Utile per esprimere le sezioni d’urto in cm Unità di misura naturali massa momento energia GeV Fattori di conversione Utile per passare dalla “larghezza” di una particella o risnanza alla vita media esempio I teorici hanno introdotto questo sistema di misura che semplifica molte formule Kane 1.5 Utile per esprimere le sezioni d’urto in cm

Notazioni relativistiche esempi Tensore metrico quadrivettore Prodotto scalare Gradiente

ELETTROMAGNETISMO e NOTAZIONI RELATIVISTICHE carica e corrente di n particelle puntiformi carica e corrente di una particella puntiforme le equazioni di Maxwell quadrivettori eletromagnetismo le equazioni di Maxwell, con c=1 Kane 2.2

Lagrangiane classiche Lagrangiana della meccanica classica: energia cinetica – energia potenziale Un esempio: Lagrangiana dell’elettromagnetismo Kane 2.2 L’approcio di Newton parte dalle forze, e si arriva alle equazioni del moto. L’approcio della Lagrangiana parte dlla differenza tra energia cinetica e potenziale, in funzione delle coordinate generalizzate nello spazio delle fasi . Le equazioni di Eulero e la legge di Newton si originano si ottengono minimizzando l’azione classica S, integrale della lagrangiana nel tempo, tra lo stato iniziale e quello finale. Anche nella lagrangiana dell’elettromagnetismo il primo termine è la energia cinetica (densità di energia cinetica) ed il secondo rappresenta è l’interazione. (Lagrangiana di Interazione) Come si arriva a questa forma di Lagrangiana? La dimostrazione generale esula dal contesto del corso. Intuitivamente ci si puo’ convincere che, per esempio, la Lagrangiana di campo libero e cioè in assenza di cariche, corrisponde a ½(E2-B2). Intensità dei campi in funzione dei potenziali

Lagrangian density dell’elettromagnetismo,formalismo relativistico Quadrivettori Tensore antisimmetrico simbolo di Levi Civita, adimensionale Kane 2.2,2.3 ijk=simbolo antisimm. di LeviCivita dimensionless is 0, if 2 indices are equal, is +1 for a cyclic permutation of simbols, is -1 for an anticyclic permutation Conviene definire il tensore antisimmetrico F con componenti Con le quali si scrive la lagrangiana Come si va dalla lagrangiana alle equazioni di Maxwell?

ANTISYMMETRIC TENSOR Vedi anche Ho-Kim,2.5.2 Dato che E e B non sono indipendenti, ma sembrano aspetti diversi dello stesso tipo di interazione, è conveniente combinare queste due componenti in un solo oggetto, che deve essere un tensore antisimmetrico di “second rank”, dato che ha 6 componenti indipendenti. The two non homogeneos Maxwell equations, which are driven by the current and charge densities take a simple form. The current conservation is contained in this formula and is a direct consequence of the antisymmetry of F and of the commutativity of  and .

Il ruolo delle Lagrangiane, nella fisica delle particelle La energia potenziale nella Lagrangiana definisce la teoria. Essa infatti specifica le forze in gioco. (Interaction Lagrangian) il fotone è il quanto del campo ed è rappresentato dal potenziale vettore L’elettrone è rappresentato da l campo fermionico Kane 2.3 Una delle ragioni fondamentali per cui la fisica delle particelle è formulata in termini di Lagrangiana è che è una unica funzione che determina la dinamica, deve essere uno scalare in ogni spazio rilevante, e invariante per trasformazioni,dato che l’azione è invariante. Fare una lagrangiana invariante per trasformazione di Lorentz, garantisce che tutte le predizioni della teoria siano Lorentz invarianti Elettrodinamica quantistica: La Lagrangiana contiene la interazione fondamentale:

KG Lagrangiana di un campo scalare reale (massa m, spin 0) Si puo’ dimostrare che la : è la sua Lagrangiana Si può anche dimostrare che  soddisfa l’eq. delle onde 1930 Klein e Gordon (KG) hanno ottenuto questa equazione sostituendo gli operatori nell’equazione Kane 2.4 Vogliamo la lagrangiana del campo scalare reale, che è molto più semplice del campo e.m. vettoriale, e può essere usata in molto casi realistici.Come si è fatto per il campo e.m, consideriamo un campo scalare, dovuto ad una qualsiasi sorgente La lagrangiana e’ data senza dimostrazione. Si puo dimostrare che  soddisfa l’equazione delle onde.Tale equazione, che è anche l’equazione di Klein-Gordon, è l’equazione di Euler Lagrange per la Lagrangiana data qui. L’equazione di Shroedinger non relativistica puo essere messa in relazione con la relazione energia momento. Per un onda relativistica, bisogna usare il quadriimpulso e ci sono delle difficoltà con la radice quadrata. Non si sa come interpretare l’operatore radice q. Klein e Gordon sono partiti dal quadrato dell’energia. Non c’è interazione,il campo è libero. ( niente energia potenziale.) Il primo termine è l’energia cinetica, il secondo termine è il termine di massa. Vedi inoltre Perkins 2.2 ATTENZIONE:n.b.: noi abbiamo in realtà una densità di Lagrangiana. Ogni campo che descrive una particella di massa m deve soddisfare questa relazione KG E’ un campo libero, quindi senza energia potenziale, o termine di interazione

