A cosa serve la Matematica nella nostra società Prof. Marida Bertocchi Scuola Primaria “G. Rosa” Ottobre 2012

Vorrei cercare di rispondere ai seguenti quesiti: A cosa serve la Matematica nella nostra società? Chi la usa? Come la usa

La Matematica serve principalmente a: descrivere (formalizzare, modellare) problemi reali a prendere delle decisioni nel miglior modo possibile 3

Il problema dell’assegnamento Il papà di Silvia si occupa dell’ufficio risorse umane di una grande azienda che produce cemento. Vi sono diverse segretarie nell’ufficio che svolgono incarichi diversi: effettuare telefonate, tenere in ordine l’agenda degli impegni, organizzare un viaggio, ……. Ognuna impiega un certo tempo per svolgere ognuno di questi incarichi. Il papà di Silvia deve decidere a chi assegnare questi incarichi perché siano svolti nel minor tempo possibile.

Il problema dell’assegnamento Vi sono n incarichi di lavoro da assegnare a n persone. Per ogni possibile assegnamento di incarico a una persona, si conosce il tempo necessario alla persona per svolgere l’incarico. Si vuole trovare quale incarico deve essere assegnato a ogni persona in modo che il tempo complessivamente richiesto sia il più piccolo possibile. 5

Il problema è facile per n=2 incarico 1 2 20 40 30 persona Basta assegnare a ogni persona l’incarico più conveniente: incarico 1 alla persona 1 e incarico 2 alla persona 2 per un tempo totale pari a 40.

Per n=3 non vale la stessa strategia, ma si possono elencare tutte le soluzioni possibili. Quante sono? 1 2 3 20 60 30 80 40 90 50 70 Sono tutte le possibili combinazioni di 3 oggetti (i tempi dei 3 incarichi) in 3 urne (le 3 persone): per riempire la 1a urna ho 3 possibilità, per riempire la 2a urna mi rimangono 2 possibilità, per riempire la 3a urna mi rimane 1 possibilità. In totale 3x2x1 possibili terne.

Albero delle scelte 20 30 60 80 40 40 90 90 80 80 70 80 50 70 70 8

Le terne possibili sono: (20,40,80) (20,90,70) (60,80,80) (60,90,70) (30,40,50) (30,80,70) Il tempo minimo, ottenuto dalla somma dei tempi impiegati dalle singole persone, è 120 e corrisponde alla terna (30,40,50). Cosa succede all’aumentare di n? Per n=10 ho 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1= 3.628.800 possibili 10-uple

Per n=20 ho circa 2,4x1018 possibili 20-uple. Supponendo di aver bisogno di 10 operazioni per valutare una delle possibili alternative e di avere a disposizione un computer che esegue 3x109 operazioni al secondo, ci vorrebbero 8x109 secondi per valutare tutte le alternative. In un giorno ci sono 60x60x24=86.400=8,4x104 secondi, ossia circa 105 giorni, che sono circa 250 anni!!!!! Il metodo dell’elencazione non funziona, occorrono metodi che approssimano la soluzione attraverso processi ripetitivi (iterativi).

Un algoritmo (dal nome di un matematico persiano Mohamed Al- Khuwarizmi vissuto nel VIII secolo dopo Cristo) (significa insieme di calcolo svolti ripetutamente e nella stessa sequenza) efficiente può risolvere questo problema per n=5000 in pochi secondi su un normale PC!!!

Facciamo un esempio sulla pianificazione della produzione di un’azienda. Un’azienda produce poltroncine. Per tale produzione utilizza 3 impianti: Impianto 1: produce strutture in acciaio Impianto 2: produce strutture in legno Impianto 3: produce le imbottiture ed effettua l’assemblaggio 12

Gli impianti sono attualmente sottoutilizzati e si decide di sfruttare queste potenzialità inutilizzate per avviare la produzione di nuovi modelli di poltroncine. L’ufficio R&D (research and development) progetta due nuovi modelli: Prodotto 1: poltroncina in acciaio Prodotto 2: poltroncina in legno

L’ufficio marketing ritiene che il mercato possa assorbire qualunque quantitativo possa essere prodotto. Si vuole stabilire il miglior piano di produzione per i nuovi modelli nel rispetto delle capacita produttive disponibile nei 3 impianti. 14

Il nostro problema può essere riassunto così: Quante poltroncine si devono produrre ogni ora in modo che il profitto ottenuto sia il più grande possibile, senza che vengano superate le capacità produttive disponibili sui 3 impianti? Occorrono dei dati! Quali? 15

Capacità richiesta per unità/ora: Prodotto1 Prodotto 2 Impianto Capacità richiesta per unità/ora: Prodotto1 Prodotto 2 Capacità disponibile 1 2 3 3 0 0 2 2 4 12 6 16 Profitto unitario € 30 € 50 Profitto vendita poltroncine in acciaio = 30 x Profitto vendita poltroncine in acciaio = 50 x = numero di poltroncine in acciaio da produrre ogni ora = numero di poltroncine in legno da produrre ogni ora 16

Sulla capacità dell’impianto 1: 3 x + 0 x ≤ 12 Obiettivo: massimizzare il profitto totale dalla vendita di poltrone e sedie Condizioni: Sulla capacità dell’impianto 1: 3 x + 0 x ≤ 12 Sulla capacità dell’impianto 2: 0 x + 2 x ≤ 6 Sulla capacità dell’impianto 3: 2 x + 4 x ≤ 16 ≥0 ≥0

la Matematica aiuta a identificare gli aspetti importanti del problema Conclusioni: la Matematica aiuta a identificare gli aspetti importanti del problema la Matematica aiuta a generalizzare il problema serve poi un metodo di calcolo (anche questa è Matematica!) 18

Per un video divertente sulla matematica: Paperino nel mondo della Matemagica http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=2oyUCQhD2BM oppure vai su http://maddmaths.simai.eu/ e cerca Matematica per i bambini dai 5 agli 8 anni