... il metodo delle celle prof. Enzo Tonti

... Da tre secoli a questa parte le equazioni fondamentali di tutti i campi della fisica sono state scritte in forma differenziale. Laplaceper lelettrostatica, la gravità, … Poissonper lelettrostatica, la conduzione, … dAlembertper le onde di qualsiasi natura Fourierper la conduzione termica Navierper i solidi elastici Euleroper i fluidi perfetti Fickper la diffusione Navier-Stokesper la dinamica dei fluidi viscosi Maxwellper il campo elettromagnetico Airyper lelasticità piana Helmholtzper le onde

... La stessa cosa vale per la meccanica del mondo atomico, chiamata meccanica quantistica Schroedingerparticelle senza spin Klein-Gordon particelle senza spin in regime relativistico Proca particelle a spin intero in regime relativistico Dirac particelle a spin semi-intero in regime relativistico Einstein gravitazione relativistica Boltzmann meccanica statistica ecc.. …. sempre e solo equazioni differenziali !

... un campionario di equazioni di campo dont worry! Be happy! elettromagnetismo conduzione termica, diffusione, filtrazione campi vari (elettrostatica, fluidi perfetti in moto stazionario, torsione, ecc.) elasticità onde (acustiche, elettromagnetiche) fluidodinamica

... Sennonché la loro risoluzione, al di fuori di pochi casi semplicissimi, è possibile solo in termini numerici e questo richiede una preliminare riduzione delle equazioni differenziali ad equazioni algebriche, processo noto col nome di discretizzazione. Da qualche anno è stato dimostrato che è possibile invertire questo processo esprimendo le leggi fisiche direttamente in forma algebrica per poi arrivare qualora sia richiesto alla formulazione differenziale.

... Questo nuovo modo di procedere è in accordo sia con le misure fisiche, che sono per loro natura discrete, che con il calcolatore digitale che opera solo nel discreto. Si tratta di far emergere una filosofia che parta dal discreto, che operi nel discreto e che fornisca la soluzione in forma discreta, sostituendo all piccolo a piacere una tolleranza prefissata.

questo seminario... BEM FDM dal discreto al differenziale … per tornare al discreto ! campo fisico soluzione approssimata equazioni algebriche FVM FEM equazioni differenziali

... Per descriverlo diamo uno sguardo ad alcuni tipi di problemi che si incontrano nellingegneria. è questo il Cell Method (CM). Questo metodo è anche chiamato Discrete Geometrical Approach (DGA) e anche Direct Discrete Method (DDM)

... la conduzione termica, la meccanica dei solidi deformabili, la meccanica dei fluidi, lelettromagnetismo Con questo intento diamo uno sguardo a quattro teorie fisiche. Il problema fondamentale di un campo fisico è quello di determinare la configurazione del campo una volta assegnate le sorgenti del campo.Sorgente(causa)!Configurazione(effetto)?

... 1) conduzione termica Il calore generato dalle sorgenti termiche si propaga da una regione allaltra a causa dalle differenze di temperatura. Una volta assegnate le sorgenti di calore, la loro posizione e la loro intensità, il problema fondamentale della conduzione termica è quello di determinare la temperatura in ogni punto della regione che stiamo studiando. Dal momento che il calore va dalle regioni a temperatura più alta a quelle di temperatura più bassa, deve esistere una legge che descriva come il calore si propaga. Una di queste leggi è costituita dal bilancio di energia. Unaltra legge afferma che la quantità di calore che transita attraverso un elemento di superficie dipenderà dalla differenza di temperatura fra i due punti che stanno a cavallo della superficie. Il legame sarà espresso da una equazione costitutiva, la legge elementare di Fourier. temperatura equazione costitutiva equazione di bilancio

