Soluzione FEM di problemi parabolici G. Puppo

Riassunto Condizionamento della matrice di massa Metodi FEM lineari a tratti Metodo FEM con Eulero esplicito Metodo FEM con Eulero implicito Esempi

Condizionamento della matrice di massa La matrice di massa è definita dalla seguente equazione Scrivo una function che calcoli la matrice di massa su un intervallo [A,B], con N nodi interni.

function massa.m function b=massa(n,a,b) % B=MASSA(N,A,B) % Calcola la matrice di massa sull'intervallo % [a,b] con n nodi interni % B=MASSA(N) assume [A,B]=[0,1] if nargin==1 a=0; b=1; end h=(b-a)/(n+1); d1=1/6*ones(n-1,1); b=h*(2/3*eye(n)+diag(d1,1)+diag(d1,-1));

Condizionamento della matrice di massa Stimo il numero di condizionamento della matrice di massa sull’intervallo (0,1) in funzione di N nmax=200; for n=1:nmax a=massa(n); c(n)=cond(a); end plot(c) title('Numero di condizionamento')

Condizionamento della matrice di massa

Soluzione FEM di problemi parabolici Consideriamo il seguente problema modello:

FEM lineari a tratti Usando funzioni di test e di prova lineari a tratti, il problema precedente si riduce alla risoluzione del sistema di equazioni differenziali: Dove c è il vettore delle funzioni incognite, B è la matrice di massa, A è la matrice di rigidità e F è il vettore dei termini noti

Metodo di Eulero esplicito Se integro il sistema di equazioni differenziali con il metodo di Eulero esplicito, ottengo il seguente sistema lineare di equazioni algebriche: Qui t è il passo di integrazione, che deve soddisfare la condizione di stabilità. Per avere un metodo efficiente, devo memorizzare A e B come matrici sparse.

FEM lineari a tratti, con Eulero Esplicito Input: f, vettore u0 delle condizioni iniziali, tempo finale T, diffusione NU, numero passi NT. Inizializzazione: calcolare t, A, B, F c0 Fattorizzare B una volta per tutte Risolvere il sistema algebrico, n=0,1,… Stampare la soluzione finale

Condizione iniziale Costruisco una function che calcoli il vettore delle condizioni iniziali function c0=init(u,m) % C0=INIT(U,M) Calcola il vettore C0 delle % condizioni iniziali,C0(I)=U(X(I)), % sull'intervallo (0,1) con M nodi interni h=1/(m+1); x=linspace(h,1-h,m); c0=feval(u,x)'; N.B. Calcola U solo sui nodi interni

function spdiags Abbiamo visto che per ottenere un programma efficiente è essenziale sfruttare la sparsità delle matrici che compaiono nello schema Per costruire matrici a struttura diagonale in forma sparsa, posso usare la function spdiags A = SPDIAGS(B,d,m,n) creates an m-by-n sparse matrix from the columns of B and places them along the diagonals specified by d.

Costruzione matrice di massa Poiché è necessario calcolare diversi prodotti della forma B*x, conviene memorizzare la matrice B come matrice sparsa function b=massa_sp(n) % B=MASSA_SP(N) Calcola la matrice di massa % in forma sparsa con N nodi interni h=1/(n+1); bvect=[1/6*ones(n,1), 2/3*ones(n,1), 1/6*ones(n,1)]; b=spdiags(bvect,[-1,0,1],n,n); b=h*b;

Costruzione matrice di rigidità Anche in questo caso, conviene utilizzare matrici memorizzate in forma sparsa function a=stiff_sp(n) % A=STIFF_SP(N) Calcola la matrice di stiffness % in forma sparsa con N nodi interni h=1/(n+1); bvect=[-ones(n,1), 2*ones(n,1), -ones(n,1)]; a=spdiags(bvect,[-1,0,1],n,n); a=a/h;

Metodo di Eulero Esplicito Intestazione e commenti: function [u,x]=fem1_ee(f,u0,t,nu,nt) % [U,X]=FEM1_EE(F,U0,T,NT,NU) calcola la soluzione con % FEM lineari a tratti del problema parabolico % u_t -nu u_xx = f su (0,1), con condizione % iniziale u0 (vettore colonna). % integra nel tempo con Eulero esplicito Questa function lavora sull’intervallo [0,1]

Blocco di inizializzazione m=length(u0); % calcola il numero di nodi interni h=1/(m+1); xx=linspace(h,1-h,m); % inizializzazione fx=feval(f,xx); fx=h*fx'; % termine forzante b=massa_sp(m); % matrice di massa a=stiff_sp(m); % matrice di rigidita' dt=t/nt; % passo di integrazione ba= b-dt*nu*a; % matrice che moltiplica c^n ad ogni passo [ll,uu]=lu(b); % fattorizzazione matrice di massa c=u0; % condizione iniziale

Iterazione nel tempo e output % % iterazione for n=0:nt-1 noto = ba*c+dt*fx; c=uu\(ll\noto); end % aggiunge le condizioni al contorno u(1)=0; u(2:m+1)=c; u(m+2)=0; x(1)=0; x(2:m+1)=xx; x(m+2)=1;

