Modellizzazione

Matematica/applicabilità Può la matematica, e in che modo, influire sullo sport, sull’ambiente, sulla medicina, sulla vita di tutti i giorni? Da qualche tempo le simulazioni al calcolatore basate su modelli matematici consentono di rappresentare con accuratezza sempre maggiore fenomeni di reale interesse in numerosi campi delle scienze applicate e non solo nell’ingegneria.

Matematica/sport Nello sport da competizione questo approccio può rivelarsi utile per migliorare le prestazioni. Simulazioni del : campo di flusso aerodinamico campo di flusso idrodinamico turbolenze che si creano al contatto della barca con l’acqua spinta del vento progettazione delle forme ottimali di scafo, chiglia, bulbo e alette. Vittoria della Coppa America per l’imbarcazione svizzera Alinghi

Soluzione più naturale: Matematica/sport 2 Problema: Miglioramento della forma degli alettoni posteriori di una macchina di Formula UNO, in modo che presentino il minimo attrito all’aria. Soluzione più naturale: Progettare un alettone, costruirlo, montarlo e provarlo. - Soluzione costosa - Nessuna certezza di ottenere un miglioramento Soluzione: Scelta di un modello matematico per rappresentare la situazione dei moti turbolenti dell’aria ad alate velocità incidente sull’alettone

Matematica/ambiente Ma i modelli matematici hanno un ruolo anche nella simulazione di eventi di interesse ambientale, allo scopo di formulare stime di impatto o di indicare strategie di controllo dell’inquinamento atmosferico o idrico. modelli matematici per la crescita urbana (http://www.ticinoricerca.ch/catprog/attachment/documentazioni/4_ACME.pdf) il gioco del lotto la meteorologia -lo studio del comportamento (http://www.dm.unito.it/personalpages/cermelli/dispense-comp-v3.pdf)

Matematica/medicina La matematica si applica con successo anche alla medicina: è di nuovo un problema matematico simulare al computer il flusso di sangue nel sistema cardiovascolare per capire, ad esempio, come influisce l'impianto di uno stent in un’arteria affetta da aneurisma o come migliorare la forma di un bypass coronarico

Modelli matematici + algortimi e calcolatori (informatica) permettono Conclusione Modelli matematici + algortimi e calcolatori (informatica) permettono di estendere l’utilizzo della matematica a tutti i fenomeni del mondo che ci circonda. Lo studio del fenomeno con un modello matematico (sistema di equazioni) fornisce l’informazione cercata senza dover effettivamente riprodurre il fenomeno con notevole risparmio di risorse economiche e temporali

Che cosa è un modello Un modello può quindi essere schematizzato come un strumento matematico che riceve dei dati in input, li elabora calcolando tutte le grandezze fisiche di interesse e restituisce in output lo stato finale del sistema come conseguenza degli “stimoli” introdotti. Si parla di modello matematico di un sistema fisico quando si studia il comportamento del sistema mediante un certo numero di assunzioni che si traducono in un sistema di equazioni.

Caso studio SIGEM - SIMMA

Cliente: Ministero dell’interno Corpo Nazionale dei vigili del fuoco Progetto: SIGEM-SIMMA Attività: Analisi e realizzazione di un sistema che fornisce una valutazione di massima dell’impatto fisico dovuto ad esplosioni, incendi e rilasci di sostanze infiammabili e/o tossiche.

Obiettivo Obiettivo: valutare le distanze di impatto entro le quali si superano le soglie di danno e di letalità Nota: normativa relativa ai serbatoi di stoccaggio di GPL (G.U. 9.7.1976)

Caso GPL Casalguidi

Caso: descrizione Esempio: GPL Casalguidi 19.2.1985 Casalguidi (PT) 2 morti, 4 feriti serbatoio 2 t descrizione autocisterna ferma su rampa per rifornire un serbatoio fisso indietreggia andando a urtare violentemente un fabbricato nell’urto si rompe una valvola e fuoriesce GPL liquido che vaporizza nel fabbricato il GPL trova un innesco nel fabbricato ed esplode

OUTPUT INPUT Modello matematico Portata uscita Sostanza schema OUTPUT INPUT Portata uscita Durata del rilascio Sostanza Caratteristiche Quantitativo uscito Stato fisico Campi di radiazione termica  ustioni Modello matematico Condizioni meteorologiche Campi di sovrappressione  crolli, schegge Condizioni Al contorno Campi di concentrazione  intossicazione

Es.: Pool Fire Modello di dispersione dei gas Rappresentazione grafica dell’intensità delle radiazioni in funzione della distanza Asse y: intensità delle radiazioni Asse x: distanza

