Evoluzione degli acceleratori (Livingston Chart) Elettrostatici Lineari Circolari Diagramma dell’energia degli acceleratori dal 1930 al 2010

Il raggiungimento di energie sempre maggiori per indagare Lo sviluppo degli acceleratori è stato determinato dalla ricerca fondamentale: Il raggiungimento di energie sempre maggiori per indagare la struttura della materia nei componenti più ultimi ha portato con sé l’evoluzione di tecnologie e di conoscenze che si usano per applicazioni in moltissimi campi

Unità di misura dell’energia usate negli acceleratori: Un electron volt è una misura di energia:  è l’energia cinetica guadagnata da un elettrone passando in una differenza di potenziale di un Volt.  Un Volt non è una misura di energia.   Un electron volt è una misura di energia.  Un eV è un’energia molto piccola. un eV = 1.602 x 10-19 joules Unità di misura dell’energia usate negli acceleratori: 103 eV = 1 KeV 106 eV = 1 MeV 109 eV = 1 GeV 1012 eV = 1 TeV

Gli acceleratori circolari E.O.Lawrence (1930) ebbe la brillante idea di curvare le particelle su una traiettoria circolare, facendole ripassare molte volte nello stessa cavità a radiofrequenza. Negli acceleratori circolari un campo magnetico B è diretto verticalmente; se una particella relativistica di momento p viaggia nel campo magnetico perpendicolare la variazione di momento è dp/dt=e v x B il raggio di curvatura della traiettoria dipende dalla carica e dall’energia della particella

Quali sono i componenti di un sistema di acceleratori ? Booster - piccolo anello che prepara il fascio del linac per una migliore efficienza di iniezione Anello di accumulazione Electron Gun Linac

Descrizione di un anello d’accumulazione ELEMENTI Magneti Camera da vuoto Cavità rf Sistemi di diagnostica Posizione Corrente Sistema di raffreddamento (+ criogenico se SC) Pompe da vuoto Sistema di controllo Cavi (km…) Protezione dalle radiazioni … DAFNE: collider e+ e- all’energia della particella F usato anche come sorgente di luce di sincrotrone

Principali magneti di un anello DIPOLI – determinano la traiettoria di riferimento QUADRUPOLI – mantengono le oscillazioni di tutte le particelle intorno alla traiettoria di riferimento SESTUPOLI – correggono l’effetto cromatico dei quadrupoli WIGGLERS – aumentano l’emissione di luce di sincrotrone

Equazione fondamentale per descrivere il movimento di una particella in un acceleratore Il moto di una particella carica è modificato dai campi elettromagnetici  particella relativistica

con le cavità a radiofrequenza Campi elettrici Accelerazione: aumento di velocità + aumento di energia con le cavità a radiofrequenza (come nei linacs)

Accelerazione = aumento di energia b = v/c La variazione di velocità è trascurabile al di sopra di una certa energia Energia cinetica  Velocità delle particelle normalizzata alla velocità della luce in funzione dell’energia

Campi magnetici Una particella carica in un campo magnetico uniforme B descrive un cerchio di raggio r Dalla forza di Lorentz: Rigidità magnetica I campi magnetici sono usati negli acceleratori per guidare le particelle cariche nelle loro traiettorie all’interno della camera da vuoto

In ogni acceleratore esiste una traiettoria di riferimento, sulla quale viaggia la particella nominale (energia nominale, momenti trasversali nulli). In un acceleratore circolare tale traiettoria è un’orbita chiusa formata da archi di cerchio e tratti dritti y

servono anche forze focheggianti che le mantengano vicine ad essa Siccome le particelle fanno traiettorie deviate rispetto a quest’orbita servono anche forze focheggianti che le mantengano vicine ad essa

Frequenza di rivoluzione DAFNE (Frascati) LEP (CERN, Ginevra) 3 milioni di giri/sec 11000 giri/sec

Sistema di riferimento x y s x – orizzontale y – verticale s – longitudinale sulla traiettoria di riferimento

Curvano la traiettoria Campo magnetico verticale: DIPOLI Curvano la traiettoria Campo magnetico verticale: componenti nel nostro sistema di riferimento

QUADRUPOLI focheggiano le traiettorie fuori asse campo magnetico forze sulle particelle

Componenti del campo magnetico nel nostro sistema di riferimento: Quadrupoli y Fy Componenti del campo magnetico nel nostro sistema di riferimento:

Forza di Lorentz: la forza di focheggiamento è lineare in x e y Un quadrupolo focheggia in x e defocheggia in y

