Metodi numerici per equazioni lineari iperboliche Gabriella Puppo

Riassunto Implementazione di uno schema per equazioni lineari iperboliche Metodo di Lax-Friedrichs Metodo Upwind Metodo di Lax-Wendroff Esempi con condizioni iniziali regolari ed a gradino

Variabili globali Ci sono 3 modi per modificare dallesterno il valore di una variabile allinterno di una function in Matlab: 1) impostare la variabile in input; 2) modificare la variabile sul listato della function e salvare la modifica; 3) definire la variabile come variabile GLOBAL, e modificare la variabile nel workspace Usero questa possibilita per impostare dallesterno le condizioni al contorno nei programmi per le leggi di conservazione.

Intervallo di integrazione Calcolo la soluzione su un intervallo [A,B], con spaziatura h: Inserisco le condizioni al contorno in x 1 =A-h/2 e in x N+2 =B+h/2. Quindi uso il metodo numerico sui punti di griglia x = A+h, A+2h, …, B cioe per J = 2,…,N+1 Nel programma quindi calcolo U(J), per J=2:N+1, mentre h = (B-A) / N Aggiungo le condizioni al bordo in J=1 e in J = N+2. In questo modo il vettore soluzione U contiene anche le condizioni al contorno

Condizioni al contorno Considero due tipi di condizioni al contorno (per ora): 1) Condizione al contorno free flow (bc=f): pongo u_x=0 ai bordi del condotto: u(x1) = u(x2) e u(xN+2) = u(x N+1), cioe sul programma: U(1) = U(2) e U(N+2) = U(N+1) 2) Condizione al contorno periodica (bc=p) u(A) = u(B) e u(B+h) = u(A+h), cioe sul programma U(1) = U(N+1) e U(N+2) = U(2)

Quindi nelle functions che implementano i vari metodi ci sara questo blocco di istruzioni if bc=='f' u(1) = u(2); u(n+2) = u(n+1); elseif bc=='p' u(1) = u(n+1); u(n+2) = u(2); else display('bc non e'' stato impostato') return end Inoltre allinizio della function, dichiaro bc come variabile global global bc

Fissare il passo di integrazione Il passo di integrazione deve essere fissato in modo da soddisfare la condizione di stabilita CFL, che per gli schemi di questo capitolo e: dt h / |a|, cioè λ 1/ |a|. Per aumentare la flessibilita dei nostri programmi, impostero: dt landa0 h / |a|, Quindi, se landa0 1, soddisfo la condizione CFL. Per studiare il comportamento dei metodi rispetto a λ, landa0 può essere impostata dallesterno. Ho scelto di dichiarare landa0 come variabile globale, e dunque landa0 deve essere assegnata nel workspace. Inoltre, poiche il numero di passi nt deve essere un numero intero, diminuiro dt, se occorre, in modo da avere nt intero.

dt=landa0*h/abs(speed); % arrotonda (T/DT) all'intero immediatamente superiore nt=fix(t/dt)+1; dt = t/nt; landa=dt/h; Quindi nelle functions che implementano i vari metodi ci sara questo blocco di istruzioni: Inoltre allinizio della function, dichiaro landa0 come variabile global global bc landa0

Condizioni iniziali Per assegnare le condizioni iniziali, costruisco una function che 1) divide un intervallo [A,B] in N intervalli uguali; 2) calcola lampiezza h di questi intervalli, il vettore x dei punti di griglia, e calcola il vettore u0 che contiene il valore di una funzione ux su ognuno dei punti di griglia; 3) aggiunge le condizioni al bordo al vettore u0.

function init function u0=init(ux,n,ab) % U0=INIT(UX,N) calcola la condizione iniziale per % i metodi per le equazioni iperboliche, applicando % le condizioni al contorno della variabile globale BC % Usa N intervalli su [-1,1], con U0(I)=UX(X(I)). % U0=INIT(UX,N,AB) calcola la condizione iniziale % sull'intervallo AB = [A,B].

