INTENSITA SU UNO SCHERMO IN UNA INTERFERENZA TRA DUE SORGENTI PUNTIFORMI Alberto Martini

Vogliamo dimostrare teoricamente la seguente relazione, che descrive lIntensità su uno schermo nel caso di una interferenza tra due sorgenti puntiformi, nella condizione di Fraunhofer (schermo allinfinito) II dsen MAX cos 2

Per prima cosa dimostriamo che: Lenergia trasportata da unonda è proporzionale al quadrato della sua ampiezza I A 2

Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Per la legge di Hooke si ha: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha:

Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: x

Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: x

Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: Sostituendo otteniamo: x

Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: Sostituendo otteniamo: x

Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: Sostituendo otteniamo: x

Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: Sostituendo otteniamo: E ancora: x K m x T x 4 2 2

Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: Sostituendo otteniamo: E ancora: K m T x K m x T x 4 2 2

Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: E ancora:

Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

2

Dato che lINTENSITA è il flusso di energia e X rappresenta lampiezza

Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Dato che lINTENSITA è il flusso di energia e X rappresenta lampiezza E poichéè costante

Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Dato che lINTENSITA è il flusso di energia e X rappresenta lampiezza E poichéè costante Essendo

Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Dato che lINTENSITA è il flusso di energia e X rappresenta lampiezza E poichéè costante Essendo Sarà anche:

Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Dato che lINTENSITA è il flusso di energia e X rappresenta lampiezza E poichéè costante Essendo Sarà anche:

Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Dato che lINTENSITA è il flusso di energia e X rappresenta lampiezza E poichéè costante Essendo Sarà anche:

Dunque, se cerchiamo lINTENSITA in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo lampiezza dellonda risultante in quel punto

Ti ricordi come abbiamo fatto nel caso delle onde stazionarie? (anche lì londa risultante aveva ampiezza punto per punto uguale alla somma delle ampiezze dellonda incidente e di quella riflessa)

Dunque, se cerchiamo lINTENSITA in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo lampiezza dellonda risultante in quel punto Ti ricordi come abbiamo fatto nel caso delle onde stazionarie?

Dunque, se cerchiamo lINTENSITA in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo lampiezza dellonda risultante in quel punto Ti ricordi come abbiamo fatto nel caso delle onde stazionarie? Qui dovremmo procedere allo stesso modo, ma fortunatamente siamo in grado di utilizzare una strategia più semplice!

Dunque, se cerchiamo lINTENSITA in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo lampiezza dellonda risultante in quel punto Ti ricordi come abbiamo fatto nel caso delle onde stazionarie? Qui dovremmo procedere allo stesso modo, ma fortunatamente siamo in grado di utilizzare una strategia più semplice! Basta ricordare la somma dei vettori. Vediamo come:

Il principio di sovrapposizione dice che lampiezza dellonda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto.

P (max)

Il principio di sovrapposizione dice che lampiezza dellonda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto. P (max) = 0

Il principio di sovrapposizione dice che lampiezza dellonda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto. P (min)

Il principio di sovrapposizione dice che lampiezza dellonda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto. P (min) =

Il principio di sovrapposizione dice che lampiezza dellonda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto. P (min) = angolo

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo! Anche per i vettori il valore minimo della somma si ha quando langolo è uguale a

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo! Anche per i vettori il valore minimo della somma si ha quando langolo è uguale a

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo! Anche per i vettori il valore minimo della somma si ha quando langolo è uguale a

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo! Anche per i vettori il valore minimo della somma si ha quando langolo è uguale a ed il valore massimo quando è uguale a 0

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A A

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A AA (1 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Poiché, per la trigonometria, è: cos AA (1 cos ()

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Poiché, per la trigonometria, è: AA cos AA (1 cos cos ()

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Poiché, per la trigonometria, è: AA cos AA cos AA (1 cos cos ()

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A AA cos

AA cos Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

AA cos Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

AA cos Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

AA cos Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

AA cos Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

AA cos Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: AA cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: AA cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: Questo significa che il rapporto tra una differenza di fase fra due punti qualsiasi e la differenza X tra le loro distanze dallo schermo, è costante ed è uguale al rapporto tra la differenza di fase 2 e la corrispondente differenza tra i cammini percorsi dalle onde, AA cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: AA cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: AA cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: Poiché è: AA cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: Poiché è:

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: Poiché è:si ottiene: AA cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A AA cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A AA cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A AA cos AA dsen cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A AA cos AA dsen cos AA dsen cos

AA dsen cos

AA dsen cos

E siccome è: AA dsen cos

E siccome è: Si può scrivere: dato che (2A) è lampiezza massima AA dsen cos II dsen MAX 0 2 cos

II dsen MAX 0 2 cos

utilizzando la relazione che abbiamo trovato, verifica le condizioni di massimo e di minimo che avevamo dimostrato nella lezione precedente d sen = n d sen = (n-1/2) [ MAX ] [ min] II dsen MAX 0 2 cos

Si ha un massimo I 0 =I max quando d sen = n d sen = (n-1/2) [ MAX ] [ min] II dsen MAX 0 2 cos cos 2 1 dsen

cos 2 1 dsen quando d sen = n d sen = (n-1/2) [ MAX ] [ min] II dsen MAX 0 2 cos

cos 2 1 dsen II dsen MAX 0 2 cos d sen = n d sen = (n-1/2) [ MAX ] [ min] quando cioè:

cos 2 1 dsen II dsen MAX 0 2 cos d sen = n d sen = (n-1/2) [ MAX ] [ min] quando cioè:

d sen = (n-1/2) [ min] VERIFICA DA SOLO LA CONDIZIONE DI MINIMO II dsen MAX 0 2 cos

II dsen MAX 0 2 cos

Con questa equazione è possibile calcolare lIntensità in ogni punto dello schermo, conoscendo la lunghezza donda e la distanza tra le due sorgenti d II dsen MAX 0 2 cos

Con questa equazione è possibile calcolare lIntensità in ogni punto dello schermo, conoscendo la lunghezza donda e la distanza tra le due sorgenti d Basta sostituire e d e calcolare I 0 per vari valori di II dsen MAX 0 2 cos

Con questa equazione è possibile calcolare lIntensità in ogni punto dello schermo, conoscendo la lunghezza donda e la distanza tra le due sorgenti d Basta sostituire e d e calcolare I 0 per vari valori di Si può poi visualizzare il risultato con un grafico di I 0 in funzione di II dsen MAX 0 2 cos

0 I0I0

0 I0I0

0 I0I0 Nota che tutti i massimi hanno uguale ampiezza

Possiamo verificare il grafico dellinterferenza utilizzando un foglio elettronico:

Analizziamo ora a fondo la struttura dellequazione II dsen MAX 0 2 cos

E formata da tre parti: II dsen MAX 0 2 cos

E formata da tre parti: II dsen MAX 0 2 cos

E formata da tre parti: II dsen MAX 0 2 cos

E formata da tre parti: C II dsen MAX 0 2 cos

E formata da tre parti: C A rappresenta lENERGIA che arriva sullo schermo in un punto P, ad un angolo di visuale P II dsen MAX 0 2 cos

E formata da tre parti: C II dsen MAX 0 2 cos

E formata da tre parti: C B rappresenta lENERGIA MASSIMA che può arrivare sullo schermo II dsen MAX 0 2 cos

E formata da tre parti: C II dsen MAX 0 2 cos

E formata da tre parti: C C è un NUMERO che moltiplicato per B dà il valore di A II dsen MAX 0 2 cos

E formata da tre parti: C C è un NUMERO che moltiplicato per B dà il valore di A Infatti: se è C = 0 anche I( ) = 0 II MAX0 00 II dsen MAX 0 2 cos

E formata da tre parti: C C è un NUMERO che moltiplicato per B dà il valore di A Infatti: se è C = 0 anche I( ) = 0 se è C = 1 si ha I( ) = I max III MAX 0 1 II dsen MAX 0 2 cos II MAX0 00

negli altri casi C è un numero compreso tra 0 e 1 e sempre positivo E formata da tre parti: C C è un NUMERO che moltiplicato per B dà il valore di A Infatti: se è C = 0 anche I( ) = 0 se è C = 1 si ha I( ) = I max fine II dsen MAX 0 2 cos III MAX 0 1 II MAX0 00