Esempio 1 Supponiamo di voler risolvere il problema: In questo caso la soluzione esatta è u(x,t) = 0

Supponiamo di voler risolvere questo problema fino a T=1. Proviamo ad usare M=9 nodi interni, NT=20 passi di integrazione e NU=2: Calcolo la condizione iniziale: >> ux=inline('0*x'); >> u0=init(ux,9) Preparo la forzante: >> f=inline('0*x'); Chiamo la function per Eulero esplicito [u,x]=fem1_ee(f,u0,1,2,20);

Verifico che ho effettivamente ottenuto u=0. Per esempio, calcolo la norma di u: >> norm(u) ans = Da cui si vede che u è identicamente uguale a zero

Esempio 2 Consideriamo un esempio meno banale Mi aspetto che u(x,t) tenda a zero, per t che tende all’infinito.

Considero NU=1, T=0.01 (la soluzione sarà ancora diversa da zero) e 99 nodi interni. Provo con 20 passi di integrazione. Devo dare questi comandi: f=inline('0*x'); ux=inline('exp(x).*sin(pi*x)'); u0=init(ux,99); [u,x]=fem1_ee(f,u0,0.01,1,20); Per visualizzare il grafico: plot(x,u)

Non è esattamente quello che volevo...

Diminuendo drasticamente il passo di integrazione, si trova:

Metodo di Eulero implicito Se integro il sistema di equazioni differenziali con il metodo di Eulero implicito, ottengo il seguente sistema lineare di equazioni algebriche: Qui t è il passo di integrazione, che non deve più soddisfare la condizione di stabilità. Per avere un metodo efficiente, devo memorizzare A e B come matrici sparse.

Listato del metodo implicito function [u,x]=fem1_ei(f,u0,t,nu,nt) % [U,X]=FEM1_EI(F,U0,T,NT,NU) calcola la soluzione con % FEM lineari a tratti del problema parabolico % u_t -nu u_xx = f su (0,1), con condizione % iniziale u0 (vettore colonna). % integra nel tempo con Eulero implicito

Blocco di inizializzazione m=length(u0); % calcola il numero di nodi interni h=1/(m+1); xx=linspace(h,1-h,m); % inizializzazione fx=feval(f,xx); fx=h*fx'; % termine forzante b=massa_sp(m); % matrice di massa a=stiff_sp(m); % matrice di rigidita' dt=t/nt; % passo di integrazione ba= b+dt*nu*a; % matrice che moltiplica c^(n+1) ad ogni passo [ll,uu]=lu(ba); % fattorizzazione matrice BA c=u0; % condizione iniziale

Iterazione principale % % iterazione for n=0:nt-1 noto = b*c+dt*fx; c=uu\(ll\noto); end % aggiunge le condizioni al contorno u(1)=0; u(2:m+1)=c; u(m+2)=0; x(1)=0; x(2:m+1)=xx; x(m+2)=1;

Confronto Eulero esplicito e implicito Verifichiamo che il metodo implicito permette di ottenere la stessa precisione con un numero di passi minore rispetto al metodo esplicito. Uso lo stesso problema di prima, quindi: >> u0=inline('sin(pi*x).*exp(x)'); >> c0=init(u0,19); >> f=inline('0*x'); >> [ue,x]=fem1_ee(f,c0,0.1,1,240); >> [ui,x]=fem1_ei(f,c0,0.1,1,240);

Con questi dati, anche il metodo di Eulero esplicito è stabile e le due soluzioni sono comparabili:

Con il metodo implicito posso diminuire drasticamente il numero dei passi di integrazione, per esempio: >>[ui,x]=fem1_ei(f,c0,0.1,1,40); >> plot(x,ui,'r+','Linewidth',2) La soluzione cambia in modo appena percettibile

Viceversa, se diminuisco anche di poco il numero dei passi di integrazione con il metodo esplicito, per esempio: >>[ue,x]=fem1_ee(f,c0,0.1,1,200); >> plot(x,ue,'r','Linewidth',2) La soluzione cambia drasticamente

Esercizio 1 Considerare la matrice AB=B\A che compare nel sistema semidiscreto agli elementi finiti. Il metodo di Eulero esplicito e’ stabile per | 1 + Δt λ| < 1, dove λ indica un autovalore di AB. 1) Calcolare gli autovalori di AB per ν fissato e disegnarli . 2) Calcolare graficamente per quali Δt tutti gli autovalori finiscono nella regione di stabilita’ e verificare che il Metodo di Eulero esplicito e’ stabile solo per i valori di Δt che soddisfano la condizione trovata.

Esercizio 2 Considerare un dato iniziale molto oscillante, tipo: U0(x) = somme(su k) sin( πx k), con f(x)=0. Stampare la soluzione a diversi istanti e osservare quali componenti si smorzano prima. Confrontare con la stima teorica, ottenuta con la serie di Fourier

Esercizio 3 Modificare il programma, in modo da poter inserire una fonte di calore dipendente dal tempo. In questo caso, f deve essere funzione di due variabili, x e t, e il vettore del carico deve essere calcolato all’ interno del ciclo sul tempo.

Esercizio 4 Inserire un termine di convezione, cioè risolvere il problema: In questo caso è necessario modificare la matrice di rigidità