Identificazione dei sistemi: modelli lineari e non lineari

Dai Dati alla Conoscenza Nell’area dell’automatica il processo di identificazione ha come obiettivo la ricerca di modelli dinamici di un sistema (equazioni differenziali o alle differenze) che descrivono le interazioni tra variabili di ingresso e di uscita, a partire da dati osservati di ingresso-uscita Sistema: oggetto (parte di realtà) in cui variabili di differente natura (ingressi e disturbi) interagiscono e producono effetti osservabili (uscite)

identificazione a scatola nera: si hanno a disposizione solo i dati I/O le leggi che regolano i fenomeni sono sconosciute o molto complesse la struttura del modello viene descritta generalmente da equazioni (differenziali o alle differenze) ingresso-uscita i parametri del modello non sono interpretabili fisicamente identificazione a scatola grigia: si dispone di informazioni aggiuntive alcune parti del sistema sono modellate secondo leggi fondamentali, altre come una scatola nera alcuni parametri del modello possono essere interpretati fisicamente identificazione a scatola trasparente: (modellistica) il sistema si può decomporre in sottosistemi di cui si conoscono le leggi fisiche ed i parametri (unione di più modelli)

Esempio di struttura Gray-Box Supponiamo di voler identificare un modello per le variazioni della temperatura di una stanza al variare della tensione applicata ad una stufa elettrica Le leggi fisiche da considerare coinvolgerebbero le equazioni relative alla potenza della stufa, la trasmissione del calore per conduzione e convezione, ecc… Un modello Black-Box tra tensione e temperatura non dà risultati soddisfacenti ma…

…la fisica elementare ci dice che è la potenza della stufa piuttosto che la tensione che causa le variazioni di temperatura!!! un modello tra il quadrato della tensione e la temperatura potrebbe quindi migliorare sensibilmente le prestazioni

Classificazione dei modelli in base agli obiettivi: Modelli interpretativi: Razionalizzano le informazioni disponibili sul comportamento di un sistema sostituendo i dati con il meccanismo che li ha generati, non è richiesta la capacità di generare altri set di dati, hanno quindi un range di validità limitato (econometria, ecologia, fisica). Modelli predittivi: Sono sviluppati per predire il comportamento futuro del sistema (in genere vengono utilizzati per individuare azioni di controllo) Modelli per la stima dello stato: Consentono la stima di variabili interne a partire da misure I/O affette da rumore (monitoraggio di processi naturali o industriali)

Modelli per la diagnosi: consentono di individuare situazioni di funzionamento anomale (guasti nei sensori o nei componenti del processo) Modelli per la simulazione: sostituiscono il sistema consentendo di valutare le prestazioni di politiche di controllo e di valutare l’effetto di operazioni pericolose o costose (la possibilità di un effettivo utilizzo dipende fortemente dalla accuratezza del modello)

A cosa serve un modello? Verifica immediata di ipotesi e teorie Predizione del comportamento futuro di un sistema Realizzazione di esperimenti altrimenti impossibili Risparmio di tempo, attrezzature, denaro Maggiore elasticità di progettazione Migliore comprensione dei fenomeni Correlazione tra teoria e sperimentazione Maggiore chiarezza nella presentazione dei risultati

I modelli costituiscono in ogni caso una: ‘rappresentazione abbastanza buona di alcuni aspetti del sistema’ di cui devono essere stabiliti i limiti di validità Il grado di accuratezza richiesto al modello dipende dalla sua applicazione Il grado di accuratezza è limitato anche dal grado di complessità tollerabile, dal tempo a disposizione per sviluppare il modello, dalle informazioni contenute nei dati, dalle conoscenze a priori, dal grado di nonlinearità, dalla possibilità di effettuare esperimenti, dal costo delle misure, dalla precisione dei sensori, dal rumore di misura Rasoio di Occam (1300): tra i modelli che descrivono lo stesso fenomeno si deve scegliere il modello più semplice Popper (1900): tra i modelli che rappresentano le osservazioni disponibili si deve scegliere quello che consente di spiegare ‘as little else is possible’ (most powerful unfalsified model) dim. matematica: se il modello è ricavato da dati incerti, all’aumentare della complessità del modello aumenta l’incertezza sui suoi parametri

Modelli lineari o non lineari? Ipotesi: Sistema tempo invariante a parametri concentrati Modelli lineari o non lineari? Tutti i sistemi reali sono, in misura più o meno accentuata, non lineari Se sono rispettate alcune condizioni : - variazioni delle grandezze piccole rispetto al punto di lavoro nominale - è sufficiente avere un modello approssimato del sistema - è possibile ricorrere ad una approssimazione lineare del sistema, ricorrendo eventualmente a modelli diversi nei diversi punti di lavoro in questo caso: la teoria è in grado di prevedere le prestazioni del modello le procedure numeriche sono più semplici il progetto di un eventuale sistema di controllo è facilitato Qualora tali approssimazioni non siano lecite è necessario ricorrere a strutture non lineari (Quale struttura?)

