo un sistema di n equazioni del prim’ordine in n funzioni incognite, in forma normale, si scrive

¢ Y = F ( x , ) (1) in modo simile alla notazione di una sola equazione differenziale, dove

Y = y 1 2 M n æ è ç ö ø ÷ e

F ( x , Y ) = f 1 y K n 2 ì í ï î

¢ Y = A ( x ) × + B In particolare, se si tratta di un sistema d’equazioni lineari ¢ Y = A ( x ) × + B dove

B ( x ) = b 1 2 M n æ è ç ö ø ÷

e A ( x ) = a 11 12 K 1 n 21 22 2 æ è ç ö ø ÷

Qui i coefficienti bi(x) e aik(x) sono funzioni continue definite su un intervallo I (che può coincidere con tutto R) Il sistema (1) è, in generale, accompagnato da opportune condizioni iniziali; si vuole risolvere il Problema di Cauchy

¢ Y = F ( x , ) (1) (2) Y(x0)=Y0 con le condizioni iniziali Notiamo che la soluzione del pdC (1) + (2) si presta all’ interpretazione geometrica che già abbiamo messo in evidenza nella lezione introduttiva

Se la funzione F(x,Y) è continua, allora esiste una soluzione del pdC Se la funzione F(x,Y) è continua, allora esiste una soluzione del pdC. Se inoltre sono continue le derivate parziali delle componenti fi rispetto alle yk allora la soluzione locale è unica.

Si noti che se non sono soddisfatte le condizioni sulla continuità delle derivate parziali, la soluzione può non essere unica Esempio y’ = |y|1/2 y(x0) = y0 Dy |y|1/2 = 1/2 |y|-(1/2) sign (y)

Se y0 è ≠ 0, allora la derivata parziale è continua in un intorno di y0. Dunque la soluzione locale è unica. Ma se y0 = 0, non c’è continuità in alcun intorno di 0. In questo caso l’unicità può mancare.

y ( x ) = - + 2 æ è ç ö ø ÷ Se y0 > 0, allora la soluzione è data da y ( x ) = - + 2 æ è ç ö ø ÷ per x > x0

y ( x ) = - 2 -y æ è ç ö ø ÷ Se y0 < 0, allora la soluzione è data da y ( x ) = - 2 -y æ è ç ö ø ÷ per x < x0

y ( x ) = - 2 æ è ç ö ø ÷ Ma se y0 = 0, allora c’è una soluzione identicamente nulla, accanto alla soluzione y ( x ) = - 2 æ è ç ö ø ÷ per x > x0

e alla soluzione y ( x ) = - 2 æ è ç ö ø ÷ per x < x0

y x0 x Il pennello di Peano

SISTEMI D’EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE LINEARI A COEFFICIENTI CONTINUI

¢ Y = A ( x ) × + B (3) (4) Y(x0)=Y0 Ci occuperemo ora della soluzione del pdC relativo al sistema ¢ Y = A ( x ) × + B (3) Con le condizioni iniziali (4) Y(x0)=Y0

Se le funzioni bi(x) e aik(x) sono continue e definite su un intervallo I (che può essere tutto R) allora si può dimostrare che la soluzione esiste, è definita su tutto I ed è unica.

¢ Y = A ( x ) × (5) Accanto al sistema (3), detto completo, considereremo il sistema omogeneo ¢ Y = A ( x ) × (5) nel quale B(x)  0. Le soluzioni di (3) o di (5) sono funzioni definite su I a valori in Rn, necessariamente continue con derivata prima continua. Cioè

¢ Y - A ( x ) × (6) L(Y)= sono funzioni di classe C1(I,Rn). converrà considerare l’operatore differenziale associato a (3) o a (5) ¢ Y - A ( x ) × (6) L(Y)= Che a ogni funzione Y(x): I Rn associa Y’(x) - A(x) ×Y; questa è una funzione continua su I a valori in Rn. Cioè L è un’applicazione lineare da C1(I,Rn) a C0(I,Rn).

ker(L)  C1(I,Rn) è un sottospazio di Le soluzioni di (5) danno dunque il nucleo di L: ker(L). Teorema ker(L)  C1(I,Rn) è un sottospazio di di dimensione n di C1(I,Rn) . Ossia ker(L) è isomorfo a Rn.

