Unstructured Grids. Delaunay Method. V. Selmin Multidisciplinary Computation and Numerical Simulation

Advancing Front Method • Elements, i.e. triangles and tetrahedra, and points are generated simultaneously. • Enables the generation of elements of variable size and stretching. • Differs from the approach followed in tetrahedral generators which are based upon Delaunay concepts which generally connect grid points which have already been distributed in space. • The generation problem consists of subdividing an arbitrarily complex domain into a consistent assembly of elements. • The consistency of the generated mesh is guaranteed if the generated elements cover the entire domain and the intersection between elements occurs only on common points, sides or triangular faces in the three dimensional case. • The process start by discretising each boundary curve. Nodes are placed on the boundary curve components and then contiguous nodes are joined with straight line segments. • In later stages of the generation process, these segments will become sides of some triangles. • The length of these segments must be consistent with the desired local distribution of mesh size. • This operation is repeated for each boundary curve in turn. Advancing Front Method

Advancing Front Method • Next stage consists of generating triangular planar faces. For each two dimensional region or surface to be dicretised, all the edges produced when discretising its boundary curves are assembled into the so-called initial front. • The relative orientation of the curve components with respect to the surface must be taken into account in order to give the correct orientation to the sides in the initial front. The front is a dynamic data structure which changes continuously during the generation process. • At any given time, the front contains the set of all the sides which are currently available to form a triangular face. • A side is selected from the front and a tringular element is generated. This may involve creating a new node or simply connecting to an existing one. • After the triangle has been generated, the front is updated and the generation proceed until the front is empty. • The size and shape of the generated triangles must be consistent with the local desired size and shape of the final mesh. Advancing Front Method

Delaunay Method In the classical front advancing method, the nodes coordinates are built at the same time as the elements from the knowledge of the size of the elements that belong to the front and the spacing distribution. In the Delaunay method, a triangulation of the domain from the knowledge of the boundary discretisation is first performed. Recursively, nodes are added in order to satisfy the imposed spacing distribution and new triangulation is performed in order to taking into account the insertion of new nodes. Delauney Method

Dato un insieme di punti {P}, per ogni punto si Delaunay Method Dato un insieme di punti {P}, per ogni punto si definisce la sua regione di Voronoi (ovvero la regione di piano più vicina al punto Pi che ad ogni altro punto) Delaunay Method

Delaunay Method I punti che hanno in comune un lato della propria regione di Voronoi vengono connessi, ottenendo la triangolazione di Delaunay. Delaunay Method

La triangolazione di Delaunay gode della proprietà del cerchio Delaunay Method La triangolazione di Delaunay gode della proprietà del cerchio circoscritto. I vertici delle regioni di Voronoi sono i circocentri delle circonferenze che passano per i vertici di ogni triangolo. Nessun punto, ad eccezione di quelli che formano i triangoli, può cadere all’interno di una circonferenza. Su questo criterio si basa l’algoritmo di Bowyer-Watson Delaunay Method

Bowyer-Watson Algorithm Si definisce il guscio convesso (poligono) che contiene l’insieme dei punti {P} che deve essere connesso. Si inserisce un nuovo punto Pi all’interno del guscio. Si definisce la base B(Pi), ovvero si cercano i triangoli che contengono il punto Pi al loro interno. Delaunay Method

Bowyer-Watson Algorithm Si definisce la cavità C(Pi), ovvero a partire dalla base B(Pi), si cercano tutti i triangoli che contengono all’interno del loro cerchio circoscritto il punto Pi. Delaunay Method

Bowyer-Watson Algorithm I lati interni della cavità sono cancellati e il punto Pi è connesso con i punti appartenenti al contorno della cavità. Gli step 2-5 sono ripetuti per ogni punto dell’insieme {P}. Delaunay Method

Per trovare il triangolo contenente il punto Pi, Basis Generation Per trovare il triangolo contenente il punto Pi, viene applicato il test del semispazio. Per mezzo di questo test, si può valutare a quale dei due semispazi, individuati dai punti A e B, appartenga il punto C. Applicando questa logica ai lati dei triangoli si giunge a quello contenente il punto Pi. Delaunay Method

Sia rK il raggio del cerchio circoscritto al triangolo K. Si Cavity Generation Sia rK il raggio del cerchio circoscritto al triangolo K. Si definisce la misura di Delaunay a(Pi,K): Sia K il triangolo di cui deve essere valutato l’inserimento nella cavità rispetto al punto Pi. E’ necessario che sia verificato a(Pi,K) < 1, affinchè K sia aggiunto alla cavità. Delaunay Method

Connessione di un insiemi di punti Examples Connessione di un insiemi di punti Delaunay Method

Boundary Recovery La costruzione di Delaunay non garantisce che i lati e le facce del contorno siano contenute all’interno della triangolazione Sia dato un insieme di punti che definisce il contorno di un certo dominio. Alla fine della fase di connessione è necessario eseguire un controllo sulla triangolazione, modificando localmente gli elementi in modo da renderli conformi con il contorno del dominio Delaunay Method

Boundary Recovery Caso 2D: in una triangolazione bidimensionale possono mancare dei lati di contorno. Il recupero viene fatto attraverso l’inserzione di nuovi punti sul contorno del dominio, lungo la direzione del lato mancante. Delaunay Method

Caso 3D: in una triangolazione tridimensionale possono Boundary Recovery Caso 3D: in una triangolazione tridimensionale possono mancare lati e facce del contorno. Il recupero viene fatto attraverso: Lo swapping dei triangoli sulle superfici connesse. Lo swapping degli spigoli dei tetraedri. L’inserzione di nuovi punti in posizioni opportune. Delaunay Method

