Instabilità nucleare

Nuclei stabili e instabili I nuclei stabili sono concentrati in una banda stretta nel piano N-Z Tutti gli altri nuclei sono instabili e decadono sponteneamente Decadimento = trasformazione per raggiungere uno stato stabile (o più stabile). I processi di decadimento nucleare sono di diversi tipi: Decadimento a = emissione di nuclei di elio Decadimento b = emissione di elettroni (o positroni) e neutrini Decadimento g = emissione di radiazione elettromagnetica Fissione = scissione in 2 o piu’ nuclei

Decadimento b Decadimento b-: Decadimento b+: Nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di neutroni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tendono a “trasformare” un neutrone in un protone Decadimento b+: Nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di protoni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tendono a “trasformare” un protone in un neutrone

Cattura elettronica Un nucleo ricco di protoni può catturare un elettrone atomico e trasformare un protone in un neutrone Stesso effetto di un decadimento b+ L’elettrone viene tipicamente catturato dalla shell K che è caratterizzata da una funzione d’onda sensibilmente diversa da zero nel volume del nucleo

Decadimento a Nei nuclei piu’ pesanti del Fe e Ni, l’energia di legame per nucleone B diminuisce al crescere del numero di massa A Nuclei con alte masse sono instabili per fissione e decadono in 2 o più nuclei più leggeri La somma delle masse dei prodotti di decadimento deve essere minore della massa del nucleo originale Caso più frequente: decadimento a 2 corpi in cui uno dei nuclei prodotti è un nucleo di elio Decadimento a:

Bilancio energetico (I) Un nucleo (Z,A) di massa M1 decade in un nucleo di massa M2<M1 e la differenza di massa si converte in massa e energia cinetica dei prodotti di decadimento Il decadimento è un caso particolare di reazione nucleare Si introduce il Q-valore di una reazione nucleare Differenza tra le energie (masse) dello stato iniziale e le masse dello stato finale Nel caso di decadimento nucleare Una sola particella nello stato iniziale Perché il decadimento possa avvenire deve essere Q > 0

Bilancio energetico (II) Decadimento a: Decadimento b-: Decadimento b+: Cattura elettronica: Ha un Q-valore più alto del decadimento b+ e quindi più energia cinetica a disposizione delle particelle nello stato finale Ci sono casi in cui la differenza di massa tra (Z,A) e (Z-1,A) è troppo piccola per consentire il decadimento b+, ma la cattura elettronica può invece avvenire

Esempi (I) Come può avvenire il decadimento di un nucleo di 23Na Candidati: Masse in gioco: Nessuno dei decadimenti è possibile, il 23Na è stabile sum = 21423.99 MeV

Esempi (II) Come può avvenire il decadimento di un nucleo di 22Na Candidati: Masse in gioco: Sono possibili il decadimento b+ e la cattura elettronica sum = 20494.90 MeV

Legge del decadimento Fin dai primi anni di studio delle sostanze radioattive si è scoperto che: L'attività (definita come il numero di decadimenti nell'unità di tempo di una sostanza) decresce nel tempo con legge esponenziale 1900: Rutherford e Solvay, studiando quantitativamente la variazione temporale di attività del Radio-224. Crookes ottenne lo stesso andamento studiando la variazione di attività del Thorio-234 Il processo di decadimento è di natura casuale. Deve essere trattato in modo statistico/probabilistico La radioattività rappresenta un cambiamento dell’atomo individuale 234Th

Legge del decadimento (I) Ipotesi La probabilità di decadimento nell'unità di tempo è una proprietà della sostanza e del processo di decadimento e non dipende dal tempo; in una sostanza contenente N nuclei, la probabilità di decadimento nell'unità di tempo del singolo nucleo non dipende da N. Si definisce rate di transizione (w) la probabilità che uno stato X transisca in uno stato Y in un’unità di tempo Nell’ambito della radioattività viene chiamato anche costante di decadimento La probablità di transizione nel tempo dt vale quindi Il rate w ha dimensioni [s-1]

Legge del decadimento (II) Se la sostanza contiene N nuclei e se il numero N è grande in modo da poterlo trattare come una variabile continua  la variazione (diminuzione) del numero di nuclei nell'intervallo di tempo dt vale: Conoscendo il valore di N0 all’istante t=0 e integrando si ottiene la legge del decadimento radioattivo L’attivita’ vale quindi: si misura in Becquerel (Bq) cioè numero di decadimenti al secondo Storicamente si è usato spesso il Curie (Ci) equivalente all’attività di un grammo di radio che vale 3.7  1010 Bq