global bc if nargin < 3 ab=[-1,1]; end a=ab(1); b=ab(2); h=(b-a)/(n); x=a:h:b; u0=feval(ux,x); % Aggiunge le condizioni al contorno if bc=='f' u0(1)=u0(2); u0(n+2)=u0(n+1); elseif bc=='p' u0(1)=u0(n+1); u0(n+2)=u0(2); else display('bc non e'' stato impostato') return end

Costruzione di una function per integrare unequazione lineare u0 (vettore con le condizioni iniziali), la velocita di propagazione (speed), il tempo finale (T) lintervallo di integrazione ab = [a,b] (se questo parametro manca, il programma assume [a,b] = [-1,1] ). In input devo assegnare:

In output devo avere: Il vettore u, con la soluzione numerica al tempo t il vettore x delle ascisse In questo modo per stampare il grafico bastera >> plot(x,u)

Allinterno di ogni function: Un ciclo sul tempo, nel quale si calcola u allistante t n ; allinterno del ciclo sul tempo, ci vuole un ciclo su tutti i punti di griglia, possibilmente costruito vettorialmente inoltre allinterno del ciclo sul tempo devo: fissare le condizioni al contorno e copiare la soluzione u appena calcolata sul vettore dei dati allistante precedente

Metodo di Lax-Friedrichs Nelle prossime pagine, segue il testo della function lf_lin che applica il metodo di Lax-Friedrichs allequazione lineare

function lf_lin function [u,x]=lf_lin(u0,speed,t,ab) % [u,x]=LF_LIN(U0,SPEED,T) Calcola la soluzione del problema % u_t+speed*u_x=0 su [-1,1] con il metodo di Lax-Friedrichs. % U0 e' il vettore che contiene le condizioni iniziali,T e' % l'istante finale. % [u,x]=LF_LIN(U0,SPEED,T,AB) Calcola la soluzione del problema % u_t+speed*u_x=0 sull'intervallo AB=[A,B] % Le condizioni al contorno sono contenute nella variabile globale % BC. I valori possibili sono: % BC='p' Condizioni al contorno periodiche % BC='f' Condizioni al contorno free-flow % LANDA0 (global) e' lo scalare t.c. dt=LANDA0*h/SPEED Continua...

global bc landa0 if nargin < 4 ab=[-1,1]; end n=length(u0)-2; a=ab(1); b=ab(2); h=(b-a)/n; dt=landa0*h/abs(speed); nt=fix(t/dt)+1; % arrotonda (T/DT) all'intero immediatamente superiore dt = t/nt; landa=dt/h; Blocco di inizializzazione continua...

for kt = 1:nt for i=2:n+1 u(i)=0.5*(u0(i+1)+u0(i-1))-speed*landa/2*(u0(i+1)-u0(i-1)); end if bc=='f' u(1) = u(2); u(n+2) = u(n+1); elseif bc=='p' u(1) = u(n+1); u(n+2) = u(2); else display('bc non e'' stato impostato') return end u0=u; % aggiorna u0 per il prossimo passo end x=linspace(a,b+h,n+2); Iterazione sul tempo e output

Costruendo il ciclo sui nodi di griglia in modo vettoriale, l'iterazione sul tempo si modifica in questo modo: fisico=2:n+1; for kt = 1:nt u(fisico)=0.5*(u0(fisico+1)+u0(fisico-1)) - speed*landa/2*... (u0(fisico+1) – u0(fisico-1));.... condizioni al contorno.... u0=u; % aggiorna u0 per il prossimo passo end x=linspace(a,b+h,n+2);

Esempio Risolviamo il problema seguente: Con a = 1, e condizioni al contorno di periodicita

Devo dare questi comandi: clear global bc landa0 bc='p'; landa0=0.9; ux=inline('exp(-5*x.^2)'); ab=[-2,2]; u0=init(ux,100,ab); [u,x]=lf_lin(u0,1,0.5,ab); plot(x,u0) hold plot(x,u,'g') legend('T = 0','T = 0.5') title('Metodo di Lax-Friedrichs') I comandi sono memorizzati nello script script_lin.m

Ottengo questa figura: La soluzione iniziale si e spostata a destra di 0.5

Se integro per un tempo piu lungo, per esempio t=9, ottengo: Il segnale dovrebbe rimanere immutato, invece il picco si e abbassato tantissimo

