EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE PRIME CONSIDERAZIONI .

Argomenti della lezione Generalità sulle equazioni differenziali. Alcuni tipi d’equazioni del prim’ordine.

GENERALITÀ SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Molti problemi di tipo fisico-tecnico o geometrico, conducono a considerare equazioni nelle quali intervengono come incognite i valori di una funzione y(x) e delle sue derivate y’, y’’,..

Abbondano gli esempi 1) Equazione d’un semplice circuito elettrico in serie V(t)= R i(t) + L di/dt Qui la funzione incognita è i(t).

2) Traiettoria di un galleggiante che si muove nella corrente di un fiume. In ogni punto di un insieme aperto A  R2 che rappresenta la superficie di un tratto del fiume è assegnata una direzione di moto (un campo di direzioni).

y’(x) = f(x,y)  y(x0) = y0 Si cerca la traiettoria del galleggiante che, partendo da una posizione iniziale (x0,y0) si muove in modo che il suo moto sia sempre tangente alla corrente. y’(x) = f(x,y) y(x0) = y0   

y0 x0

3) Data una famiglia di curve piane dipendenti da un parametro f(x,y;c)=0, trovare l’equazione differenziale della famiglia. Si ottiene, in condizioni favorevoli, eliminando la costante c dalle equazioni f(x,y;c) = 0 fx(x,y;c) + fy(x,y;c) y’ = 0

Per esempio, la famiglia delle circonferenze con centro sull’asse x e passanti per l’origine: (x-a)2 + y2 = a2 ha equazione differenziale y2 - x2 - 2 xyy’ = 0.

Data f : A  Rn+2  R, A aperto, un’equazione del tipo: f(x,y,y’,…,y(n)) = 0 si dice un’equazione differenziale d’ordine n se f dipende effettivamente da y(n). L’equazione si dice di forma normale se è risolta nella derivata d’ordine massimo:

y(n) = f(x,y,y’,…,y(n-1)) Una funzione y(x) che sia n volte derivabile e che sostituita nell’ equazione differenziale la soddisfi identicamente si dice una soluzione o integrale dell’equazione.

 y(x0) = y0 Un problema tipico che si pone per equazioni differenziali del prim’ordine o per sistemi d’equazioni del prim’ordine è il Problema di Cauchy o ai valori iniziali: trovare y(x) definita su un intervallo I, con x0  I, tale che y’(x) = f(x,y(x)) y(x0) = y0    (1)

Teorema Vale in proposito il seguente Se f : A  R2  R è continua, allora esistono h >0 e y : ] x0 - h,x0 + h[ soluzione del problema. Se fy : A  R2  R

esiste ed è continua, allora la soluzione è unica. Ci occuperemo ora della soluzione di alcuni tipi particolari d’equazioni del prim’ordine.

ALCUNI TIPI PARTICOLARI D’EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIM’ORDINE

Equazioni a variabili separabili. Sono le equazioni del tipo y’ = g(x)  h(y) [ = f(x,y)] (2) con g(x) definita e continua su un intervallo I di R e h(y) di classe C1(J) su J intervallo di R. (A = I  J) Sotto queste condizioni il problema di Cauchy ha una e una sola soluzione locale

Se h(y0) = 0, allora y(x)  y0, cioè la soluzione è la funzione costante. Se h(y0) ≠ 0, allora la soluzione non s’annulla in alcun punto.. (perché?) Dividendo la (2) per h(y) ≠ 0, si trova y’(x)/ h(y(x)) = g(x) e quindi.. (calcoli a parte)

Esempio: y’ = y2 y(x) = ____________ y0 1 + y0(x0- x) È interessante notare che la soluzione non è definita su tutto R, benché f(x,y)sia definita in R2.

Equazioni omogenee. Sono le equazioni del tipo (3) y’ = f(y(x)/x) Prendendo come nuova funzione incognita u(x) = y(x)/x

L’equazione (3) si trasforma nella seguente u’(x) = (f(u(x))-u(x))/x che è a variabili separabili. y y’ = ______ x+y Esempio 1: Esempio 2: y’ = (y/x) + tg(y/x)