EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE ALTRI TIPI INTEGRABILI “PER QUADRATURA” .

Argomenti della lezione Ulteriori tipi d’equazioni del prim’ordine. Alcuni tipi d’equazioni del second’ordine.

ULTERIORI TIPI D’EQUAZIONI DEL PRIM’ORDINE

Equazioni differenziali lineari del prim’ordine. y’ = a(x)  y(x) + b(x) (4) con a(x) e b(x) funzioni continue definite su un intervallo I a valori in R. L’equazione (4) si dice anche equazione completa, mentre

y’ = a(x)  y(x) (5) si dice equazione omogenea associata alla (4). Se A(x) è una primitiva di a(x), allora la totalità delle soluzioni di (5) è data da y(x) = c  exp(A(x)) dove c è una costante reale arbitraria.

Infatti.. (calcoli a parte) Vale ora il seguente fatto generale (per le equazioni lineari): Se z(x) è una generica soluzione dell’omogenea e y(x) è una soluzione particolare dell’equazione completa, allora le funzioni del tipo –––– y(x) = z(x) + y(x) ––––

forniscono tutte le soluzioni dell’ equazione completa Dimostriamo che una soluzione particolare dell’eq. completa è data da y(x) =  e(A(x) - A(t))b(t) dt x x0

Dimostremo ciò utilizzando il metodo detto di “variazione delle costanti arbitrarie” Si cerca la soluzione y(x) nella forma y(x) = c(x) exp(A(x)) ... Allora si può concludere che la soluzione generale del problema di Cauchy per la (4)

 y(x0) = y0 y’(x) = a(x)y(x) + b(x)   è data da y(x) = c  e A(x) +  e(A(x) - A(t))b(t) dt x0 x

Esempio 1: y’ = y + x a(x) = 1, A(x) = x, b(x) = x. Soluzione: y(x) = c  ex - x -1 + ex Esempio 2: y’ = (1/x)  y + (1/x2) a(x) = (1/x), A(x) = log x, b(x) = (1/x2). Soluzione: y(x) = c  x + x/2 -(1/2x)

Esempio 3: y’ = - 2  ex  y + ex a(x) = - 2  ex, A(x) = - 2  ex, b(x) = ex. Soluzione: y(x) = c  exp(-2ex)+ (1/2)  [1 - exp(2-2ex)]

Equazioni di Bernoulli. Sono le equazioni del tipo y’ = a(x)  y(x) + b(x)  y(x)k (6) con k≠ 0, 1 e a(x), b(x) funzioni continue definite su un intervallo I a valori in R.

Osserviamo che se è 0 < k < 1, non è garantita l’unicità della soluzione. Infatti fy può non essere definita. Se k > 0, y  0 è una soluzione. Supposto y(x) ≠ 0, dividendo per y(x)k e prendendo come nuova incognita u(x) = y(x)1-k , si trova l’equazione lineare

u’(x) = (1-k)  a(x)  u(x) + (1-k)  b(x) che è un’equazione lineare che sappiamo risolvere Esempio 4: Si voglia risolvere il seguente p.d.C. y’ = 2  y(x)  tg(x) + y(x)1/2 y(0) = 1, con |x|< /2

Dopo qualche calcolo si trova y(x) = [1/(cos x) + (1/2)  tg x]2

ALCUNI TIPI D’EQUAZIONI DEL SECOND’ORDINE

Sono equazioni del tipo y’’(x) = f(x,y(x),y’(x)) (7) con f : A  R3  R, A aperto. una funzione y(x) è soluzione dell’ equazione data se è di classe C2(I) su un intervallo I, se (x,y(x),y’(x))T sta in A, per ogni x  I, e se soddisfa identicamente la (7).

   y(x0) = y0 y’(x0) = z0 Se f , fy e fz sono continue in A, allora si può dimostrare che esiste una soluzione locale unica del pdC: y’’(x) = f(x,y(x),y’(x)) y(x0) = y0 y’(x0) = z0   

Un tipo d’equazioni che possiamo affrontare è il seguente: (8) y’’(x) = f(y(x)) nel quale f dipende solo da y ed è di classe C1(J) con J intervallo aperto in R. Moltiplicando i due membri di (8) per y’(x), si trova,

(y’(x))2 = 2 [F(y(x)) - F(y0)] + (z0)2 se indichiamo con F(u) una primitiva di f(u), (y’(x))2 = 2 [F(y(x)) - F(y0)] + (z0)2 Quest’equazione, trattata con prudenza, si può ridurre a un’equazione del prim’ordine, a variabili separabili.

(y’(x))2 - 1 = 2 y3(x) - 1 Esempio 5: Si voglia risolvere il seguente p.d.C. y’’(x) = 3  y2; y(0) =2-(1/3); y’(0) = 1. Si trova, procedendo come sopra, (y’(x))2 - 1 = 2 y3(x) - 1 Poiché y’(0) > 0

y’(x) = [2 y3(x)](1/2) ; y(0) =2-(1/3). Ci si riduce al pdC y’(x) = [2 y3(x)](1/2) ; y(0) =2-(1/3). Si trova la soluzione y(x) = (2(1/6) - x  2-(1/2) )-2