Evoluzione dello Scenario Fuoriuscita di liquido infiammabile e tossico innesco immediato della perdita? si no jet fire si forma una pozza innesco immediato dei vapori? si no pool fire si forma una nube di vapori innesco della nube? si no flash fire UVCE dispersione nube tossica

Evoluzione dello Scenario Incendio che avvolge un contenitore di gas liquefatto infiammabile riscaldamento uniforme? si no sfiato dalla valvola di sicurezza BLEVE innesco? grossa nube di vapori frammenti si no innesco immediato? jet fire si forma una nube di vapori no si innesco? fireball si no flash fire UVCE dispersione sicura

Scenario Incidentale L’evoluzione temporale dello scenario dipende da vari fattori caratteristiche della sostanza infiammabile, tossica, più leggera o più pesante dell’aria, ecc. stato fisico durante il trasporto gas, liquido, gas liquefatto in pressione, ecc. quantitativo fuoriuscito condizioni meteorologiche temperatura, velocità del vento, umidità, ecc. condizioni al contorno perdita su terreno, asfalto o acqua, fonti di innesco, morfologia del terreno, presenza di fabbricati, ecc.

Conseguenze Le conseguenze della fuoriuscita di un prodotto pericoloso si estrinsecano in campi di radiazione termica ustioni jet fire, pool fire, flash fire, fireball campi di sovrapressione crolli e schegge UVCE, esplosione fisica, BLEVE campi di concentrazione intossicazione nubi tossiche

Il software valuta portata fuoriuscita e durata del rilascio Valutazioni Il software valuta portata fuoriuscita e durata del rilascio dimensioni della pozza, tasso di vaporizzazione campi di concentrazione per la dispersione del prodotto in aria in funzione del tempo e dello spazio (tridimensionali) per infiammabili e tossici campi di radiazione termica in funzione dello spazio in caso di jet fire, pool fire e fireball campi di sovrapressione in funzione dello spazio in caso di esplosione

Dispersione di gas, vapori o nebbie in atmosfera Descrizioni scenari Rilascio di liquido nell’ambiente con formazione di pozze Dispersione di gas, vapori o nebbie in atmosfera Incendio di pozze, serbatoi o bacini di liquidi infiammabili (pool fires e tank fires) Formazione di getti infuocati (jet fires) Esplosione di miscele infiammabili sia confinate che non confinate (flash fires, UVCE, CVE) Formazione di sfere infiammabili (BLEVE, Fireballs)

Caso studio MLG – Magazzino Lamiere Grezze

progetta e sviluppa prodotti per l'aeronautica civile e militare. Cliente Cliente: ALENIA Attività: progetta e sviluppa prodotti per l'aeronautica civile e militare. La sede di NOLA si occupa della produzione di parti lavorate di macchina, fabbricazione di lamiere metalliche e assemblaggio di pannelli con elevato livello di integrazione e automazione industriale.

Le lamiere sono disposte in casse Problematica Stoccaggio di lamiere grezze destinate all’area di Assemblaggio e Fabbricazione Le lamiere sono disposte in casse Ogni cassa è posizionata in un contenitore I contenitori sono disposti in pile per un max di 9 contenitori

Stoccaggio Approntamento: Prelievo Deposito Principali Attività Stoccaggio Attività di immagazzinamento lamiere Approntamento: Attività del magazzino per portare a galla il contenitore con il materiale di interesse. Tale attività è eseguita di notte Prelievo Attività, eseguita dall’operatore, per il prelievo della lamiera Deposito Attività, eseguita dall’operatore, per il deposito di una cassa. Il deposito avviene solo in un contenitore vuoto.

Ogni cassa contiene lamiere con medesimo codice Stoccaggio Si assume: Ogni cassa contiene lamiere con medesimo codice Il contenitore scelto per l’immagazzinamento sia vuoto Ogni contenitore contiene al più una cassa Disposizione della cassa La cassa è centrata rispetto al baricentro del contenitore in modo da garantire, quando il contenitore è inserito in una pila, che: il peso complessivo della pila sia coincidente con il baricentro stesso del contenitore/cassa il peso sia ben distribuito rispetto ai punti di aggancio dei contenitori.

alle casse con il minor numero di lamiere Approntamento L’approntamento è l’attività che “porta a galla” il contenitore interessato secondo la teoria della torre di Hanoi con il minore numero di mosse possibili. La scelta del contenitore viene fatta in base: alle casse con il minor numero di lamiere alla data di immagazzinamento delle lamiere L’attività di approntamento è eseguita di notte in modo che l’operatore al mattino si trova i contenitori contenenti il materiale da prelevare in cima alle pile per permettere il prelievo

