LAUREE SCIENTIFICHE 2011/2012 Progetto ISTITUTO SUPERIORE F. SBORDONE Professore : Varriale Salvatore Alunni : Ventura, Iommelli, De Fusco, Bignardi, Avolio, Nettuno, Semioli e Bruno

il gioco delli sposi e spose gioco con i dadi e probabilità il gioco delli sposi e spose gioco inventato da Giuseppe Maria Militelli nel XVII secolo Giuseppe Maria Militelli, artista vissuto nel secolo XVII, progettò e disegnò alcune tavole da gioco, organizzate secondo diversi schemi di scommessa, come per esempio: Il gioco delli sposi e spose Il gioco dell’aquila

Il gioco in Grecia e a Roma. i dadi Secondo alcuni esperti i dadi come gioco d’azzardo risalgono a millenni fa, quando gli uomini primitivi usavano gli astragali che sono ossa di tarso la cui forma è simile ad un tetraedro. L’osso presentava tante facce a cui si conferivano valori differenti ed ogni faccia aveva un valore proprio come nel gioco dei dadi. La loro origine è Asiatica. Il gioco in Grecia e a Roma. Il gioco d’azzardo in Grecia, come del resto a Roma, era vietato. I giochi d’azzardo erano tuttavia numerosissimi, ma il più popolare resta comunque il gioco dei dadi. Nell’antica grecia durante i banchetti gli esponenti delle classi nobiliarie facevano uso di strumenti di gioco molto simili a quello dei dadi. In molti musei vi sono testimonianze dell’accanimento dei romani per il gioco dei dadi. Il “colpo di Afrodite” era il tiro migliore in assoluto (cioè tre volte sei) mentre il colpo peggiore era il “colpo da cane” (tre volte uno). I dadi sono piccoli oggetti di forma poliedrica, utilizzati nel contesto di diversi giochi per generare in modo casuale esiti numerici o di altro tipo. I dadi tradizionali, utilizzati dalla maggior parte dei giochi, sono cubi con le facce marcate con i numeri naturali da 1 a 6; Il tipo più comune di dado è un piccolo cubo con il lato lungo da 1 a 2 cm e le cui facce sono numerate da uno a sei (usando generalmente dei puntini.

IL GIOCO DEI DADI NEL MEDIOEVO I singoli punti apposti sulle sei facce del dado, a volte, potevano essere associati a simbologie particolari. Nel Quodvultdeus, Liber promissionum et praedictorum Dei i numeri sono quelli dell’Arca. Nel Roman de Brut di Wace si assiste ad una scena in cui i giullari, oltre a cantare e suonare i più vari generi della lirica, si cimentano nei giochi di scacchi, di tavole e di dadi. L’associazione fra il gioco d’azzardo e l’amore (carnale) è stata resa celebre da Cecco Angiolieri nel noto sonetto: «Tre cose solamente mi so’ in grado / le quali posso non ben ben fornire: / ciò è la donna, la taverna e ‘l dado; queste mi fanno ‘l cuor lieto sentire». Con la poesia goliardica che il gioco viene posto in primo piano ed acquista autonomia poetica: nella terza sezione dei Carmina Burana la filosofia pseudo epicurea dei clerici vagantes coincide con la valorizzazione della felicità terrena.. La teoria della probabilità vera e propria ebbe origine nel XVII secolo dalle ricerche riguardanti vari giochi di sorte. Fino a quando molti scienziati e matematici riuscirono ad approfondire il problema, dominava il pensiero di Galileo Galilei e di Isaac Newton, detto determinismo meccanicistico secondo il quale, ogni fenomeno fisico nel mondo reale doveva seguire leggi matematiche. Nasceva così la convinzione che poche leggi governavano i fenomeni del mondo fisico e permettevano di prevedere ogni evoluzione futura dell'universo.  (Dati) + (Leggi) = (Conoscenza) Pascal e Fermat  sostenevano che, il meccanicismo deterministico non era una teoria perfetta perché certi fenomeni non si verificavano con certezza ma hanno una evoluzione casuale.  (Dati)+(Leggi)=(Conoscenza incompleta) 

