Diffrazione di Fresnel La diffrazione Curvatura dei raggi luminosi quando oltrepassano un ostacolo di dimensioni a   (Grimaldi,  1650). La figura di diffrazione è formata da figure di interferenza. Fresnel nel 1819 dimostrò sperimentalmente che le figure di diffrazione possono essere spiegabili nell’ambito della teoria ondulatoria della luce (la macchia di Fresnel). Normalmente si seguono due approcci: Diffrazione di Fraunhofer   Sorgente e schermo sono posti a GRANDE DISTANZA dall’apertura diffrangente  Si ottiene con l’utilizzo di LENTI Fronti d’onda piani, raggi paralleli Semplicità di calcolo Diffrazione di Fresnel Sorgente e schermo sono posti a DISTANZA FINITA dall’apertura diffrangente  Fronti d’onda NON piani, raggi NON paralleli Difficoltà di calcolo Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Diffrazione da una singola fenditura Si consideri un’onda piana (l) diffratta da una fenditura di ampiezza a. Si vuole trovare la posizione del primo minimo (frangia scura). Per questo motivo, consideriamo la fenditura come suddivisa in due metà ideali (a/2). Il raggio luminoso proveniente da uno dei due bordi della fenditura interferisce con il raggio proveniente dal centro. Se P1 è la posizione della prima frangia scura, si ha interferenza distruttiva se la differenza di cammino ottico tra i due raggi (a/2 sin q) è pari a l/2. Tale soluzione è tanto più accettabile quanto più lo schermo C è distante dalla fenditura. Pertanto, la posizione del primo minimo si trova a a sin q = l Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

La posizione dei minimi Per trovare la posizione del secondo minimo (frangia scura), consideriamo ora la stessa fenditura come divisa in 4 quarti (a/4). In questo caso, la differenza di cammino ottico tra due coppie di raggi adiacenti (r2-r1, r3-r2, r4-r3) cioè a/4 sin q, deve sempre essere pari a l/2. Di nuovo, tale soluzione è tanto più accettabile quanto più lo schermo C è distante dalla fenditura. Pertanto, la posizione del secondo minimo si trova a a sin q = 2 l Per analogia, la posizione del minimo m-esimo si troverà a a sin q = m l Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Differenze di fase Suddividendo la fenditura in tantissimi sottointervallini, è possibile analizzare il contributo di ogni intervallino supponendo che esso si comporti come sorgente elementare puntiforme di un fronte d’onda (principio di Huygens). Analizziamone il comportamento su uno schermo posto a grande distanza partendo dalla posizione centrale e muovendoci verso angoli q crescenti.. Nella posizione centrale (q=0) tutti i fasori (vettori di fase) sono paralleli perché hanno la stessa fase (il cammino ottico è per tutti lo stesso). Pertanto (caso a) l’ampiezza dell’onda risultante Eq, data dalla somma vettoriale di tutti i fasori, è massima (=Em). In una posizione generica q (caso b) i fasori si sommano vettorialmente generando un fasore risultante di ampiezza Eq < Em. Quando i fasori formano una linea chiusa (caso c), il fasore risultante ha ampiezza nulla (Eq=0) e tale angolo corrisponde al primo minimo. Proseguendo nel muoversi sullo schermo, l’ampiezza del fasore risultante ricomincia a crescere (caso d) fino ad arrivare al secondo massimo ecc. Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Intensità dell’onda diffratta Nel caso di una posizione generica q, i fasori si sommano vettorialmente generando un fasore risultante di ampiezza Eq < Em. Essendo ed anche si arriva all’espressione: oppure, introducendo l’intensità: dove I minimi si hanno per a=mp con m=1,2,3,… La larghezza centrale del massimo di diffrazione diminuisce al crescere dell’ampiezza della fenditura rispetto a l. Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Diffrazione attraverso un foro circolare L’immagine prodotta da un foro circolare di diametro d produce figure di diffrazione. Il primo minimo si trova alla distanza angolare data dalla formula seguente, dove 1.22 è il risultato dell’integrazione delle sorgenti elementari in cui si può suddividere l’apertura circolare. R può anche essere visto come l’angolo minimo affinché 2 oggetti siano separabili (criterio di Rayleigh). Per  > R i due oggetti sono SEPARATI Per  > R i due oggetti sono NON SEPARATI Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Diffrazione da doppia fenditura Nel caso in cui luce di lunghezza d’onda l passi