Hamiltoniana associata con unaLagrangiana Esempio: costruiamo un campo scalare normalizzato ad un singolo quanto di energia definita e momento Hamiltoniana associata con unaLagrangiana Sostituendo nell’equazione dell’energia energia n.b.  definito è una soluzione eq. onde h tagliato è uguale ad 1. Fare i passaggi alla lavagna. Per un singolo quanto con energia

 scritto in questo modo facilita le cose In una teoria quantistica dobbiamo parlare di creazione e distruzione di particelle:  scritto in questo modo facilita le cose campo Stato con particelle, tutte con energia e momento allo stesso isrante Operatori creazione edistruzione coefficiente operatore distruzione Passando da campo ad operatore crea i quanti associati al campo In una teoria quantistica vogliamo parlare di Creazione e distruzione di particelle Formula euristica  Deve avere una certa forma, (per es. soluzione eq. delle onde, che è conseguenze lagrangiana scritta) Può essere interpretatato in termini di distruzione e creazione di una particella a spin=0 con la funzione d’onda associata Da ricordare: OGNI CAMPO QUANTISTICO PUO CREARE O DISTRUGGERE PARTICELLE. QUANDO LO FA,C’E’ UN FATTORE ASSOCIATO CHE E’ LA FUNZIONE D’ONDA della PARTICELLA li distrugge

ATTENZIONE Questo è stato un approcio “euristico” al problema della quantizzazione di un campo scalare  Abbiamo solo visto che  deve avere una certa forma e può essere interpretato in termini di creazione e distruzione di particelle con spin = 0, (scalare) con fattori che sono la funzione d’onda In una trattazione completa avremmo dovuto procedere alla quantizzazione del campo sclare, così come si fa con il campo elettromagnetico (vettoriale), che porta all’interpretazione del fotone come il quanto del campo elettromagnetico, che coincide con A.

Sorgenti e correnti in una teoria quantistica non relativistica: un esercizio Moltiplichiamo questa equazione per Equazione di Schroedinger Moltiplichiamo la complessa coniugata di questa equazione per e sommiamo. Si ottiene Definiamo adesso Densitá di probabilitá Densitá di corrente Kane 2.5 Un esercizio, in preparazione di una teoria relativistica In una teoria non reltivistica questa non è generalizzazione particolarmente utile, ma è invece utilissima in una teoria quantistica relativistica:aiuta a pensare Particella libera

Invarianza per rotazione Un sistema di due campi scalari reali , stessa massa m lagrangiana lagrangiana Costruiamo un campo complesso stessa massa m niente ha prefissato la direzione di Campi equivalenti Possiamo formare un campo complesso  è una costante reale Kane 2.6 1,2,  hanno tutti la stessa massa. Quindi descrivono la stessa fisica in modo diverso. Il fattore “radice di 2” serve a normalizzare ad 1  se lo sono 1,2 Osservazione molto importante: niente ha prefissato la direzione di 1,2 Avremmo potuto cominciare con campi ’1,’2 “ruotati “di alpha. Una “rotazione “( alpha reale) non cambia niente: La fisica e’ invariante per questa trasfornmazione detta di “gauge” di prima specie La lagrangiana non cambia: essa è proporzionale a trasfornmazione di “gauge” di prima specie Invarianza per rotazione Che implicazioni ha questo esempio?