Il calcolo delle probabilità ha trovato sempre nel gioco uno dei  più noti terreni di applicazione, ciò ha determinato anche la prima interpretazione del termine "probabilità" da parte del matematico francese Pierre Simon Laplace. I primi studi che portarono successivamente a concetti legati alla probabilità possono essere trovati a metà del XVI secolo in Liber de ludo aleæ di Girolamo Cardano (scritto nel 1526, ma pubblicato solo un secolo e mezzo dopo, nel 1663) e in Sulla scoperta dei dadi di Galileo Galilei (pubblicato nel 1656). In particolare, Galileo spiegò come mai, lanciando tre dadi, la probabilità di uscita delle somme 10 e 11 sia più probabile dell'uscita del 9 e del 12, nonostante che entrambi i risultati si ottengano da un uguale numero di combinazioni. Il problema della ripartizione della posta in gioco nel caso che un gioco d'azzardo debba essere interrotto, venne affrontato da Luca Pacioli, noto anche come Fra Luca dal Borgo, nella sua Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (pubblicata nel 1494) e successivamente da Tartaglia, per poi essere risolto da Pascal e Fermat. La nascita del concetto moderno di probabilità viene attribuita a Blaise Pascal e Pierre de Fermat. Pascal annunciò nel 1654 all'Accademia di Parigi che stava lavorando sul problema della ripartizione della messa in gioco. E in una lettera del 29 luglio dello stesso anno a Fermat propose la soluzione del problema, affrontato con il metodo per ricorrenza, mentre Fermat utilizzava metodi basati sulle combinazioni. Nel 1657 Christiaan Huygens scrisse il primo trattato sul calcolo delle probabilità, nel quale introduceva il concetto di valore atteso. Nel 1713 viene pubblicato postumo Ars conjectandi di Jakob Bernoulli, dove veniva dimostrato il teorema che porta il suo nome, noto anche come legge dei grandi numeri. Successivamente, de Moivre pervenne ad una prima formulazione, poi generalizzata da Pierre Simon Laplace del Teorema centrale del limite. La teoria delle probabilità raggiunse così basi matematicamente solide e, con esse, il rango di nuova disciplina. In essa esercita un ruolo centrale il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili e la probabilità è un numero intrinsecamente legato ad un evento.

il gioco delli sposi e spose

(Regole del gioco) CON TRE DADI SI GIOCA, E SI PONE SUL GIOCO QUELLO, CHE SI CONCORDARÀ DAI GIOCATORI. TIRANDO PRIMA PER LA MANO: FATTO CHE SIA IL PUNTO, OGN'UNO TlRARÀ, O PAGARÀ CONFORME STÀ NOTATO NELLE TAVOLE. QUELLO, CHE SI PAGA SI AGIUNGE AL GIOCO. Il gioco è diviso in 20 scomparti nei quali sono rappresentate varie attitudini e condizioni degli sposi disposti: LA SPOSA DA LA DOTE. / IN MANO AL SPOSO LO SPOSO S'ADORMENTA. LA SPOSA ANNASA IL SPOSO. LA SPOSA PORTA BRAGHE. LO SPOSO HA' LA STANELLA. LA SPOSA HA' UN BEL CIMIERO. LO SPOSO VA' IN VOLANTE. LA SPOSA SI FA BELLA. LA SPOSA VA' A FESTINO, / E IL MARITO LA MENA. LO SPOSO VA' A GIOCARE. LA SPOSA NON LAVORA. LO SPOSO VA STRACCIATO. LA SPOSA HA' UNA GRAN FAME. LO SPOSO VENDE TUTTO. LA SPOSA SI LAMENTA. LO SPOSO È TUTTA RABBIA. LA SPOSA È MOLTO LOFIA. LO SPOSO VA CERCANDO. LI SPOSI VAN DISPERSI. E QUESTO È IL FIN DE SPOSI, (cacciati in strada con i figli) NON SI TIRA NE PAGA. In ciascun scomparto sono indicate le sorti del gioco.