Esercizio Studiare il comportamento del metodo di Lax-Friedrichs rispetto ai suoi parametri 1) Con le stesse condizioni iniziali ed al contorno, e mantenendo la stessa griglia dellesempio precedente, studiare il comportamento della soluzione per =0.3, 0.5, e poi = 0.95, 0.99, 1, ) Come nellesempio precedente, ma con = 0.9, provare a cambiare Nx. 3) Inserire un dato iniziale oscillante, tipo u0(x) = sin( x) + sin( 10 x)

Metodo Upwind Il metodo upwind e definito dalla relazione: Nella pagina seguente, metto solo la parte centrale della function upwind_lin

function upwind_lin fisico=2:n+1; for kt = 1:nt if speed >= 0 u(fisico)=u0(fisico) -landa*speed*(u0(fisico)-u0(fisico-1)); else u(fisico)=u0(fisico) -landa*speed*(u0(fisico+1)-u0(fisico)); end ………. u0=u; % aggiorna u0 per il prossimo passo end dove, al posto dei puntini, devo mettere le condizioni al contorno

Confrontando i risultati del metodo di Lax-Friedrichs con quelli del metodo Upwind sullo stesso problema di prima, ottengo: Il metodo upwind da una soluzione migliore del metodo di Lax- Friedrichs, tuttavia ce ampio spazio per migliorare...

Esercizio Risolvere il problema precedente con il metodo di Lax-Friedrichs e con il metodo Upwind, per diversi valori di N. Calcolare lerrore sul picco, sapendo che la soluzione esatta, sul picco, vale 1. 1) Disegnare lerrore in funzione di N per tutti e due gli schemi; 2) A parita di N, disegnare lerrore in funzione di landa

Metodo di Lax-Wendroff Considero ora un metodo del secondo ordine, il metodo di Lax-Wendroff: Anche questa volta, aggiungo soltanto la parte centrale della function lw_lin

function lw_lin for kt = 1:nt for i=2:n+1 u(fisico)=u0(fisico)-speed*landa/2*(u0(fisico+1)-u0(fisico-1))... + (speed*landa)^2/2 *(u0(fisico+1)-2*u0(fisico) +u0(fisico-1)); end ……. u0=u; % aggiorna u0 per il prossimo passo end dove, al posto dei puntini, devo mettere le condizioni al contorno

Confronto ora i risultati del metodo di Lax-Friedrichs, del metodo Upwind e del metodo di Lax-Wendroff, sempre sullo stesso problema di prima. Ottengo:

Se integro per tempi molto lunghi, ottengo

Esempio Risolviamo ora il problema Con condizioni al contorno di free flow e a = 0.9

function step Questa function crea una funzione con un gradino in x=0 function y=step(x) % Y=STEP(X) Crea una funzione a gradino in 0 n=length(x); for i=1:n if x(i) <= 0 y(i) = 2; else y(i) = 0; end

Devo dare questi comandi: clear global bc landa bc='f'; landa='0.9'; ab=[-1,4]; u0=init('step',100,ab); [u,x]=upwind_lin(u0,0.9,3,ab); plot(x,u0) plot(x,u0,'Linewidth',2) hold plot(x,u,'g','Linewidth',2) axis([ ])

Metodo Upwind

Metodo di Lax-Wendroff

Commenti I metodi del primo ordine hanno una elevata diffusione artificiale, che diminuisce aumentando N I metodi del secondo ordine sono molto più precisi, e il termine principale dellerrore e di dispersione I metodi del secondo ordine oscillano in prossimita dei fronti a gradino: in questo caso, aumentare N non da nessun miglioramento

Esercizi Studiare il comportamento dei metodi considerati rispetto a variazioni nei parametri computazionali 1) Con la condizione iniziale u0(x)=exp(-5x^2) e condizioni al contorno di periodicita', studiare la diminuzione dell'errore al diminuire di h 2) Implementare il metodo di Beam Warming e studiare il suo comportamento sia su un dato iniziale regolare che su un dato a gradino. 3) Inserire un dato iniziale oscillante, tipo u0(x) = sin( x) + sin(10 x) e studiare l'andamento dei metodi al variare di Nx