Sequenza FODO Una sequenza alternata di lenti focheggianti e defocheggianti ha un effetto totale focheggiante se le distanze tra le lenti non sono troppo lunghe Il quadrupolo che focheggia nel piano orizzontale, defocheggia in quello verticale e viceversa La sequenza FODO focheggia nei due piani

Esempi di magneti in un anello quadrupolo dipolo Si può variare l’intensità del campo magnetico modificando dal sistema di controllo la corrente nelle spire

Magneti permanenti Quadrupoli usati nelle zone di interazione di DAFNE per alcune applicazioni si usano i materiali a magneti permanenti: il campo magnetico è fisso, non può essere variato con l’energia; non consumano corrente usati spesso negli ondulatori delle sorgenti di luce di sincrotrone i

Wigglers e ondulatori Negli anelli di luce di sincrotrone per aumentare l’emissione di radiazione si usano i Wigglers e gli Ondulatori: serie di dipoli a campi alternati in cui le particelle compiono un’oscillazione ed emettono luce la cui lunghezza d’onda dipende dal campo del wiggler

Oscillazioni di betatrone Una particella con l’energia nominale e con segue la traiettoria nominale e passa al centro dei quadrupoli dove il campo magnetico è nullo Se la sua posizione cambia per qualche motivo, passa fuori asse nei quadrupoli e oscilla intorno alla traiettoria nominale: Oscillazione di betatrone Q Q x Traiettoria nominale

Oscillatore pseudoarmonico Termine forzante periodico Q Equazioni di Hill: Oscillatore pseudoarmonico Termine forzante periodico D

A, d : costanti di integrazione f : avanzamento di fase di betatrone Soluzione Posizione Angolo (divergenza) y : coordinata trasversa (x o y) Funzioni di Twiss A, d : costanti di integrazione b : ampiezza di betatrone f : avanzamento di fase di betatrone

Piano orizzontale : particelle con energia diversa da quella nominale Una particella con l’energia diversa da quella nominale, al passaggio in un dipolo segue una traiettoria diversa da quella nominale L’equazione del moto è non omogenea nel piano orizzontale:

D(s) è la funzione di dispersione, periodica, La soluzione è la somma della soluzione all’equazione omogenea, xb(s) e di un termine proporzionale alla deviazione di energia D(s) è la funzione di dispersione, periodica, viene determinata dai dipoli e dai quadrupoli Se xo(s) è l’orbita chiusa di riferimento, per ogni energia Ek esiste un’orbita chiusa, intorno alla quale oscillano di betatrone le particelle con energia Ek Negli anelli in cui i dipoli curvano soltanto sul piano orizzontale esiste solo la funzione Dx(s), dispersione orizzontale

Spazio delle fasi di una particella Area dell’ellisse = invariante del moto a energia costante a, b, g, variano lungo s; l’area dell’ellisse è invece costante

L’area dell’ellisse che contiene tutte le particelle del fascio è EMITTANZA L’area dell’ellisse che contiene tutte le particelle del fascio è l’emittanza Momento trasverso I parametri di Twiss definiscono la forma e l’inclinazione dell’ellisse nello spazio delle fasi, l’emittanza la sua area. Dimensione trasversa

Le unità di misura dell’emittanza sono (dimensione * divergenza) L’emittanza si conserva qualunque sia la forza magnetica che agisce sulla particella: Teorema di Liouville “Nelle vicinanze di una particella, la densità delle particelle nello spazio delle fasi è costante se le particelle si muovono in un campo magnetico esterno o in qualunque campo in cui le forze siano conservative” Le unità di misura dell’emittanza sono m rad (dimensione * divergenza) Spazio delle fasi in diversi punti dell’acceleratore

Caratterizzazione del fascio Le particelle di un fascio in un acceleratore non hanno tutte la stessa energia e posizione L’energia, la posizione e il momento trasverso hanno distribuzioni gaussiane Il pacchetto di particelle è un ellissoide a 6 dimensioni: Posizione - momento orizzontale Posizione - momento verticale Energia - posizione longitudinale y s distribuzione x coordinata

Caratterizzazione di una particella DE/E x’ y’ y Dl x Ogni particella ha il suo invariante nei 3 “spazi delle fasi”: orizzontale, verticale e longitudinale

Dimensione del fascio Quanto misura il pacchetto di elettroni o positroni all’interno della camera da vuoto? Negli anelli di collisione e+ e- nel piano orizzontale la s è tipicamente dell’ordine dei mm mentre nel piano verticale è circa 100 volte minore La dimensione trasversa del fascio è (rms della gaussiana) emittanza

Trattamento matematico: MATRICI Abbiamo visto: Orbita chiusa Oscillazioni di betatrone intorno ad essa Diverse orbite chiuse per diverse energie Equazioni del moto Parametri di Twiss e dispersione periodici … VETTORE Trattamento matematico: MATRICI Ogni particella è caratterizzata da 6 coordinate Due orizzontali: x, x’ Due verticali: y, y’ Due longitudinali: s, DE/E

