Efisio Antonio Coppola L’errore statistico Efisio Antonio Coppola e Maria Vittoria Cenzato Liceo Scientifico G. Mercalli

Quando si effettua una misura si utilizzano dispositivi opportuni in modo da raffinare e rendere più obbiettive le nostre sensazioni individuali. Tuttavia le operazioni di misura se eseguite con le tecniche più accurate e con gli accorgimenti più appropriati, non ci permettono mai di conoscere il valore esatto della grandezza misurata, ma solo di individuarlo con una certa approssimazione.

ERRORE DI SENSIBILITA’ Il primo errore che si compie è quello relativo alla scelta dello strumento adoperato in quanto dipende dalla sua sensibilità. In questo caso si parla di: ERRORE DI SENSIBILITA’ Talvolta se la suddivisione della scala dello strumento è molto fitta si può anche assumere, come errore di sensibilità, l’intera ampiezza di un intervallo. Allo stesso tempo però non si può pensare di poter ridurre l’errore aumentando illimitatamente la sensibilità dello strumento, in quanto la più piccola quantità misurabile non può essere minore di un certo limite tecnico.

Se la sensibilità dello strumento è sufficientemente elevata, ripetendo più volte nelle stesse condizioni la stessa misura si trovano differenti valori. Diciamo che in questo caso, il risultato della misura è soggetto a errori casuali. In generale definiamo errore casuale, o accidentale, quell’ errore prodotto da una molteplicità di cause non bene individuabili che possono agire sia per difetto sia per eccesso.

Se, per esempio, vogliamo misurare con un cronometro il tempo che un corpo impiega a cadere da una certa altezza, è praticamente impossibile far coincidere l’istante in cui il corpo è lasciato libero di cadere con l’istante in cui si fa partire il cronometro. Analoga incertezza c’è nel determinare l’istante in cui il corpo tocca terra. Queste incertezze possono influire sul risultato delle misura per eccesso o per difetto, senza alcuna regola fissa, e fanno si che, ripetendo l’operazione di misura, si trovi ogni volta un valore diverso.

Bisogna anche considerare degli errori derivanti da difetti strumentali, o anche da metodi errati di misura, detti errori sistematici. Essi avvengono sempre nello stesso senso cioè o sempre per eccesso o sempre per difetto. Oltre che dal cattivo funzionamento o dalle errate condizioni di impiego dello strumento utilizzato, un errore sistematico può anche essere causato da una interpretazione non corretta dei risultati della misura.

Un altro esempio di errore sistematico, sempre per difetto, è quello commesso nella lettura della velocità di un automobile sul tachimetro da una persona seduta a destra dell’autista. Questo errore di lettura, detto errore di parallasse, si presenta per tutti gli strumenti dotati di un indice mobile. Poiché l’indice non giace sullo stesso piano della scala graduata, esso è proiettato su punti diversi della scala a seconda della direzione di osservazione.

Nel caso in cui uno strumento di misura ha scarsa sensibilità può accadere che si trovi sempre lo stesso valore; in questo caso l’errore di sensibilità assume il significato di errore massimo.

Ammesso di aver eliminato gli errori sistematici, supponiamo che in una serie di n misure, effettuate con lo stesso strumento e con lo stesso metodo, si siano trovati n valori x1, x2 …xn , di una certa grandezza fisica, in generale diversi tra loro. Poiché è ragionevole aspettarci che gli errori casuali avvengano con uguale probabilità per eccesso e per difetto, si può dimostrare che la sua misura più attendibile della grandezza è la media dei valori trovati.

M= ∑ xi n d = ½ (xmax- xmin) In una serie n di misure ripetute, il valore più probabile della grandezza è la media aritmetica dei valori misurati. M= ∑ xi n Assunto come valore della grandezza la media dei valori trovati in una serie di n misure ripetute, rimane il problema di calcolare l’errore di misura. In una serie di misure si assume come errore massimo sul valore della grandezza la semidispersione: d = ½ (xmax- xmin) definita come la semidifferenza tra il valore massimo e il valore minimo ottenuti.

Se indichiamo con x il valore della grandezza, ottenuto da una serie di misure di M e la semidispersione d, possiamo scrivere: x = M ± d Per una serie numerosa di misure ripetute possiamo anche dare una valutazione statistica dell’errore, più appropriata di quella espressa dalla semidispersione.

ERRORE STATISTICO σ= ∑(xi – M)2 √ n-1 In una serie di n misure ripetute che forniscano i valori x1, x2 …xn con media M, si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la seguente espressione: σ= ∑(xi – M)2 √ n-1 Lo scarto quadratico medio assume il significato di ERRORE STATISTICO

Volendo approfondire introdurremo la distribuzione di GAUSS utilizzando una serie di 20 misure dell’intervallo di tempo T impiegato da un corpo a scendere lungo un piano inclinato, a partire sempre dalla stessa altezza. Le misure, effettuate con un dispositivo che permette di apprezzare un centesimo di secondo, sono comprese tra un valore minimo di 1,65s e un valore massimo di 2,35s.

La tabella riassume i valori ottenuti: 1.88 1.96 2.06 2.05 2.00 2.07 2.35 1.65 1.86 2.20 1.90 2.01 2.03 2.09 1.79 1.99 2.16 Per analizzare questi dati, suddividiamo l’insieme dei valori ottenuti in un certo numero di intervalli di uguale ampiezza e osserviamo come i valori si distribuiscono tra i diversi intervalli.

Scegliamo di dividere i valori delle misure in 7 intervalli, la cui ampiezza A = (2.35-1.65)s/ 7 = 0.10s T(s) n 1.70 1   1.80 1.90 4 2.00 6 2.10 5 2.20 2 2.30 Questa tabella esprime il valore centrale dell’intervallo e il numero di misure appartenenti a quell’intervallo.

Otteniamo così un’interessante rappresentazione grafica della distribuzione delle misure tra i vari intervalli, detti istogramma. Possiamo osservare che le misure si addensano intorno al valore medio di 2,00s e che l’istogramma, anche se non perfettamente simmetrico, assume una forma a campana.

Se avessimo a disposizione un numero maggiore di misure, potremmo ridurre sempre di più la base dei rettangoli; il profilo dell’istogramma tenderebbe in tal modo ad assumere l’aspetto di una curva continua. È dimostrato che tutte le distribuzioni sperimentali, del tipo del nostro istogramma tendono ad assumere la forma nota come curva normale o curva di Gauss.

f(y) Dalla forma della curva simmetrica e a campana si deducono le seguenti proprietà: la media M coincide con il massimo della curva, cioè con il valore misurato con maggior frequenza; i valori delle misure sono distribuiti simmetricamente rispetto alla media; i valori delle misure sono tanto più frequenti quanto più sono vicini alla media.

y= a·e (x-M)2 2σ2 In cui e rappresenta il numero di Nepero; a è la costante che rappresenta l’ordinata del massimo; σ rappresenta la distanza da M delle ascisse dai punti di flesso.