Boundary Recovery Swapping dei triangoli su una superficie connessa. E’ possibile che nella connettività della triangolazione superficiale esistano dei triangoli che non coincidono con alcuna faccia dei tetraedri. Il recupero degli elementi può essere effettuato cambiando semplicemente la connettività dei nodi dei triangoli. Se questa modalità di recupero non è sufficiente, è necessario ricorrere alle modalità (2) e (3). Delaunay Method

Boundary Recovery Recupero dei lati e delle facce di contorno attraverso la swapping degli spigoli e l’inserzione di nuovi punti. Lo swapping può essere utilizzato per recuperare un lato, passando da una configurazione a due tetraedri ad una con tre, recuperare una faccia, passando da una configurazione a tre tetraedri ad una con due. Delaunay Method

Boundary Recovery Ci sono tuttavia alcune configurazioni a cui non è possibile applicare lo swapping. Si ricorre all’inserzione di nuovi punti, che sono posizionati sul lato o sulla faccia da recuperare. Delaunay Method

Examples Delaunay Method

Examples Delaunay Method

Characteristic Dimension Parameters The geometrical characteristics of an element can be defined in terms of the following mesh parameters. If n is the number of dimensions, the parameters used are a set of n orthogonal directions and n associated element sizes . The transformation T may be defined as the result of superposing n scaling operations with factor in each direction: Metric matrix → Delaunay Method

Characteristic Dimension Parameters The effect of the transformation T in two dimensions is illustrated for the case of constant mesh size throughout the domain. Delaunay Method

Anisotropic Triangulation La costruzione di una triangolazione anisotropa è un campo di interesse relativamente recente. Sono utilizzate per la risoluzione di problemi in cui la soluzione varia molto rapidamente e/o ha direzioni di sviluppo preferenziali. Necessità di estendere l’algoritmo di Bowyer-Watson al caso anisotropo Necessità di fornire informazioni riguardanti la spaziatura dei punti nelle diverse direzioni (metrica) Delaunay Method

Anisotropic Triangulation Interpretazione geometrica della metrica. Ad ogni punto Pi del dominio è associato una metrica (o tensore metrico) che è una matrice simmetrica, definita positiva. La lunghezza del segmento P1P2 vale Delaunay Method

Anisotropic Triangulation Effettuando una decomposizione spettrale di M, si ottiene M = Pt L P in cui presenta sulla diagonale gli autovalori li associati ad M. Effettuando una rotazione q, in modo che gli assi cartesiani coincidana con gli assi principali d’inerzia, la metrica definisce in ogni punto un cerchio unitario di equazione dove hi rappresenta la lunghezza unitaria lungo gli assi principali Delaunay Method

Indirect Approach The surface geometry can be defined by means of polynomial parametric patches. In this case the “indirect approach” to surface mesh generation can be used It consists in generating the mesh in the parametric domain of the patch and mapping it onto the surface in R3. Delaunay Method

3D surface geometric definition Indirect Approach 3D surface geometric definition M3 is defined by analysing the surface curvature M3 M2 is deduced by M3 M2 The parametric mesh is constructed in such a way that lenght edges are created in accordance with M2 Mesh of the parametric domain The parametric mesh is mapped onto the surface obtaining final mesh Mesh of the 3D surface Delaunay Method

Indirect Approach The meshing process of the parametric domain W includes the following two steps: generation of the boundary mesh, triangulation of the points which divide the boundary in segments of unit length generation of the final unit mesh, applying an insertion point strategy to the mesh of its boundary The points computed to generate the mesh are inserted using an algorithm based on the generalized Delaunay triangulation. Delaunay Method

Inizialization: the domain mesh is the boundary mesh Saturation Method Inizialization: the domain mesh is the boundary mesh DO UNTIL (all the edges are unitary) FOR each internal edge Compute points to subdivide edge in unit length segments Ensure that new points are not too close to any already existing point Insert points in the mesh END Delaunay Method

Saturation Method Delaunay Method

Advancing Front Technique Let the front be the interface between a “satisfactory” element and an “unsatisfactory” one with respect to a quality measure. Inizialization: the domain mesh is the boundary mesh. DO UNTIL (all elements are satisfactory) For all the segments of the front define points in such a way that they are at unit distance from the segment endpoints Ensure that the new points are not too close to each other and to any already existing point Insert the points in the mesh END Delaunay Method

Advancing Front Technique Delaunay Method

Optimisation The following optimization tools can be used to improve the quality of the mesh: diagonal swapping (DS): the swapping is based on the point connectivity and the element shape quality. edge collapsing (EC): if the edge has length lower than a value e, it’s replaced with one point Delaunay Method

The optimization process is guided by the variation of two quantities: Optimisation Node movement (NM): the “spring analogy” has been used to move the mesh. The resulting mesh is the solution of the equilibrium system for each vertex i. The optimization process is guided by the variation of two quantities: edge length quality element shape quality. Delaunay Method

Quality The edge length quality Qe of AB with respect to a Riemannian structure can be defined as With this measure we have and a unit edge has Let K=(P1 P2 P3) be a triangle in a Riemannian space. The triangle shape quality can be defined as where Qi(K) is the triangle quality in the Euclidean space characterized by metric M(Pi) at vertex Pi of K, defined as With this measure we have and an “optimal” element has Delaunay Method

Test-Cases: Klein Bottle This mesh is obtained using advancing front technique. Delaunay Method

Test-Cases: Dini’s surface This mesh is obtained using advancing front technique. Delaunay Method

Test-Cases: Hilly surface This mesh is obtained using advancing front technique. Delaunay Method