... 2) meccanica dei solidi deformabili Consideriamo la deformazione elastica di un corpo solido. Le forze agenti su un corpo generano la deformazione. La deformazione si propaga da una regione allaltra del corpo determinando lo spostamento dei punti del corpo. Una volta assegnate le forze, la loro posizione, la direzione e lintensità, il problema fondamentale della teoria dellelasticità è quello di determinare lo spostamento di ogni punto del corpo, a partire da una configurazione indeformata. Dal momento che la deformazione si trasmette da punto a punto, devono esistere delle leggi che regolano il modo con il quale essa si propaga. spostamento Unaltra legge descrive il comportamento elastico del materiale: questa è lequazione costitutiva di Hooke. Una di queste leggi impone lequilibrio, se la deformazione è statica, o il bilancio della quantità di moto se la deformazione è dinamica. equazione di bilancio equazione costitutiva

... 3) meccanica dei fluidi Consideriamo il moto di un fluido, liquido o gas. Il moto è generato dalle differenze di pressione da una regione ad unaltra del fluido. A sua volta la pressione varia da un punto allaltro in conseguenza del moto del fluido. Se il fluido è un gas anche le differenze di temperatura contribuiscono al moto del fluido. Il problema fondamentale della dinamica dei fluidi è quello di determinare la velocità, la pressione e la temperatura in ogni punto del fluido ad ogni istante: Dal momento che il fluido si muove sotto lazione delle differenze di pressione e di temperatura devono esistere delle leggi che regolano il moto. Una di queste leggi richiede la conservazione della massa, unaltra richiede la conservazione dellenergia, una terza richiede il bilancio della quantità di moto. Naturalmente vi sono anche qui delle equazioni costitutive. equazioni di bilancio equazioni costitutive

... 4) elettromagnetismo Consideriamo il campo elettromagnetico generato da cariche elettriche in quiete ed in moto. La descrizione del campo è fatta da due grandezze: il potenziale scalare elettrico e il potenziale vettore magnetico A. Il problema fondamentale dellelettromagnetismo è il seguente: assegnata la distribuzione spaziale e temporale delle cariche e delle correnti, determinare il potenziale scalare elettrico e il potenziale vettore magnetico in ogni punto del campo ad ogni istante: due equazioni di bilancio (teoremi di Gauss elettrico e magnetico) due equazioni circuitali (di Faraday e di Ampère) che sono anchesse di bilancio nello spazio-tempo e sono note come equazioni di Maxwell. una equazione che esprime la conservazione della carica elettrica. vi sono tre equazioni costitutive. equazioni di bilancio equazioni costitutive Quali sono le equazioni del campo?

... le funzioni da determinare Abbiamo detto che in ciascun campo lobiettivo è di determinare delle funzioni, scalari o vettoriali ad ogni istante e in ogni punto. Poniamoci la domanda: e facile risolvere le equazioni differenziali alle derivate parziali che si incontrano nei problemi dellingegneria ? ? temperatura spostamento velocità pressione potenziale elettrico potenziale vettore magnetico per ragioni puramente storiche queste leggi sono espresse da equazioni differenziali alle derivate parziali.

... non è affatto facile ! Occorre utilizzare tecniche numeriche che obbligano alluso del calcolatore. Questo richiede di trasformare le equazioni differenziali in un sistema di equazioni algebriche mediante uno dei tanti metodi di discretizzazione. La risposta è: a 1,1 x 1 a 1,2 x 2... a 1,n x n b 1 a 2,1 x 1 a 2,2 x 2... a 2,n x n b 2... a n,1 x 1 a n,2 x 2... a n,n x n b n

... a 1,1 T 1 a 1,2 T 2... a 1,n T n b 1 a 2,1 T 1 a 2,2 T 2... a 2,n T n b 2... a n,1 T 1 a n,2 T 2... a n,n T n b n lequazione differenziale viene approssimata con un sistema di equazioni algebriche lineari. che è facilmente risolubile da un calcolatore digitale, anche se le grandezze incognite sono migliaia o decine di migliaia! è sostituita da un sistema del tipo Ad esempio lequazione di Poisson

