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…oggi… Indipendenza lineare, basi, sottospazi Autovalori, autovettori Fattorizzazione QR Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt Esercizi vari

Vettori l.i. sono linearmenti indipendenti se m=n e i vettori sono l.i. => formano una base di Rn Fissata una base nello s.v. V possiamo associare in modo unico ad un vettore v un elemento di Rn => per vedere se i vettori sono l.i. o no si puo’ operare direttamente in Rn Si scrivono i vettori in componenti e si forma la matrix A che ha come colonne le componenti dei vettori e si calcola il rango della matrix. I vettori corrispondenti alle colonne dei pivot sono quelli l.i.

il rango è 3 => i vettori sono l.i. e formano una base per R3 Esempio - 1 il rango è 3 => i vettori sono l.i. e formano una base per R3 v1 = [1 0 2]’; v2 = [2 1 1]’; v3 = [1 2 0]’; A = [v1 v2 v3] rank(A) In MATLAB x vedere se i vettori v1,v2,v3 sono l.i formiamo la matrix A avente x colonne le componenti dei vettori e vediamo quanto vale il rango della matrix col comando rank(A); se il rango è 3 => i vettori sono l.i.; in particolare poiché siamo in R3 i 3 vettori formano una base x tale spazio

il rango è 3 => i vettori sono l.d. Esempio – 2 (I parte) v1 = [1 2 0 1]’; v2 = [2 2 1 1]’; v3 = [1 0 1 0]’; v4 = [0 2 0 2]’; A = [v1 v2 v3 v4] rank(A) il rango è 3 => i vettori sono l.d.

Esempio – 2 (II parte) Per trovare una c.l. nulla a coefficienti nn tutti nulli t.c. troviamo una soluzione non nulla del sistema omogeneo Ak = 0 Vi ricordate come si risolve un sistema lineare in Matlab? A è una matrix quadrata singolare => per risolvere il sistema facciamo rref(A) e scriviamo le soluzioni a mano rref(A)

Basi Dopo aver verificato che i vettori sono una base di R3 esprimere come c.l. dei v1 = [1 1 0’]’; v2 = [0 1 1]’; v3 = [1 0 1]’; v = [1 1 1]’; A = [v1 v2 v3] rank(A) il rango è 3 => i vettori sono l.i. i coefficienti lineari della combinazione si trovano: I coefficienti lineari della combinazione si trovano risolvendo il sistema Ak=v A matrix quadrata di ordine 3 nn singolare => risolviamo il sistema con l’algoritmo di Gauss k=A\v

…ricapitolando… sono l.i.  rank(A)=m W = span(v1,v2,…,vm) dim W = rank(A) per trovare una base del s.s. BW si considerano i vettori l.i. che costituiscono la matrix A per esprimere un vettore w come c.l. dei vettori della base, si forma la matrix B avente per colonne le componenti di tali vettori e si risolve il sistema Bk=w se i vettori sono l.d. => i coefficienti di una loro combinazione lineare non nulla si trovano risolvendo il sistema Ak=0 A è la matrix avente x colonne le componenti dei vettori

Esercizi - 1

Esercizi - 2

Vettori ortogonali I vettori non nulli si dicono ortogonali se: I vettori non nulli si dicono ortonormali se sono ortogonali e inoltre Se m=n si dice che tali vettori ortonormali formano una base canonica (ortonormale) di Rn

Matrici ortogonali Una matrice si dice ortogonale se le sue colonne formano vettori fra loro ortonormali le colonne (le righe) di A formano una b.c. di Rn

Vettori ortogonali in MATLAB Per verificare, mediante MATLAB, se 2 vettori v1,v2 sono ortogonali Se il prodotto del vettore riga v1’ col vettore colonna v2 e’ 0 => i vettori sono ortogonali Per calcolare la norma di un vettore v1’*v2==0 norm(v)

Autovalori e autovettori Per trovare gli autovalori e autovettori di A ava -> vettore colonna degli autovalori di A D -> matrice diagonale contenente gli autovalori di A V -> matrice le cui colonne sono gli autovettori di A relativi agli autovalori in D Data una matrix quadrata A di ordine n, un numero λ (reale o complesso) e un vettore v son detti risp autovalore e autovettore di A se vale la relazione Av= λv. Per ottenere in MATLAB gli autovalori e autovettori di una matrix quadrata si usa il comando eig Se come parametro di uscita indichiamo una sola variabile => eig ci restituisce un vettore colonna contenente gli autovalori della matrix, altrimenti RICORDA gli autovalori di una matrix diagonale sono gli elementi della diagonale gli autovalori di una matrix trangolare (sup o inf) sono gli elementi della diagonale gli autovalori di una matrix simmetrica sono tutti numeri reali ava= eig(A) [V D] = eig(A)

Esempio diagonalizzabile => [V D] = eig(A) V*V’ esiste una base di Rn formata da autovettori di A A simmetrica => A diagonalizzabile in questo caso eig dà una matrix V ortogonale il comando eig restituisce vettori ortonormali [V D] = eig(A) V*V’ V’*V Le colonne di V formano una base canonica per Rn La matrix V ottenuta dalla funzione eig a due output è una matrix ortogonale

Esercizi Data la matrix dire se è diagonalizzabile e trovare la matrix P che la diagonalizza Trovare una base di autovettori di R3 formata da autovettori di A. E’ una base ortonormale?

Fattorizzazione QR Una matrice invertibile può essere fattorizzata come A = QR Q è ortogonale (è l’ortogonalizzazione delle colonne di A) R è triangolare superiore. Si può usare la stessa fattorizzazione anche per matrici non quadrate.

Esempio Trovare la fattorizzazione QR della matrice clear [Q,R]=qr(A) Q*R=A % test Q*Q’ % è = I Q’*Q % è = I

Esercizi Sia data la matrix A 1) è diagonalizzabile? 2) se si scrivere una base ortonormale di R3 3) A è invertibile? 4) se si scrivere la fattorizzazione QR di A

Algoritmo di Gram-Schmidt Siano n vettori l.i. di Rn Esistono  Rn tali che span( )=span( ) siano a due a due ortonormali