attraverso tante fenditure di larghezza a<<l, le frange di interferenza hanno tutte la stessa ampiezza (caso a). Se, invece, la fenditura ha ampiezza al, le frange di interferenza sono modulate dalla figura di diffrazione (b) e l’ampiezza risultante sullo schermo è composta da frange d’interferenza di ampiezza variabile modulata dalla figura di diffrazione (c). Intensità risultante diffrazione interferenza Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Reticoli di diffrazione Un insieme di N fenditure uguali, parallele ed equidistanti è chiamato reticolo di diffrazione (es.: gli atomi in un solido cristallino come NaCl). Come visto prima, quando si aumenta il numero di fenditure, si ottiene una figura con un insieme di frange di interferenza, le cui intensità sono modulate dall’inviluppo di diffrazione. Nel caso in cui tale numero sia molto grande, il massimo centrale di diffrazione (per ogni fenditura) è molto stretto, e si creano strette frange di interferenza. La posizione dei massimi è data dall’equazione: dove d è la distanza tra due fenditure adiacenti. Solitamente, si usa caratterizzare i reticoli di diffrazione con il passo, cioè il numero di fenditure per unità di lunghezza (ad es.: 600 fenditure per mm). Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Larghezza delle righe nei reticoli I reticoli di diffrazione sono solitamente usati per misurare lunghezze d’onda. La loro principale caratteristica è la larghezza delle righe (spettrali). Si definisce larghezza di riga la distanza angolare tra la posizione centrale ed il punto in cui l’intensità va a zero. Il primo minimo (di diffrazione) per una fenditura singola cade nel punto in cui la differenza di cammino ottico (a sinq) vale l. Per un reticolo con N fenditure e passo d, la differenza di cammino ottico è N d sin Dq  N d Dq . Tale valore deve essere pari a l. da cui Dq  l / N d Se la fenditura si trova, invece, ad un angolo rispetto all’asse centrale, tale valore è: Pertanto la larghezza di riga è migliore per reticoli più fitti. Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Lo spettroscopio Come noto, ogni sostanza emette onde elettromagnetiche con uno spettro caratteristico. Per le sostanze gassose, normalmente lo spettro di emissione è composto da righe spettrali. Uno spettroscopio a reticolo permette di osservare l’intensità delle righe spettrali che escono dal reticolo G colpito dalla luce della sorgente S focalizzata attraverso le lenti L1 e L2 e la fenditura S1 orientando semplicemente il telescopio T (cioè variando l’angolo q). La riga spettrale osservata quando l’angolo vale q=0 contiene tutte le l. Invece, a causa della dispersione, i massimi di ordine m successivo delle varie righe spettrali si osservano a posizioni angolari qm distinte. Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Dispersione e potere risolutore nei reticoli In un reticolo la capacità di distinguere due lunghezze d’onda molto vicine tra loro è una caratteristica fondamentale. Tale proprietà è fisicamente esprimibile attraverso la dispersione, data da: Dq = distanza angolare tra le due righe Dl = differenza di l tra le righe d = passo del reticolo m = ordine del massimo Una grandezza fisica alternativa è il potere risolutore di un reticolo, definito dall’espressione: N = numero di fenditure Maggiore potere risolutore Maggiore dispersione Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Diffrazione dei raggi X I raggi X hanno l  0.1 nm  10-10 m e pertanto un reticolo di diffrazione che funzioni nel visibile (l  550 nm  5.5 10-7 m ) non ha il potere risolutore sufficiente per discriminare le l dei raggi X. Ma quando un fascio di raggi X colpisce un solido cristallino, i raggi vengono diffusi dal cristallo stesso in tutte le direzioni. In alcune direzioni le onde diffuse interferiscono positivamente, in altre negativamente, per cui si creano massimi in corrispondenza di piani di riflessione paralleli. Le condizioni (legge di Bragg) per cui ciò avviene sono: 2d sinq = ml In questo caso la relazione tra distanza interplanare d e dimensione della celle elementare a0 vale 50.5 d = a0 Un metodo per generare raggi X è quello di riscaldare un filamento incandescente F i cui elettroni, accelerati dalla d.d.p. V, colpiscono un bersaglio metallico T posto dentro un tubo a vuoto C. Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02