, … Il modo in cui il vettore di una particella si trasforma quando passa per un elemento dell’anello viene descritto dalla matrice dell’elemento Conoscendo le caratteristiche di un elemento La sua matrice di trasporto è definita Tratto dritto: Quadrupolo Dipolo , …

L’anello è descritto matematicamente da una serie di matrici. Sia per la progettazione che per la simulazione della dinamica del fascio vengono usati codici di calcolo Esempio di simulazione di una regione di anello: funzioni b di Twiss (nera e rossa) e Dispersione (verde)

Frequenze di betatrone Il numero di oscillazioni di betatrone in un giro è chiamato ‘numero di betatrone’ o ‘tuno’ (dall’inglese ‘tune’) Siccome le oscillazioni vengono guidate dai quadrupoli, il tuno dell’anello viene determinato dai campi quadrupolari: più forti sono i quadrupoli, più rapide sono le oscillazioni, maggiori sono i tuni

Risonanze La frequenza di betatrone non è un numero intero: se così fosse, qualunque perturbazione ci fosse in un punto dell’anello sarebbe vista sempre con la stessa fase, e il suo effetto cumulativo potrebbe essere distruttivo per la particella ci sono quindi zone ‘proibite’ nel diagramma dei tuni: le risonanze

Errori di posizionamento o campo … quanto detto finora si riferisce a un acceleratore ‘ideale’ Nella realtà è impossibile costruire una macchina perfetta: gli errori di posizionamento dei magneti o di intensità del campo magnetico costituiscono un elemento della macchina. Il loro trattamento matematico fa parte della fisica degli acceleratori tanto quanto ne fa parte l’elettromagnetismo Orbita chiusa ideale Caso più semplice: errore di posizionamento di un quadrupolo crea un’orbita chiusa che si discosta da quella ideale lungo tutta la macchina Orbita chiusa dovuta a un errore

posizione della traiettoria: dx y Fy posizione della traiettoria: dx Il quadrupolo agisce come un dipolo By = g x e dà alla traiettoria un angolo da proporzionale a gx L’orbita chiusa che ne deriva è data da Se Qx fosse intero l’orbita sarebbe infinita -> instabile

Cromatismo L’effetto focheggiante o defocheggiante di un quadrupolo dipende dall’energia della particella E = Eo E > Eo Il tuno della particella con energia nominale è diverso dal tuno di una particella con energia diversa = cromatismo sE

Sestupoli Il cromatismo non corretto crea instabilità al di sopra di certe correnti (effetto testa-coda: scoperto ad ADONE, Frascati) Per correggerlo si usano i sestupoli Il sestupolo si comporta come un quadrupolo con un gradiente proporzionale allo spostamento trasversale I sestupoli introducono i campi non lineari nell’acceleratore

Apertura dinamica: zona stabile all’interno dell’anello La presenza di campi non lineari implica che il moto della particella non è più un’ellisse nello spazio delle fasi (non basta l’equazione di Hill). Il moto diventa più disordinato e può portare a Instabilità. L’attraversamento delle risonanze può portare a perdita della particella Solo campi lineari Dipoli e quadrupoli Sestupoli Ottupoli …..

simulazione dello spazio delle fasi con forti campi non lineari

Quando passa nella cavità rf , Piano longitudinale Cavità rf Il fascio di particelle viene iniettato nell’anello con l’energia acquistata nel LINAC. Durante il passaggio attraverso i dipoli perde energia emettendo “luce di sincrotrone”. Quando passa nella cavità rf , ri-guadagna energia.

Durante l’accelerazione tutti i campi magnetici vengono La frequenza rf del campo elettrico della cavità, frf , è un multiplo intero della frequenza di rivoluzione, fo La particella sincrona è la particella nominale, che arriva alla cavità dopo un giro, all’istante in cui la fase è quella giusta per il guadagno nominale di energia Durante l’accelerazione tutti i campi magnetici vengono aumentati per seguire l’aumento di energia Quando l’energia del fascio arriva al valore nominale dell’anello, la cavità rf restituisce alle particelle solo l’energia che esse perdono per luce di sincrotrone durante il giro.

con lo stesso principio della stabilità di fase nei linacs. Le altre particelle del fascio, oscillano intorno alla particella sincrona, con lo stesso principio della stabilità di fase nei linacs. Analogamente ai piani trasversali, si possono scrivere le equazioni delle oscillazioni longitudinali, dove le coordinate della particella sono Oscillazioni di sincrotrone Zone stabili