Vita media La vita media vale: Si usa spesso il tempo di dimezzamento(= tempo dopo il quale l’attività del radionuclide è dimezzata)

Decadimenti multi-modali (I) Un particolare processo di decadimento si chiama canale (o modo) di decadimento. Consideriamo un materiale radioattivo per cui sono possibili più modi di decadimento Ad esempio il 212Bi che può decadere sia a che b- Si definiscono dei rate di transizione parziali (wi) per i singoli modi di decadimento Siccome i canali sono indipendenti, il numero di decadimenti al sec è: Il nucleo decade quindi seguendo la legge di decadimento esponenziale con un rate di transizione:

Decadimenti multi-modali (II) La frazione fi di nuclei che decade nel canale i si chiama branching fraction: La vita media è data da:

Decadimenti in cascata (I) Se i nuclei prodotti nel decadimento sono instabili, essi stessi decadono  decadimento a cascata con XN stabile Consideriamo come esempio il caso in cui XA->XB->XC Sistema di 3 equazioni differenziali

Decadimenti in cascata (II) Lavoriamo sulla specie XB:

Decadimenti in cascata (III) Il valore della costante C si ricava da NB(t=0)=NB0: Da cui: Caso particolare: XB stabile, quindi wB=0 Se NB0 = 0, allora:

Decadimenti in cascata (IV) Passando ai nuclei stabili XC:

Decadimenti in cascata (V) Nel caso particolare in cui NB0=0 e NC0=0:

Catene di decadimenti Per una catena di decadimenti X1 -> X2 -> … -> XN si ha: dove XN è un nucleo stabile, quindi wN=0 Se per t=0 si ha: N2_0= N3_0 = … =NN_0 le abbondanze sono: con:

Equilibrio secolare Tornando al caso di X1 -> X2 -> X3 con X3 stabile: se t1>>t2, cioè w1<<w2, allora: cioè: In una catena di decadimenti, quando per un elemento Xi risulta wi<<wi+1 e <<wi+2 e … <<wN, allora tutti i nuclei che seguono l’i-esimo decadimento hanno la stessa attività: Questa condizione si chiama equilibrio secolare Se la condizione è vera a partire dal capostipite X1, allora tutta la catena radioattiva si trova in equilibrio secolare

Famiglie radioattive (I) Vi sono tre famiglie radioattive presenti in natura, in equilibrio secolare i cui capostipiti sono radionuclidi la cui vita media è >≈ di quella della Terra (109 anni) e >> di quella dei discendenti: Serie dell’Uranio (famiglia 4n+2) Capostipite: 238U, t1/2 = 1.4 1010 anni Serie dell’Attinio (famiglia 4n+3) Capostipite: 235U, t1/2 = 7.13 108 anni Serie del Torio (famiglia 4n) Capostipite: 232 Th, t1/2 = 4.5 109 anni

Famiglie radioattive (II) In più, c’è una serie non più esistente in natura, che può essere prodotta artificialmente: Serie del Neptunio (famiglia 4n+1) Capostipite 241Pu Elemento più longevo: 237Np con t1/2 ≈ 106 anni

Radio-nuclidi naturali

Decadimento a

Caratteristiche dei decadimenti a La maggior parte degli isotopi creati artificialmente con numero di massa maggiore del Piombo sono emettitori a. Non vi sono emettitori a con A<146 (146Sm, con Z=62) Dovuto all’andamento dell’energia di legame per nucleone (B/A) in funzione di A Emettendo una particella a, un sistema nucleare guadagna energia solo se si trova a valori di A maggiori del massimo della curva B/A

Caratteristiche dei decadimenti a Perché il decadimento avvenga, deve essere Energia cinetica della particella a Dalla conservazione dell’ impulso-energia, se il nucleo decade a riposo:

Caratteristiche dei decadimenti a L’energia delle particelle a emesse varia tra 4 e 9 MeV I tempi di dimezzamento dei nuclei che le emettono variano invece tra 1010 anni e 10-7 secondi. In altri termini, i rate di transizione w variano di 24 ordini di grandezza pur trattandosi dello stesso processo fondamentale Geiger e Nuttal osservarono fin dal 1911 una correlazione tra l’energia cinetica della particella a e il tempo di dimezzamento Ad energie minori corrispondono tempi di dimezzamento maggiori e viceversa Legge empirica di Geiger-Nuttal: La relazione fu originariamente formulata usando il tempo di dimezzamento e il range in aria (a 15°C e 1 atm) delle particelle a Le due formulazioni sono equivalenti se si considera che il range RaTa3/2 e quindi log(Ra ) log(Ta)

Legge empirica Geiger-Nuttal (1)

Legge empirica Geiger-Nuttal (2) A parità di energia cinetica Ta, la vita media aumenta con peso atomico A

Teoria del decadimento a Teoria elementare sviluppata da Gamow e indipendentemente da Condon e Gurney nel 1929 Energia potenziale U(r) per una particella a in funzione della distanza tra la particella a stessa e il centro del nucleo rimanente Per r<R (R=raggio del nucleo) Prevalgono le forze nucleari Particella a in una buca di potenziale costante a simmetria sferica Per r> R Le forze nucleari sono inefficaci Prevale il campo coulombiano

Teoria del decadimento a Due casi per l’emissione di una particella a con energa Ta: Ta > U(R): la particella a è libera di lasciare il nucleo e lo farà quasi istantaneamente Istantaneamente = in un tempo comparabile con quello che impega la particella a ad attraversare il nucleo: t = R/va = R*√(ma/2Ta) ≈ 10-21 s Ta < U(R): la particella a classicamente è confinata nel nucleo. Quantisticamente può penetrare la barriera di potenziale per effetto tunnel ed emergere con energia cinetica = 0 a distanza r=b e poi muoversi a grande r dove avrà energia cinetica Ta b Free a-particle

Tunneling della barriera coulombiana (I) Si può pensare la barriera coulombiana discretizzandola in una serie di barriere di spessore Dr e altezza costante Per ogni elemento discreto della barriera si può scrivere l’equazione di Schroedinger per la componente radiale: Dr

Tunneling della barriera coulombiana (II) La soluzione risulta: si è posto =1 il coefficiente dell’onda incidente sulla barriera si è considerata nella regione 3 solo l’onda uscente particella a che si sposta verso r crescente allontanandosi dal nucleo Le costanti B, a, b e a si determinano imponendo la continuità della funzione d’onda e della sua derivata nei punti di discontinuità del potenziale La probabilità di trasmissione attraverso la barriera è:

Tunneling della barriera coulombiana (III) Sommando i contributi degli elementi Dr e passando al continuo: Dove si è introdotto il fattore di Gamow: Per eseguire l’integrale si usa la sostituzione r=bcos2

Rate di transizione (1) La probabilità PT dà la probabilità di penetrazione della barriera coulombiana per una particella a che si avvicina alla barriera Per avere il rate di transizione, si deve moltiplicare questa probabilità frequenza degli urti della particella a con la barriera (cioe’ per il numero di “tentativi” fatti dalla particella a di penetrare la barriera) Dove vaNucleus è la velocità della particella a nel nucleo Se U(R) >> Ta (cosa vera per tutti gli emettitori a noti) si ha R<<b e quindi si può approssimare sviluppando in serie di McLaurin l’arccos e la radice :

Rate di transizione (2) Il raggio a cui la particella a esce dalla barriera e’: Sostituendo: Costante di struttura fine:

Legge di Geiger-Nuttal (1) Prendendo i logaritmi si ottiene:

Legge di Geiger-Nuttal (2) Quindi: Con: Dove g è una costante, mentre C dipende da vaNucleus e da R e quindi varia leggermente per i diversi emettitori a Non è esattamente la legge empirica di Geiger e Nuttal perché c’è 1/√Ta invece del logaritmo, ma per valori di Ta compresi tra 4 e 7 MeV la differenza è minore del 3%

