Boscaro Gianni & Brugnaro Luca Interpretazione dei fenomeni in ambito sanitario: dal campione alla popolazione Esercitazioni di Inferenza Statistica Boscaro Gianni & Brugnaro Luca

Focus sulla relazione: esempi pratici  

La distribuzione Normale e il test Z: Ipotesi iniziali indipendenza dei dati e identicamente distribuiti (iid), dipende dal disegno di studio ; distribuzione normale dei dati (vedi test sulla normalità) presenza solo di errori campionari (con distribuzione pari ad una normale con media 0 e deviazione std. pari ) assenza di errori sistematici deviazione standard della distribuzione nota pari a sigma  

Distribuzione normale : esempio1   La differenza osservata tra le due medie è statisticamente significativa (alfa=0.01) ?

Esempio 1: sistema di Ipotesi  

Esempio 1: risoluzione e calcoli     sotto H0 Si respinge l’ipotesi nulla

Sintesi della procedura delineata

Esempio 1 : conclusione Poiché il valore empirico di z = 3.85 > zc, con una probabilità dell'1% di commettere un errore di I tipo, si decide di respingere l'ipotesi nulla e di concludere che le donne del campione appartengono ad una popolazione con valori medi di glicemia diversi dalla popolazione presa in esame. Per una stima intervallare della media della popolazione delle gravide padovane, considerando i dati del campione estratto, si procede:  

Esempio 1:stima intervallare n=100 #numerosità del campione > alfa=0.01 > p=1-alfa/2 > media_camp= 83.5 > z=qnorm(p) > sigma=13.5 #se la varianza è conosciuta (requisito per il test) > lim_inf=media_camp - z*sigma/sqrt(n) > lim_sup= media_camp + z*sigma/sqrt(n) > list(lim_inf,lim_sup) [1] 80.02263 [2] 86.97737 Per calcolare la probabilità che si verifichi H0: > pvalue= 2*pnorm(3.85,lower.tail=F) #ipotesi bilaterale > pvalue [1] 0.0001181178

Esempio 2 : il t.test e la distribuzione di T di Student È simmetrica Per campioni elevati si approssima ad una normale standard Media centrata sullo zero La curva si modifica secondo i df

Student t test: Ipotesi iniziali indipendenza dei dati(dipende dal disegno di studio) distribuzione normale dei dati(vedi test sulla normalità) presenza di errori campionari assenza di errori sistematici deviazione standard della distribuzione della popolazione ignota . E’ nota la varianza campionaria corretta (s)

Student T test Calcolo del t osservato Calcolo del t osservato utilizzando R t.test(dati1, (dati2 = può non esserci), alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95)

Esempio 2 : maschi vs femmine Immaginiamo di aver rilevato i voti degli assaggiatori di sesso diverso, delle birre ottenute con un particolare tipo di malto. Si vuole verificare se il giudizio medio degli assaggiatori è pari a 6 ( la sufficienza) si ponga il livello di significatività pari al 5%, supponendo che la varianza della popolazione non sia nota. Inoltre, il responsabile del marketing vuole verificare se il gradimento della birra non dipende dal sesso dell’assaggiatore. A tale scopo si rilevano i seguenti giudizi per indirizzare la campagna pubblicitaria. # A S 01 7 m 02 8 m 03 9 m 04 8 f 05 9 f 06 7 f 07 6 f 08 7 m 09 8 m 10 5 m Domanda 1 Domanda 2           Indicare un sistema di verifica di ipotesi nel quale la media del gradimento della birra tra gli uomini e maggiore rispetto alle donne

Uso delle tavole il valore critico di t si trova all’incrocio tra la riga 10 e la colonna .025 (considerando i valori sotto l’etichetta «Ipotesi bidirezionale»), si ricorda che la distribuzione della t di Student è simmetrica, quindi i valori positivi e negativi per uno stesso livello di alfa coincidono nel modulo e sono solo differenti nel segno).

