Flusso Flusso del campo elettrico Superficie aperta Superficie chiusa Flusso del campo E attraverso una superficie S finita Superficie aperta Superficie chiusa Lezione n. 3 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Il teorema di Gauss Il flusso del vettore E campo elettrico attraverso una superficie chiusa S vale:    Dove Q = somma di tutte le cariche interne alla superficie chiusa S. NB: le cariche esterne NON contribuiscono al flusso Lezione n. 3 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Analogie tra legge di Gauss e di Coulomb Sono due modi diversi per enunciare lo stesso fenomeno fisico. I due punti fondamentali sono:   1) La dipendenza della forza di Coulomb da 1/r2 2) L’additività dei campi (E, F) La legge di Coulomb permette di ottenere il campo E una volta nota la carica Q, mentre con il teorema di Gauss, noto il campo E, si ottiene la carica presente in una certa regione dello spazio. Mentre la legge di Coulomb cessa di valere per cariche in moto, il teorema di Gauss si può applicare sia a cariche in quiete sia a cariche in moto. Il teorema di Gauss è quindi più generale della legge di Coulomb.   Lezione n. 3 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Esempio: campo elettrico di una carica Come esempio, vogliamo calcolare il campo elettrico generato da una carica q usando il teorema di Gauss Superficie gaussiana = sfera di raggio r centrata in q Il flusso vale: Il teorema di Gauss dice che: Quindi: Lezione n. 3 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Conseguenze del teorema di Gauss In un conduttore carico, in equilibrio elettrostatico, la carica è distribuita sulla sua superficie Infatti, in un conduttore carico in equilibrio elettrostatico, le cariche sono in quiete Inoltre, E = 0 (nei punti interni del conduttore)  Attraverso S (superficie gaussiana)  FE = 0 Q = 0 (all’interno del conduttore) Invece, vicino alla superficie di un conduttore carico, la carica elettrica all’interno della superficie gaussiana (cilindro) vale s S (dove s = densità superficiale di carica locale e S è l’area delle due superfici di base del cilindro). Per il teorema di Gauss:   Lezione n. 3 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Induzione elettrostatica Carica inducente = +q   E = 0 (nei punti interni del conduttore)  Attraverso S (superficie gaussiana) FE = 0 Q = 0 (all’interno di S) Carica indotta sulla superficie interna = -q   Carica indotta sulla superficie esterna = +q NB: il risultato è INDIPENDENTE dalla posizione della carica interna!!! Ad esempio, se all’interno la somma delle cariche è ZERO, il flusso è ZERO Lezione n. 3 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

La gabbia di Faraday Da quanto detto, risulta possibile creare uno schermo elettrostatico in un campo elettrico uniforme (detto gabbia di Faraday) utilizzando come schermo un involucro metallico (schermo elettrostatico) Sono presenti cariche elettriche indotte sulla superficie esterna dello schermo (La carica totale è nulla)   Il campo elettrico all’interno dello schermo è nullo (Le linee di campo all’esterno sono modificate) Lo schermo elettrostatico protegge dalle scariche elettriche Lezione n. 3 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Sistemi a simmetria cilindrica Superficie gaussiana = cilindro di raggio r alto h centrato sulla bacchetta Il flusso vale: Il teorema di Gauss dice che: Quindi, usando la densità lineare di corrente, si ha: Lezione n. 3 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Sistemi a simmetria piana: lastra carica Superficie gaussiana = cilindro retto chiuso di base A perpendicolare alla lastra Il flusso vale: Il teorema di Gauss dice che: Quindi, usando la densità superficiale di corrente, si ha: Lezione n. 3 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Doppia piastra Come nel caso precedente, si sceglie come superficie gaussiana un cilindro retto chiuso di base A perpendicolare alla lastra. All’interno del cilindro la carica totale è nulla (essendo le due densità di carica uguali ed opposte) per cui esternamente al doppio strato E=0. Tra le due piastre, invece, si ha un contributo di campo elettrico E=s/2e0 diretto da sinistra a destra (perché uscente) dovuto alla piastra carica positivamente ed un contributo di campo elettrico E=s/2e0 diretto ancora da sinistra a destra (perché entrante) dovuto alla piastra carica negativamente. Per cui, il campo totale vale E=s/2e0 + s/2e0 = s/e0 Lezione n. 3 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Sistemi a simmetria sferica Per ogni superficie gaussiana esterna alla distribuzione sferica, la carica totale racchiusa al suo interno è q e pertanto il campo elettrico esterno risulta indistinguibile da quello generato da una carica puntiforme. Per quanto riguarda il campo elettrico interno, è importante sapere le caratteristiche ). della distribuzione. Ad esempio, se essa è metallica, poiché le cariche in un conduttore metallico sono distribuite soltanto sulla superficie, al suo interno non ci sono cariche libere e quindi il campo elettrico è nullo. Nel caso di una sfera isolante, invece, se la carica è distribuita al suo interno in maniera uniforme (densità di carica r=dq/dV), è possibile valutare dapprima la carica contenuta entro la superficie gaussiana (sfera di raggio r<R): E quindi, essendo il flusso pari a: Si ottiene: Lezione n. 3 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02