Energia emessa per giro Radiazione di sincrotrone Una particella carica che viaggia in una traiettoria curva emette fotoni, la cui energia dipende dalla massa e dall’energia della particella e dal raggio di curvatura della traiettoria Una particella carica che viaggia in una traiettoria curva perde energia. In un anello di accumulazione l’energia persa viene compensata dalle cavità a radiofrequenza cavità a rf Energia emessa per giro Le particelle più leggere emettono più energia. Come sorgenti di radiazione vengono usati acceleratori di elettroni o positroni

Emissione di luce di sincrotrone Massa Energia della particella Raggio di curvatura della traiettoria Campo magnetico r (m) E (GeV) DE/giro (MeV) DAFNE 1 0.51 0.009 ELETTRA 5.6 2 0.1 ESRF 23 6 LEP 3000 100 1500

Anello di luce di sincrotrone: nella camera da vuoto dove le particelle curvano si inseriscono finestre di diamante da dove la luce viene estratta e trasportata alle linee degli esperimenti

Quali sono i ‘limiti’ delle sorgenti di radiazione ? Energia Intensità

Aumentando l’energia di un acceleratore circolare si aumenta la perdita di energia per luce di sincrotrone: cavità rf dipoli dimensioni totali dell’anello tutti i campi magnetici devono essere dimensionati adeguatamente

Intensità: effetti collettivi Abbiamo visto come il moto di una singola particella in un acceleratore è determinato dai campi magnetici creati dai dipoli e quadrupoli, dal sistema rf, dalle condizioni iniziali e dalla radiazione di sincrotrone Esempio: N=5 10 10 per bunch n = 100 Qtot= 1.6 10 –19 C x 100 x 5 10 10 = 8 10-7 C I = Q/t = Q fo = 3 10 –6 1.6 10-7 = 2.4 A Tutte le particelle contenute in un fascio ad alta intensità sono una corrente elettrica con una carica non trascurabile

o modifica della distribuzione del fascio, I fasci di particelle agiscono come sorgente di campi elettromagnetici: self fields Questi campi interagiscono con ciò che li circonda, vengono modificati dalle condizioni al contorno (camera da vuoto, cavità, ecc) e agiscono a loro volta sul fascio stesso Ciò può dare origine a una variazione delle frequenze proprie del fascio (frequenze di betatrone e sincrotrone), può portare a: instabilità, o modifica della distribuzione del fascio, o allungamento dei pacchetti. Questi fenomeni si chiamano effetti collettivi e sono naturalmente collegati al numero di particelle presenti nel fascio

I sistemi che ‘controllano’ gli effetti collettivi sono diversi: Impedenza di ogni elemento ‘visto’ dal fascio (camera da vuoto, soffietti, cavità, elementi di diagnostica,….) Vuoto dinamico Sistema di feedbacks …

Camera da vuoto esempio di elementi arco di DAFNE soffietto

Diagnostica Esempio di monitor di posizione: il segnale elettrico del fascio viene raccolto da 4 elettrodi, La tensione indotta permette di risalire alla posizione in x e y del centroide del fascio

Sistema di controllo Le informazioni sullo stato di ogni elemento dell’acceleratore + le informazioni sulla posizione, intensità, stato del fascio lette dagli elementi di diagnostica vengono trasportate alla sala di controllo dove l’operatore controlla la situazione e agisce sugli elementi dell’accelaratore per mantenere e ottimizzare le performance dell’insieme. Eventuali malfunzionamenti dei vari sottosistemi vengono segnalati in tempo reale

Collisori particella-antiparticella Particella-antiparticella circolano in versi opposti nello stesso anello (es. ADONE) Vantaggio rispetto ad un fascio contro una targhetta fissa: stessa E nel centro di massa ma con molta meno E del fascio: Collisore Targhetta fissa di e- Per avere 1 GeV nel centro di massa: W = 1 GeV E1 = E2 =.5 GeV E = 1000 GeV Vantaggio e+e- rispetto a p anti-p: e+e- puntiformi

Vantaggio dei 2 anelli separati (DAFNE) Luminosità Numero di particelle prodotte nell’interazione: Limite principale sulla L: interazione fascio-fascio particella di un fascio vede l’altro fascio come una lente convergente  oscillazioni di betatrone incontrollabili entro un certo limite Vantaggio dei 2 anelli separati (DAFNE) Luminosità Sezione d’urto Numero di particelle collidenti Sezione trasversa dei fasci all’interazione

Se volete saperne di più…. CAS: CERN Accelerator School Proceedings : http://cas.web.cern.ch/cas/CAS_Proceedings.html M. Sands, “The Physics of Electron Storage Rings”, SLAC Report 121 (1970)