N : k e r ( L ) ® R Si fissi un punto x0 in I e sia Y(x) una soluzione di (5). Allora Y(x0) è un vettore di Rn. Se Y1(x) ≠ Y2(x) allora Y1(x0) ≠ Y2(x0) per l’unicità della soluzione del pdC (5) + (4). Se poi Y0 è un arbitrario vettore di Rn esiste una soluzione di (5) + (4), per l’esistenza della soluzione del pdC corrispondente. L’applicazione N : k e r ( L ) ® R n

N Y x = ( ) definita da è un isomorfismo tra ker(L) e Rn. è un isomorfismo tra ker(L) e Rn. Infatti abbiamo verificato che è biiettiva; inoltre è lineare. Ma spazi vettoriali isomorfi hanno la stessa dimensione: dim ker(L) = n . Esistono dunque n funzioni linearmente indipendenti soluzioni di L(Y) = 0: Y1(x), Y2(x), .. , Yn(x).

Ogni soluzione di (5) è perciò una combinazione lineare delle precedenti funzioni Y1(x), Y2(x), .. , Yn(x). Si noti che, date n soluzioni di (5), se esse, calcolate in un punto x0, danno vettori lin. indipendenti di Rn, allora sono l.i. in ogni altro punto di I. Ciò è conseguenza dell’unicità della soluzione del pdC.

Y ( x ) = Z + Mostriamo ora che tutte le soluzioni del sistema completo (3) sono del tipo Y ( x ) = Z + dove Z(x) è una soluzione del sistema omogeneo e Y(x) è una Soluzione particolare di (3).

L ( Y - ) = B x Infatti Se poi abbiamo due soluzioni del + B x Se poi abbiamo due soluzioni del sistema completo Y(x) e Y(x) la loro differenza soddisfa L ( Y - ) = B x cioè Y(x) - Y(x) = Z(x) è una soluzione del sistema omogeneo.

Se Y1(x), Y2(x), .. , Yn(x) sono soluzioni l.i. del sistema omogeneo, si dice che formano un insieme (o sistema) fondamentale di soluzioni del sistema (5). La matrice U(x) le cui colonne sono date da Y1(x), Y2(x), .. , Yn(x) l. i., si dice una matrice fondamentale Si noti che se det U(x0) ≠ 0 allora det U(x) ≠ 0 per ogni x in I.

Evidentemente per la matrice fondamentale U(x) vale l’equazione U’(x) - A(x) ×U(x) = 0 La soluzione generale del sistema omogeneo L(Y) = 0, è una combinazione lineare dell’insieme fondamentale:

Y(x) = c1Y1(x)+c2Y2(x)+ .. +cnYn(x) = =U(x) ×(c1, c2, .. , cn)T Il metodo della variazione delle costanti suggerisce di cercare per (3) una soluzione della forma Y(x) = U(x) ×Z(x)

(U’(x) - A(x) × U(x) )× Z(x)+ Si trova U’(x) × Z(x) + U(x) × Z’(x) = = A(x) × U(x) × Z(x) + B(x) E quindi (U’(x) - A(x) × U(x) )× Z(x)+ + U(x) × Z’(x) = B(x)

Ossia U(x) × Z’(x) = B(x) E finalmente Z’(x) = U(x)-1 × B(x)

ò ò Z ( x ) = U t × B d Y ( x ) = U t × B d Integrando - 1 t × B d ò E in conclusione Y ( x ) = U - 1 t × B d ò

Il metodo per trovare un integrale particolare del sistema completo sarà utile anche nel caso di una singola equazione lineare completa d’ordine n.