Si gioca con tre dadi. Si forma inizialmente una posta e si paga o si vince ad ogni lancio. Se i numeri usciti sono tutti e tre uguali si vince la seguente posta 1 Vince 1 denaro 2 Vince 2 denari 3 Vince 3 denari 4 Vince 4 denari 5 Vince 5 denari 6 Vince tutta la posta

Se i numeri non sono tutti uguali si vince o si paga in relazione alla somma dei tre numeri usciti secondo le seguenti regole Se la somma è Si vince o si perde 6 Vince 1 denaro 4 7 13 Vince 2 denari 5 Vince 3 denari 17 Non vince e non perde 9 10 11 15 16 Paga 1 denaro 8 12 14 Paga 2 denari

La probabilità che, lanciando tre dadi, escano tre facce uguali, ad esempio tre 6, vale 1/216 = 0,0046. Infatti, il numero dei casi possibili è 216 (6*6*6) e c’è un solo caso favorevole. D’altra parte, allo stesso risultato si perviene considerando il fatto che i risultati dei singoli dadi sono tra loro indipendenti e applicando regola di fattorizzazione per ottenere la probabilità dell’evento congiunto “tre facce uguali”: (1/6)*(1/6)*(1/6). Il 9 si ottiene con le 5 combinazioni (1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4) la combinazione (3,3,3) non è stata considerata perché solo se i tre valori dei dadi non sono uguali si considera la somma dei tre numeri, il 10 con le sei combinazioni (1,3,6), (1,4,5), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (3,3,4), l'11 con (1,4,6), (2,3,6), (2,4,5), (1,5,5), (3,3,5), (3,3,4) e il 12 con (1,5,6), (2,4,6), (2,5,5), (3,4,5), (3,3,6), anche qui il (4,4,4) non è stato considerato perché composto da 3 numeri uguali. Tuttavia, mentre una combinazione di tre numeri uguali può presentarsi in un solo modo, una con due numeri uguali tra loro può presentarsi in tre modi diversi, una combinazione con tre numeri diversi si può presentare in sei modi diversi.

Vince 1 denaro Se esce Con probabilità 1 - 1 - 1 1/216 Se esce Somma 6 1 - 1 - 4 3/216 1 - 2 - 3 6/216

Vince 2 denari 2 - 2 - 2 1/216 1 - 1 - 2 3/216 2 - 2 - 3 3/216 Se esce Con probabilità 2 - 2 - 2 1/216 Se esce somma 4 Con probabilità 1 - 1 - 2 3/216 Se esce somma 7 Con probabilità 2 - 2 - 3 3/216 1 - 1 - 5 1 - 2 - 4 6/216 1 - 3 - 3 Se esce somma 13 Con probabilità 1 - 6 - 6 3/216 2 - 5 - 6 6/216 3 - 5 - 5 3 - 4 - 6 4 - 4 - 5

Vince 3 denari Se esce Con probabilità 3 - 3 - 3 1/216 Se esce somma 5 1 - 1 - 3 3/216 1 - 2 - 2

Vince 4 denari Vince 5 denari Se esce Con probabilità 4 - 4 - 4 1/216 Se esce Tre 5 Con probabilità 5 - 5 - 5 1/216