... È possibile una formulazione algebrica DIRETTA dei campi fisici ? ? La varietà dei metodi di discretizzazione fa nascere la seguente domanda:

... è facile ! è possibile ! è intuitiva ! è pronta per la risoluzione numerica ! Vogliamo dimostrare che una formulazione algebrica DIRETTA delle leggi di campo

... una equazione costitutiva una equazione di bilancio per fare questo occorrono due cose: equazione costitutiva equazione di bilancio

... Il bilancio

cosè un bilancio?... N dopo = N prima - N uscite N prima = 6 N dopo = N prima + N entrate N dopo = 6 N prima = 5 N entrate = 1 N uscite = 2 N dopo = 4 Bilancio, bilancia, bilanciare, uguagliare, rendere uguale. Primo principio della termodinamica Equazione di continuità In forma differenziale (N dopo - N prima ) = N entrate (N dopo - N prima ) + N uscite = 0 Una equazione di bilancio afferma che una quantità prodotta entro un volume in un dato intervallo di tempo, è uguale alla quantità accumulata più la quantità uscente nello stesso intervallo di tempo. Se la quantità non viene prodotta La grandezza viene conservata. In questo caso lequazione di bilancio si chiama equazione di conservazione o anche equazione di continuità.

Consideriamo una fabbrica di bottiglie. Dalla fornace escono bottiglie (produzione): una parte di queste viene immagazzinata (accumulo) ed una parte viene mandata fuori (flusso). cosè un bilancio?... Un bilancio è una relazione che riguarda quelle grandezze per le quali abbia senso parlare di produzione di accumulo e di flusso. Tali grandezze sono: il numero di particelle o di oggetti, la massa, la carica elettrica, la quantità di moto, il momento della quantità di moto, lenergia, lentropia

... Un bilancio vale nel finito prima che nellinfinitesimo Per lequilibrio di un corpo occorre che la somma delle forze di volume (solitamente i pesi) e di quelle di superficie sia nulla. Orbene un bilancio vale per qualunque porzione di corpo al quale è applicato per qualunque regione del campo, qualunque sia la forma della regione qualunque sia la sua dimensione qualunque sia lintervallo di tempo qualunque sia il materiale che riempie la regione. In particolare non cè bisogno di ridursi ad un volumetto infinitesimo. Così una nave sta in equilibrio perché il suo peso è equilibrato dalla spinta dellacqua sulla carena. Un pezzo di materiale nellinterno di un corpo sta in equilibrio perché le forze di volume sono equilibrate dalle forze interne di superficie.

... Un bilancio vale nel finito prima che nellinfinitesimo ! E allora per quale ragione lo applichiamo ad un volumetto infinitesimo di dimensioni dx,dy,dz così da ottenere una equazione differenziale? x yzdy dz dx zx y formulazione formulazione discreta = formulazione algebrica = formulazione finita formulazione formulazione differenziale sistema di equazioni sistema di equazioni algebriche equazione differenziale alle alle derivate parziali...

Apologia del bilancio Le equazioni fondamentali dei fenomeni fisici nascono da un bilancio: nella statica dei solidi deformabili è essenziale lequilibrio che si esprime facendo il bilancio delle forze nella fluidodinamica sono essenziali il bilancio della massa ed il bilancio della quantità di moto nella conduzione termica è essenziale il bilancio dellenergia nella chimica le reazioni chimiche esprimono il bilancio della massa nella teoria delle reti elettriche è essenziale il bilancio delle corrente nellelettromagnetismo si fa il bilancio della carica nella termodinamica si scrive il bilancio dellentropia ecc.