Considerazioni La dipendenza trovata con il modello elementare (che è chiaramente molto semplificato) consente comunque di: Riprodurre la dipendenza osservata della vita media dall’energia della particella a rendendo conto della variazione su più di 20 ordini di grandezza Spiegare come mai l’intervallo di variazione del rate di tranzione w è molto maggiore di quello dell’energia cinetica Ta Una variazione del 10% in Ta cambia il rate w di un fattore 1000 Spiegare l’osservazione sperimentale per cui a energia cinetica Ta costante la vita media aumenta col peso atomico. All'aumentare di A, aumenta sia la carica elettrica che il raggio del nucleo e quindi aumenta il fattore di Gamow che dipende dall’altezza e dalla larghezza della barriera di potenziale Spiegare come mai c’è un limite inferiore per l’energia cinetica della particella a Per Ta < 4 MeV la vita media risulterebbe talmente lunga (>1018 s) da rendere questi decadimenti difficilmente ossevabili Questo spiega anche come mai non ci sono nuclei emettitori a con Z<62 dove il Q valore risulta minore di 2 MeV

linee a Q costante nel piano Z-A Soglia di instabilità A questo punto possiamo calcolare in modo più quantitativo i valori di A e Z per cui il decadimento a è possibile usando: Il Q valore calcolato dalla formula di Weizsacker per la massa del nucleo La considerazione che per Q≈Ta<4 MeV i decadimenti a sono estremamente improbabili linee a Q costante nel piano Z-A

Approssimazioni (1) Va notato che il fattore di Gamow G è grande (≈30-50) quindi una piccola indetermiazione sui parametri comporta una grande variazione sul rate w (e-2G) Si è assunto che il nucleo figlio abbia massa >> della particella a. Questa approssimazione è facilmente correggibile usando la massa ridotta del sistema nucleo+a [ m=maMDauNucl/(ma+MDauNucl) ] e l’energia cinetica totale (cioe’ Q) invece di Ta. Si è assunto R/b<<1, mentre si poteva usare l’espressione completa di G Il trattamento delle particelle a all’interno del nucleo è semplicistico: la particella a non esiste stabilmente all’interno del nucleo Un trattamento corretto richiederebbe di usare la funzione d’onda di tutti i nucleoni nel nucleo “genitore” e calcolare l’ampiezza di probabilità di trovare una particella a e il nucleo “figlio”. Non è possibile fare questo trattamento in modo rigoroso

Approssimazioni (2) La probabilità di trovare una particella a nel nucleo è diversa tra nuclei pari-pari, pari-dispari e dispari-dispari A parità di altre condizioni, i rate di transizione osservati in nuclei pari-pari sono più alti che negli altri tipi di nuclei I dettagli della struttura nucleare influiscono sul rate di transizione w attraverso l’energia di legame per nucleone Ad esempio, nel modello a shell si ha la “chiusura” di una shell nucleare quando N = 126 (numero magico) Un nucleo genitore con N=128 avrà un Q-valore per il decadimento a molto più alto (di molti MeV) di un nucleo con lo stesso Z ma con N=126 La forma del potenziale assunto è chiaramente idealizzata Il fatto che w sia estremamente sensibile a piccole variazioni di Ta suggerisce che questo sia un effetto importante Si è assunto che il potenziale nucleare abbia simmetria sferica Tuttavia si sa che molti dei nuclei più pesanti del Pb sono deformati e questo può influire sul rate di transizione

Barriera di potenziale centrifugo Quando il nucleo “genitore” e il nucleo “figlio” hanno spin diverso Lo spin di un nucleo è dato dalla somma vettoriale dei momenti di spin e momenti angolari dei nucleoni che lo costituiscono Sono catatteriazzati da numeri quantici jP jD che sono entrambi numeri interi per nuclei con A pari e semi-interi per nuclei con A dispari Siccome la particella a ha spin 0, e il momento angolare deve essere conservato, la particella a deve essere emessa con un momento angolare orbitale non nullo relativamente al nucleo “figlio” che rincula Il momento angolare orbitale della particella a è caratteriazzato da un numero quantico l che deve essere un numero intero 0. Conservazione del momento angolare:

Momento angolare Nel caso in cui la particella a venga emessa con l 0, l’equazione di Schrodinger è: Separando le variabili si scrive: La parte angolare ha come soluzione le funzioni armoniche sferiche Ylm(cos,) L’equazione di Schrodinger per la componente radiale diventa:

Barriera di momento angolare Nel caso in cui la particella a venga emessa con l 0, la barriera dipotenziale a distanza r risulta: ed è maggiore di quella coulombiana di un termine l(l +1)ħ2/2mar2 detto barriera centrifuga La barriera centrifuga dovuta al momento angolare Rende la barriera più difficile da superare per effetto tunnel Riduce i rate di transizione e quindi aumenta le vite medie