Vince l’intera posta Se esce Con probabilità 6 - 6 - 6 1/216

Non vince e non perde nulla Se esce Somma 17 Con probabilità 6 - 6 - 5 3/216

Paga 1 denaro Se esce Somma 9 Con probabilità 4 - 4 - 1 3/216 6 - 2 - 1 6/216 5 - 3 - 1 5 - 2 - 2 4 - 3 - 2 Se esce Somma 10 Con probabilità 6 - 2 - 2 3/216 6 - 3 - 1 6/216 5 - 4 - 1 5 - 3 - 2 4 - 3 - 3 4 - 4 - 2 Se esce Somma 11 Con probabilità 6 - 4 - 1 6/216 6 - 3 - 2 5 - 5 - 1 3/216 5 - 4 - 2 5 - 3 - 3 4 - 4 - 3 Se esce Somma 15 Con probabilità 6 - 6 - 3 3/216 6 - 5 - 4 6/216 Somma 16 6 - 5 - 5 6 - 6 - 4

Paga 2 denari Se esce Somma 8 Con probabilità 1 - 1 - 6 3/216 2 - 1 - 5 6/216 2 - 2 - 4 3 - 3 - 2 1 - 3 - 4 Paga 2 denari Se esce Somma 12 Con probabilità 6 - 5 - 1 6/216 6 - 4 - 2 6 - 3 - 3 3/216 5 - 5 - 2 5 - 4 - 3 Se esce Somma 14 Con probabilità 6 - 6 - 2 3/216 6 - 5 - 3 6/216 6 - 4 - 4 5 - 5 - 4

Vincita casi Probabilità Con quali probabilità si vince o si perde? Vince 1 denaro 10/216 0,0463 Vince 2 denari 40/216 0,1852 Vince 3 denari 7/216 0,0324 Vince 4 denari 1/216 0,0046 Vince 5 denari Vince l'intera posta Non vince e non perde 3/216 0,0139 Paga 1 denaro 93/216 0,4306 Paga 2 denari 60/216 0,2778

Non si vince e non si perde risultato probabilità Si vince 60/216 Non si vince e non si perde 3/216 Si perde 153/216

Abbiamo considerato prima il caso teorico analizzando tutte le possibilità che si potevano ottenere per vincere 1 denaro, 2 denari,… intera posta, perdere 1 denaro, 2 denari e non vincere o perdere e le relative probabilità. Abbiamo poi lanciato noi cento volte tre dadi riportando in una tabella le frequenze dei risultati ottenuti. Le frequenze relative ottenute sono molto diverse dalle probabilità precedentemente ricavate. Ciò è dovuto al fatto che 100 è piccolo rispetto a 216. In altre parole anche il giocatore più smaliziato non avrebbe intuito che la probabilità di perdere è molto più grande della probabilità di vincere sulla base di centinaia di osservazioni. Abbiamo, per completezza, utilizzando un foglio excel, simulato 10000 estrazioni facendo uso dell’operatore CASUALE ( ) e dell’operatore CONTA:SE. Le frequenze relative sono molto vicine alle probabilità calcolate.

Somme con almeno 2 numeri diversi 3 valori uguali  numero casi 3 valori 1 1 3 valori 2 3 valori 3 3 valori 4 3 valori 5 3 valori 6 Somme con almeno 2 numeri diversi Numero casi 4 3 5 6 9 7 15 8 21 24 10 27 11 26 12 25 13 14 16 17

frequenza relativa con 100 lanci frequenza relativa con 10000 lanci risultati probabilità frequenza relativa con 100 lanci frequenza relativa con 10000 lanci 3 valori 1 0,0046 0,01 0,005 3 valori 2 0,02 0,0054 3 valori 3 0,0045 3 valori 4 0,0048 3 valori 5 0,0044 3 valori 6 0,0049 somma 4 0,0139 0,0131 somma 5 0,0278 0,0272 somma 6 0,0417 0,04 0,0411 somma 7 0,0694 0,09 0,0723 somma 8 0,0972 0,1 0,0957 somma 9 0,1111 0,12 0,1129 somma 10 0,1250 0,11 0,1246 somma 11 0,1204 0,1212 somma 12 0,1157 0,16 0,1149 somma 13 0,05 0,1011 somma 14 0,0647 somma 15 0,0405 somma 16 0,0286 somma 17   totale 1

