Non oltrepasserò mai quel confine

Si dimostri che e si trovi “Si denoti con l’area del poligono regolare di n lati inscritto in C (cerchio di raggio assegnato r). Si dimostri che e si trovi un’analoga espressione per l’area del poligono regolare di n lati circoscritto a C. Si calcoli il limite di “ (estratto dal problema n. 2 dell’ ESAME DI STATO LICEO SCIENTIFICO corso di ordinamento, sessione ordinaria 2007)

Nel passato: il metodo di esaustione

Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a. C Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a.C., sfruttando il metodo di esaustione già elaborato da Eudosso di Cnido (408-355 a.C. cc), determinò con buona approssimazione la lunghezza della circonferenza, l’area del cerchio del segmento parabolico e di numerose altre superfici nonché alcuni volumi di superfici di rotazione.

Il metodo di esaustione si basava sull’idea di approssimare una superficie curva attraverso una sequenza di poligoni inscritti o circoscritti dal numero di lati via via crescente. Ai matematici greci però mancava il concetto di limite. Il metodo di esaustione non comprendeva alcun passaggio al limite e si arrivava a dimostrare la tesi attraverso un ragionamento per assurdo

Oggi: il concetto di limite

Alcuni spunti di riflessione Data una circonferenza C di raggio r, per ogni numero naturale n si possono costruire poligoni regolari di n lati, sia inscritti che circoscritti ad essa? La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio in che relazione sono con i perimetri e le aree dei poligoni sia inscritti che circoscritti ad essi? È possibile esprimere in funzione del raggio r del cerchio e del numero dei lati n del poligono inscritto l’area di quest’ultimo e calcolarne il limite per ?

Triangolo da cui

Quadrato

Pentagono

Esagono

Si noti che: Generalizzando sul poligono inscritto di n lati otteniamo:

Dalle costruzioni fatte si può dedurre che: È possibile costruire una funzione f (successione): che associ ad ogni numero naturale n (numero dei lati del poligono inscritto) il numero reale non negativo che rappresenta l’area del poligono regolare. La successione dei poligoni regolari inscritti è limitata superiormente ed il suo limite è l’area della circonferenza circoscritta Si può dimostrare che la successione è monotona crescente, ossia:  

Posto: e

Ponendo si ha che t tende a 0 quando n tende all’infinito per cui: Ritornando in otterremo:

La successione delle aree dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza tende all’area del cerchio che li contiene

Possiamo pensare anche ad una rappresentazione della successione in un opportuno riferimento

… e i poligoni circoscritti ? Analoghe considerazioni possono essere svolte per i poligoni circoscritti i cui lati risultano essere tangenti alla circonferenza di raggio r.

Nel triangolo isoscele AOB, OH=r e HB=r da cui: L’area di AOB è ,mentre l’area del poligono circoscritto è Si otterrà la successione

Dalla costruzione del generico poligono circoscritto alla circonferenza si può dedurre che: È possibile costruire una funzione (successione) che associ ad ogni numero naturale n (numero dei lati del poligono circoscritto) un numero reale non negativo (la sua area) La successione dei poligono regolari circoscritti è limitata inferiormente ed il suo limite è l’area della circonferenza inscritta Si può dimostrare che la successione è monotona decrescente, ossia:

Con analoghe considerazione si perviene a dimostrare che:

Quindi sia la successione delle aree dei poligoni inscritti che quella delle aree dei poligoni circoscritti alla medesima circonferenza tende all’area della stessa al crescere del numero dei lati

Hanno partecipato : Castiello Emmanuele Di Costanzo Rossella Ferriero Iacopo Formisano Isabella Marsiglia Giulia Mastantuoni Cesiria Paduano Luigi Pesarino Salvatore Sghairi Ahmed Giovanni Docenti : Rosemary Romano, Maria Rita Tammaro