Vista Layout Magazzino navetta pila

Prelievo La fase di prelievo della lamiera inizia con l’avvicinare la cassa all’estremità della navetta mediante i cingoli di cui la stessa navetta è provvista. cassa L’operatore/i aggancia la lamiera alla barra (a sua volta legata al carroponte manuale) fissandone le estremità ai morsetti di cui la barra è provvista. Navetta (in giallo) Cingolo della navetta Contenitore (in blue) Nota: Può capitare, per la posizione della cassa, che l’operatore salga sulla navetta per prelevare la lamiera sollevandola a mano per cui il peso deve essere sostenibile per garantire la dell’operatore e l’integrità della lamiera

Limiti Attuale Magazzino I vincoli Ogni contenitore contiene al più una cassa (ovvero un materiale) La cassa è posizionata al centro del contenitore Si esegue il deposito solo se il contenitore sia vuoto causa Perdita di spazio - Presenza di contenitori contenenti casse di piccole dimensioni - Materiale a terra in attesa di essere stoccato.

Ottimizzazione della capacità di immagazzinamento Nuovo magazzino La richiesta è Ottimizzazione della capacità di immagazzinamento Consentire lo stoccaggio di codici materiali anche diversi sullo stesso contenitore tenendo presente - la dimensione delle casse contenenti il materiale - la stabilità della pila

Prendendo in esame Considerando le dimensioni del contenitore Elementi di Analisi Prendendo in esame le dimensioni del contenitore le dimensioni delle singole casse il codice materiale Considerando la stabilità del contenitore quando disposto in pile la modalità di prelievo del materiale Si è operato nel suddividere il contenitore in aree nello stoccare più codici materiali su di uno stesso contenitore

Possibili disposizioni delle casse in un contenitore Soluzione finale Possibili disposizioni delle casse in un contenitore Cod1 Cod2 Cod1 Cod2 Cod1 Cod2 Cod1 Cod1 Cod2 Cod1 Cod1 e Cod2 sono i codici materiali Cod1 Cod1

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Torre di Hanoi Torre di HANOI La Torre di Hanoi è un rompicapo matematico composto da tre paletti e un certo numero di dischi di grandezza decrescente, che possono essere infilati in uno qualsiasi dei paletti. Il gioco inizia con tutti i dischi incolonnati su un paletto in ordine decrescente, in modo da formare un cono. Lo scopo del gioco è portare tutti dischi sull'ultimo paletto, con un numero mnimo di mosse, potendo spostare solo un disco alla volta e potendo mettere un disco solo su un altro disco più grande, mai su uno più piccolo. http://it.wikipedia.org/wiki/Torre_di_Hanoi

Soluzione SOLUZIONE La proprietà matematica base è che il numero minimo di mosse necessarie per completare il gioco è 2n - 1, dove n è il numero di dischi. Ad esempio avendo 3 dischi, il numero di mosse minime è 7.

Algoritmo Si etichettano i paletti con le lettere A, B e C Algoritmo ricorsivo Algoritmo Si etichettano i paletti con le lettere A, B e C Dato n il numero dei dischi Si numerano i dischi da 1 (il più piccolo, in alto) a n (il più grande, in basso) Per spostare i dischi dal paletto A al paletto B: Sposta i primi n-1 dischi da A a C. Questo lascia il disco n da solo sul paletto A Sposta il disco n da A a B Sposta n-1 dischi da C a B Questo è un algoritmo ricorsivo, di complessità esponenziale, quindi per risolvere il gioco con un numero n di dischi, bisogna applicare l'algoritmo prima a n-1 dischi. Dato che la procedura ha un numero finito di passi, in un qualche punto dell'algoritmo n sarà uguale a 1. Quando n è uguale a 1, la soluzione è banale: basta spostare il disco da A a B.

Contenitore Cassa Approntamento Galleggiamento Terminologia Contenitore Supporto fisico (colore Bleu) atto a contenere le lamiere (L=12.2 m W=3.2 m H=0.4 m ) Cassa Insieme delle lamiere da posizionare su di un contenitore Approntamento Attività del magazzino per portare a galla il contenitore con il materiale di interesse. Tale attività è eseguita di notte Galleggiamento Operazione con la quale il magazzino provvede a portare in superficie ossia in cima ad una pila uno o più contenitori

Resto della divisione Calcolare il resto di una divisione nell’ipotesi in cui non si conosca l’operazione di divisione Soluzione: Sottrarre dal dividendo il divisore fino ad ottenere un numero minore del divisore. Esempio: Il resto della divisone 15/4 è 3. Infatti, con sole tre sottrazioni si ottiene il resto: 15-4=11-4=7-4=3