ingredienti dati sperimentali insieme di modelli candidati (scelti utilizzando tutte le informazioni a priori disponibili: ordine del sistema, dinamiche lente o veloci, stabilità, presenza di ritardi, frequenza di campionamento, grado e tipo di non linearità) regola con la quale determinare il modello nella classe dei candidati sfruttando le informazioni contenute nei dati criterio per la valutazione della qualità del modello ottenuto

Le Fasi del Processo di Identificazione (L. Ljung, 1999)

Cause di fallimento la procedura numerica non ha trovato il modello migliore tra i candidati secondo il criterio scelto (minimi locali nelle procedure di ottimizzazione, malcondizionamento) il criterio non è adeguato la classe dei modelli non è adeguata i dati non contengono abbastanza informazioni (pochi esperimenti, troppo rumore)

Scelta delle variabili di ingresso Si può fare in base a: Conoscenze sulla fisica del processo Conoscenze empiriche degli operatori Indici di correlazione Trial and error

Scelta dei dati ed esperimenti Lo scopo degli esperimenti è quello di collezionare dati in grado di rappresentare l’intera dinamica del sistema I modelli ottenuti non possono fornire più informazioni di quante non ne siano contenute nei dati!!!

Progetto degli Esperimenti Selezione del tipo di ingressi con i quali si ecciterà il sistema. Devono essere sufficientemente ricchi al fine di sollecitare tutti i modi del sistema (persistenza dell’eccitazione) Solo i modi osservabili e controllabili del sistema possono essere identificati Tipi comuni di ingressi: rumore bianco, pseudo-random binary sequence, treni di gradini/impulsi, sinusoidi, forme tipiche relative al processo in esame

Scelta del tempo di campionamento I segnali (di ingresso e di uscita di un processo) possono essere pensati come la sovrapposizione di segnali elementari (sinusoidi). ‘L’insieme’ di tali sinusoidi costituisce lo ’spettro del segnale’’ (determinabile utilizzando opportuni strumenti: analizzatore di spettro).

onda quadra spettro Lo spettro del segnale di uscita di un sistema dipende dal corrispondente spettro del segnale in ingresso e dalle ‘proprietà filtranti’ del sistema Tutti i sistemi reali possono generare in uscita segnali che non si estendono oltre una certa frequenza massima (banda passante del sistema)

Teorema del campionamento Se si campiona un segnale a frequenza almeno doppia rispetto alla massima frequenza contenuta nel segnale, è possibile ricostruire, senza perdita di informazione in segnale originale se il teorema non viene rispettato si può incorrere in problemi di aliasing e non è possibile ricostruire il segnale originario partendo dai dati campionati Sinusoide campionata a diverse frequenze Non rispetta il teorema di Shannon

Lo spettro di un segnale campionato è costituito da repliche dello spettro del segnale originario, che si ripetono a un intervallo di frequenza costante e pari alla frequenza di campionamento. Se non è rispettato il teorema di Shannon tali repliche si sovrappongono (Aliasing) e non è possibile risalire, a seguito di una operazione di filtraggio allo spettro del segnale originario. Spettro del segnale Frequenza di campionamento Campionamento Spettro del segnale campionato Frequenza di campionamento Spettro del segnale campionato Spettro del segnale Campionamento

Altri criteri per la scelta del tempo di campionamento Il segnale campionato deve rappresentare la dinamica del sistema T=0.01 100 campioni T=0.05 =ts/6 20 campioni Sistema di primo ordine Polo: -10 Costante di tempo 1/10=0.1 Tempo di salita 3* 0.1 T=0.1 10 campioni

Sistema del secondo ordine 80 campioni T=0.2 =ts/5 40 campioni Sistema del secondo ordine ts=1 sec ta=5 sec T=1 8 campioni

Sistema del quarto ordine T=0.1 sec T=0.2 sec=ts/6 T=1 sec T=4 sec

Criteri generali : ts/5 < T < ts/10 ta/10 < T < ta/50 T < della più piccola costante di tempo f=1/T > 2* fmax

Se T è troppo piccolo: occorre manipolare un numero eccessivo di dati senza migliorare l’informazione che contengono si rischia di campionare il rumore dati troppo simili tra loro creano problemi numerici agli algoritmi il tempo di elaborazione aumenta Il costo di acquisizione aumenta

Come è possibile verificare se è stato rispettato il Teorema del Campionamento? Se si hanno dubbi sulla correttezza del campionamento, si può calcolare lo spettro del segnale campionato: Se questo mantiene valori elevati a tutte le frequenze (nel discreto le frequenze vanno da zero a 0.5 volte la frequenza di campionamento) è ragionevole supporre che sia stata scelta una frequenza di campionamento troppo bassa. Se la banda occupata dallo spettro è una frazione piccola dell’intervallo a disposizione è stata utilizzata una frequenza di campionamento inutilmente elevata. Può essere opportuno in tale caso procedere ad un filtraggio digitale dei dati. Ciò permette di risparmiare risorse e elimina rumore (di misura) a frequenze elevate.

Adeguatezza del Tempo di Campionamento Tc adeguato Tc troppo grande