Sviluppo e Calcoli Commentare i risultati Media campionaria = = 7,4 Varianza campionaria corretta= = 1,6 Statistica = 3,5 Dalle tavole Y~ t(9,0,025) = 2,262 ; Y~t(9,0,05)= 1,83 Commentare i risultati

Calcoli e sintassi con R creare un dataset > S=factor(c("m","m","m","f","f","f","f","m","m","m")) > A=c(7,8,9,8,9,7,6,7,8,5) > birra2=data.frame(S,A) > birra2 S A 1 m 7 2 m 8 3 m 9 4 f 8 5 f 9 6 f 7 7 f 6 8 m 7 9 m 8 10 m 5 > boxplot(S,A) > boxplot(A~S) > t.test(A~S)

Calcoli con R Domanda 1: test ad un campione > t.test(A,mu=6,alternative="greater") One Sample t-test data: A t = 3.5, df = 9, p-value = 0.003362 alternative hypothesis: true mean is greater than 6 95 percent confidence interval: 6.666755 Inf sample estimates: mean of x 7.4 sd=(sqrt(var(A))) > x=mean(A) > n=10 > mu=6 > toss=(x-mu)/(sd/sqrt(n)) > toss [1] 3.5

Calcoli con r Domanda 2: test a due campioni Welch Two Sample t-test data: A by s t = 0.1954, df = 6.858, p-value = 0.8508 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -1.859068 2.192401 sample estimates: mean in group f mean in group m 7.500000 7.333333 shapiro.test(A) Shapiro-Wilk normality test W = 0.9297, p-value = 0.4453

In termini pratici… Le tavole forniscono i quantili Si trovano fissando i gradi di libertà e l’errore voluto Si utilizza con un campione ridotto e conoscendo solo la varianza campionaria S²

Esempio 3 : il chisq.test e la distribuzione chi-quadro di Pearson chisq.test permette di verificare se vi è indipendenza tra la variabile identificata sulle righe e quella sulle colonne di una tabella di contingenza (num_righe*num_colonne). I gradi di libertà del test sono pari a (num_righe –1)*(num_colonne -1). Il test richiede l’indipendenza dei dati ma nessuna particolarità sul tipo di distribuzione dei dati. In R: chisq.test(x) Dove x è una tabella di contingenza (le distribuzioni congiunte delle due variabili)

χ² di Pearson  

Esempio 3: la scoperta del secolo Si ipotizza che l’assunzione regolare di vitamina C possa ridurre il rischio di contrarre l’influenza. Per un anno, regolarmente a un gruppo di individui di un campione randomizzato a triplo cieco viene somministrata la Vitamina C e alla parte restante un Placebo. I soggetti vengono dunque seguiti per un anno e alla fine si chiede a ciascuno se hanno contratto l’influenza (modalità = si o no ). Si riportano nella tabella "esperimento" i dati aggregati. esperimento=matrix(c(116,24,115,24),nr=2,dimnames=list(influenza=c("si","no"),trattamento=c("si","no"))) > esperimento influenza trattamento placebo vit C tot NO 116 115 231 SI 24 48 140 139 279

Come procedere Costruire il sistema di ipotesi concettuale Tabella frequenze attese Calcolo del χ² di Pearson Confronto con il valore critico conclusione

Costruire il Sistema di ipotesi l’assunzione regolare di vitamina C può ridurre il rischio di contrarre l’influenza ? l’ipotesi H0 :le variabili sono indipendenti l’ipotesi H1 : vi è qualche forma di relazione tra le variabili

gradi di libertà (n-1)(c-1) il ricercatore ha fissato un valore di alfa pari a .05 formulando un’ipotesi Abbiamo quindi un sistema di ipotesi dove: H0 : indipendenza stocastica H1: relazione tra le variabili  

Tabella delle frequenze «attese» Le frequenze attese sono quei valori che ci aspetteremo nella ipotesi della indipendenza «Stocastica». influenza trattamento placebo vit C tot NO 116 115 231 SI 24 48 140 139 279 influenza trattamento placebo vit C tot NO 115,914 115,086 231 SI 24,08602 23,91398 48 140 139 279 = 0,0007446

…….ancora calcoli trattamento influenza si no si 115.91398 115.08602 chisq.test(esperimento)$expected trattamento influenza si no si 115.91398 115.08602 no 24.08602 23.91398 > chisq.test(esperimento) Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction data: esperimento X-squared = 0, df = 1, p-value = 1 > chisq.test(esperimento,correct=F) Pearson's Chi-squared test X-squared = 7e-04, df = 1, p-value = 0.9782

Quali conclusioni possiamo trarre dai risultati ottenuti ? fissato un alfa (usualmente 0.05) verifico il p-value rispetto a questo alfa se p-value >= alfa: accetto l’ipotesi H0 (le variabili sono indipendenti) se p-value < alfa: accetto l’ipotesi H1 (vi è qualche forma di relazione tra le variabili) Quali conclusioni possiamo trarre dai risultati ottenuti ?

Grazie per l’attenzione