Q accumulata + Q uscente = Q prodotta Q accumulata + Q uscente = 0 Equazione di bilancio caso particolare: equazione di conservazione (o di continuità) quantità di moto, momento della quantità di moto, entropia, massa (di una componente in una reazione chimica) carica elettrica, massa (totale), numero di particelle, energia....

equazioni costitutive...

legge della trasmissione del calore Questa è la legge elementare del calore di Fourier. T A T B il calore va dal caldo al freddo... Consideriamo una superficie piana di area A (superficie puramente geometrica quindi non fatta di un qualche materiale). Consideriamo una retta orientata ortogonale alla superficie; su di essa due punti A e B a cavallo della superficie e sia d la loro distanza. Indichiamo con T A e T B le temperature nei due punti. Sia la quantità di calore che attraversa la superficie nellunità di tempo. Lesperienza dice che, in una regione in cui il flusso di calore è uniforme, il calore che attraversa la superficie è proporzionale al salto di temperatura, ( T A - T B ) inversamente proporzionale alla distanza d tra i due punti, proporzionale allarea della superficie. area: A temperatura: T A distanza: d temperatura: T B corrente di calore: corrente di calore: A B A T A T B d

legge della trasmissione del calore legge elementare del calore di Fourier... dipende dal materiale dipende dal materiale entro il quale si propaga il calore questa è una equazione costitutiva per il seguito è meglio scriverla nella forma AB è la corrente di calore (in watt) è la corrente di calore (in watt) A T B T A d A T A T B d

altre leggi costitutive (risentono del materiale)... fluido in mezzo poroso (legge di Darcy) J m = - grad p k k A p B p A d viscosità (legge di Newton) = = T A v B v A d elettrostatica (legge senza nome) Q = C V Q = A d A B A d diffusione (legge di Fick) DADA c B c A d J m D grad c elasticità (legge di Hooke) = E = E N = E A L L N EAEA u B u A d conduzione elettrica (legge di Ohm) V = R I I A B A d J E

funzioni con andamento lineare = funzioni affini u ax lineareuxu u p ax affine x T(x,y,z) p ax by cz T(x,y,z) cost p ax by cz q piani equidistanti isoterme xyz... T p ax by affine rette equidistanti T(x,y) p ax by q isoterme xy cost

lequazione fondamentale di ogni teoria... Lequazione fondamentale di ogni teoria della fisica, quali si ottiene componendo una equazione di bilancio con una equazione costitutiva. equazione fondamentale equazione costitutiva= lelettromagnetismo(fisica, elettrotecnica, antenne, ecc) + equazione di bilancio la conduzione termica (fisica tecnica) la meccanica dei solidi deformabili (scienza e tecnica delle costruzioni, macchine) la meccanica dei fluidi (idraulica, fluidodinamica)

lequazione fondamentale di ogni teoria... poiché le equazioni di bilancio nascono in forma discreta e le equazioni costitutive nascono in forma discreta ne viene che anche lequazione fondamentale è in forma discreta in questo modo abbiamo ottenuto lequazione fondamentale di ognuna delle teorie considerate in forma discreta e la loro soluzione si può ottenere per via algebrica. Non abbiamo dovuto discretizzare le equazioni differenziali !

questo seminario... Evitiamo quindi un passaggio inutile ! equazioni differenziali campo fisico soluzione approssimata equazioni algebriche

indirizzi Pubblicazioni relative alla formulazione algebrica e al metodo delle celle si possono scaricare dal sito: Prof. Enzo Tonti, Dipartimento di Ingegneria Civile dellUniversità di Trieste, Piazzale Europa 1, Trieste Tel: ftp://ftp.dicar.units.it/Pub/Studenti/TONTI/Science/ Dispense relative alle celle si possono scaricare via ftp dal sito

la formulazione algebrica si applica a: regioni di forma qualsiasi, con buchi, punte, fessure, incavi, ecc. regioni contenenti materiali diversi materiali anisotropi materiali nonlineari materiali sinterizzati tratta con naturalezza sorgenti concentrate non presenta infiniti consente ordini di convergenza di ordine superiore al secondo si applica con semplicità alla frattura... caratteristiche della formulazione algebrica