Barriera centrifuga Considerazioni quantitative sulla barriera centrifuga L’effetto di variazione del potenziale è piccolo Esempio per l =2, Z=90 a distanza r=15 fm il termine coulombiano vale 17.3 MeV, mentre quello centrifugo vale 0.14 MeV (meno dell’1%) Tuttavia, un aumento dell’1% del fattore di Gamow porta ad un aumento di un fattore 2-3 del rate di transizione Esempio: Valori numerici calcolati da Blatt e Weisskopf nel 1952 per il caso di un decadimento a con Z=86, Ta=4.88 MeV, R=9.87 fm l 1 2 3 4 5 6 wl /w0 1.0 0.7 0.37 0.137 0.037 0.0071 0.0011

Barriera centrifuga e decadimenti Consideriamo il decadimento a: che può avvenire sullo stato fondamentale del 238U o in uno dei tre stati eccitati Il modo dominante è quello nello stato fondamentale con spin 0 I decadimenti sugli stati eccitati sono meno probabili per il minor Q e perché il valore di l aumenta Dalla teoria elementare con sola barriera coulombiana ci si aspetta: Il valore misurato è 2.010-5, quindi l’effetto della barriera centrifuga è un fattore 2/540=0.0037, simile a quanto previsto da Blatt e Weisskopf

Fissione spontanea

Fissione spontanea di nuclei Fissione spontanea = un nucleo pesante decade in due (o più) nuclei più leggeri e (spesso) dei neutroni liberi Nel caso del decadimento a, è la grande energia di legame della particella a (B/A=7.08 MeV) che rende possibile il decadimento La barriera di potenziale da superare per avere fissione spontanea è così alta che queste reazioni di fissione sono in generale estremamente improbabili Il nucleo più leggero in cui si osserva fissione spontanea è il 226Ra I nuclidi più leggeri per i quali la probabilità di fissione spontanea è paragonabile a quella di decadimento a sono certi isotopi dell’uranio. Caso del 238U: la probabilità di decadimento a per unità di tempo è wa=5·10-18 s-1, mentre quella per fissione spontanea è wfiss=3·10-24 s-1, con un rapportowfiss/wa di circa 6·10-7. All’aumentare del numero di massa A aumenta il branching ratio per fissione spontanea e la fissione spontanea diventa dominante per A > 260.

Fissione spontanea di nuclei Fissione spontanea = un nucleo pesante decade in due (o più) nuclei più leggeri e (spesso) dei neutroni liberi Nel caso del decadimento a, è la grande energia di legame della particella a (B/A=7.08 MeV) che rende possibile il decadimento I nucleoni nel 12C sono più legati (B/A=7.6 MeV) che nella particella a e quindi il decadimento in 12C è energeticamente possibile nei nuclei pesanti Il rate di fissione spontanea e’ significativamente alto in nuclei più pesanti del Torio e soprattutto nei transuranici

Fissione spontanea Caratteristiche: I prodotti di fissione sono normalmente lontani dalla curva di stabilità dei nuclei (per eccesso di neutroni) e per raggiungere la stabilità avvengono poi diversi decadimenti b- La produzione di frammenti con uguale (o quasi uguale) numero di massa è poco probabile, l’esito più comune è una fissione asimmetrica Il valore più probabile di differenza di numero dimassa tra i prodotti di fissione è circa 45

Modello per la fissione spontanea Dal modello a goccia: Variazione di energia di legame se il nucleo si deforma da sfera a ellissoide, mantenendo il volume costante (piccola deformazione) Effetto sul termine Coulombiano e sul termine di superficie Energia di legame (attenzione, calcolo molto approssimato!) a b

Modello per la fissione spontanea Basato sul modello a goccia: Potenziale in funzione della distanza tra i due frammenti all’interno del nucleo genitore determinato da due forze antagoniste: tensione superficiale e repulsione coulombiana A piccole separazioni domina la tensione superficiale e l’energia di legame diminuisce se il nucleo si deforma da sferico a prolato Quando la deformazione aumenta si può raggiungere un punto in cui il nucleo si spezza in due parti Break-up Separation deformation E’ un problema di penetrazione di una barriera di potenziale L’altezza della barriera si chiama energia di attivazione e vale 6-8 MeV per A=238 e diminuisce al crescere di Z2/A Per Z2/A>49 fissione immediata Per il Fermio (Z=100) Z2/A~39-40