La speranza matematica Poiché nei giochi d’azzardo la vincita e la perdita dipendono esclusivamente dal caso, cioè sono conseguenza di eventi aleatori, si introduce il concetto di speranza matematica, per determinare la convenienza di un giocatore a partecipare ad un gioco. Si chiama speranza matematica Sm la somma algebrica dei prodotti delle somme che si possono vincere o perdere moltiplicate per le rispettive probabilità. Si consideri ad esempio un giocatore che partecipa ad un gioco nel quale può vincere una somma G (>0 ) con probabilità p e può perdere una somma R (>0) con probabilità (1-p). In tale contesto, la speranza matematica è Sm = G*p - R*(1-p). In pratica la speranza matematica rappresenta la vincita media,in ogni partita, di un giocatore che effettua un gran numero di partite. Infatti, per la legge dei grandi numeri, effettuando un numero elevatissimo di partite la somma algebrica delle somme G e R (via via ricevute e pagate) rapportata al numero di partite assume un valore molto vicino alla speranza matematica.

Sm = G1*p1 + … + Gk*pk + R1*q1 + … + Rl*ql Gioco equo Perché un gioco sia equo è evidente che la speranza matematica deve risultare nulla. Infatti se la speranza matematica è positiva il gioco risulta vantaggioso per il giocatore; al contrario, se la speranza matematica è negativa il gioco è vantaggioso per gli avversari. Nel caso di un gioco con k esiti che conducono ad una vincita e l esiti che conducono ad una perdita la speranza matematica vale Sm = G1*p1 + … + Gk*pk + R1*q1 + … + Rl*ql nella quale le Gi indicano le somme relative alle vincite e pi le rispettive probabilità.; allo stesso modo le Rj indicano le somme relative alle perdite e qj le rispettive probabilità. Nel caso in cui un giocatore deve pagare una posta per l’ingresso nel gioco indicando con Z tale prezzo da versare per partecipare al gioco, la speranza matematica sarà: Sm = G1*p1 + … + Gk*pk + R1*q1 + … + Rl*ql - Z

Il gioco è equo quando la Sm è zero Speranza matematica indicando con Z è la quota di ingresso nel gioco delli sposi e spose Sm = 1*10/216 (posso vincere 1 denaro con probabilità 10/216) + +2*40/216 (posso vincere 2 denari con probabilità 40/216 + 3*7/216 + 4*1/216 + 5*1/216 + intera posta*1/216 (posso vincere l’intera posta solo con 6-6-6 quindi con probabilità 1/216) + 0*3/216 (non vinco e non perdo in tre casi su 216) +(-1)*93/216 (perdo 1 denari con probabilità 93/216) + (-2)*60/216 (perdo 2 denari con probabilità 60/216) - Z Sm: (120+ip)/216-213/216 - Z = (ip-93)/216 – Z Il gioco è equo quando la Sm è zero

La posta cambia Se ci sono n giocatori che quindi versano ciascuno Z denari la posta iniziale sarà di n*Z denari; se il gioco fosse equo il primo giocatore che lancia dovrebbe avere una speranza matematica uguale a 0 quindi: (nZ - 93)/216 – Z = 0 quindi (n-216)*Z = 93. Quindi fissato Z come quota di ingresso ci dovrebbero essere un numero di giocatori pari a 216 + (93/Z) la qual cosa comporta che il numero di giocatori deve essere più grande di un numero maggiore di 216. Nei casi in cui, come avveniva di norma, il numero di giocatori è di poche decine, il gioco, rispetto al primo tiro del primo giocatore, non è equo. Inoltre, la posta totale non rimaneva costante durante tutto il gioco, ma già dopo il primo lancio di dadi la posta cambiava alterando la speranza matematica del secondo giocatore. Si continuava a giocare fin quando un giocatore non totalizzava tre 6 o la vincità non era superiore a quanto rimasto sul tavolo, oppure i giocatori non uscivano dal gioco.