COME VARIA LA LAGRANGIANA ? Consideriamo una rotazione infinitesima, per semplificare i conti COME VARIA LA LAGRANGIANA ? Dimostreremo che la variazione della Lagrangiana è =0, il che implica che la ESISTE una CORRENTE che SI CONSERVA Kane 2.6 continuation: ( attraverso le considerazioni che seguono il kane dimostra che necessariamente si conserva la corrente) Vedremo che possiamo estrarre molte utili informazioni da questo esempio. Quando un sistema fisico e’invariante sotto una certa trasformazione, emergono risultati interessanti Considereremo una rotazione infinitesimale per semplificre i conti. QUELLO CHE CI INTERESSA è VERIFICARE CHE LA LAGRANGIANA DEL SISTEMA NON VARIA QUANDO IL SISTEMA SUBISCE UNA ROTAZIONE INFINITESIMA: La variazione della lagranagina Sappiamo che deve essere 0, ma …

riscriviamo il secondo termine : per ogni variazione riscriviamo il secondo termine Qui il secondo termine serve solo a cancellare quella parte del primo termine dove  opera sulla derivata della Lagrangiana lagrangiana dipende da  e ,  =/x regole della derivazione di funzioni di due variabili

le variazioni rispetto  e  , * e * sono tutte indipendenti. (Il primo termine di questa eq. va a 0, come per * , fatto generale dato che tale termine equivale alle eq. Di Euler-Lagrange. Qui abbiamo usato l’equazione delle onde)

Considerazioni sulla variazione della lagrangiana la variazione della lagrangiana può essre scritta come la derivata della quantità tra parentesi graffe la variazione della lagrangiana deve essere nulla la quantità tra parentesi graffe deve essere nulla questa quantità può essere interpretata come la divergenza di una corrente quindi, una corrente che si conserva

Sappiamo che la variazione deve essere 0. indipendente dai parametri della trasformazione  Questo è un risultato generale che non dipende dai dettagli della particolare trasformazione che abbiamo usato La variazione della Lagrangiana può essere scritta come la derivata della quantità tra parentesi. Sappiamo che la variazione deve essere 0. Quindi la quantità tra parentesi si comporta come una corrente conservata, cioe la sua quadridivergenza è 0. Questo è un risultato generale che non dipende dai dettagli della particolare trasformazione che abbiamo usato:la variazione della Lagrangiana può essere scritta come la derivata della quantità tra parentesi. Sappiamo che la variazione deve essere 0. Quindi la quantità tra parentesi si comporta come una corrente conservata, cioe la sua quadridivergenza è 0.

conservazione locale di carica Se scambiamo  * , S cambia segno. Una teoria relativistica ha particelle con la stessa massa ma carica opposta: le antiparticelle. Se  rappresenta una particella di carica e , * rappresenta l’antiparticella di carica –e, allora S è interpretato come una densità di corrente di carica. L’equazione  S = 0 dice che il cambiamento della densità di carica S0(x) in una regione è uguale al flusso di corrente S (x) fuori dalla ragione. Quindi la carica si conserva localmente , e può essere usata per “ etichettare gli stati” Niente di quello che abbiamo fatto ci dice che la carica deve essere necessariamente una carica elettrica. Vedremo le particelle hanno molte “cariche”, alcune delle quali possono essere messe in relazione a conservazione di corrente

trasformazioni di gauge Trasformazione di gauge di “prima specie” o trasformazione di gauge globale Se il parametro  che descrive la trasformazione dipendesse dallo spazio x,y,z o dal tempo t , allora la trasformazione di gauge sarebbe di “seconda specie” o locale Trasformazione di gauge è un nome storico. Sarebbe molto più comprensible usare le espressioni trasformazioni locali o globali di fase ed invarianza di fase. a = const. Vedi alla ricerca dell’uno per il cenno storico

Il teorema di Noether teorema di Noether L’equazione è molto generale. E’ un esempio di una proprietà basilare delle teorie quantistiche di campo: e cioè che se un sistema è invariante per una certa trasformazione questo porta necessariamente alla conservazione di qualche quantità fisica. teorema di Noether In un sistema descritto da una Lagrangiana, una qualsiasi trasformazione continua che lasci invariata l’azione, porta necessariamente ad una corrente conservata S, con  S = 0 . E’ sempre possibile definire una carica che si conserva

invarianze e conservazione invarianza per rotazione conservazione momento angolare invarianza per traslazione conservazione momento (quantità di moto) invarianza per traslazione temporale conservazione energia

I mesoni K I K neutri sono un esempio pratico del sistema descritto K1 e K2 sono come 1 e 2 K0 e anti K0 sono come  e * La “carica” è la stranezza Vedi Perkins 7.16 per la violazione di CP Per i K, la conservazione della “carica”, cioè della stranezza, è “rotta” da una doppia interazione debole che trasforma K0 in anti-K0 e introduce una piccola degenerazione di livello: la differenza di massa tra K1 e K2

Anomalie e MODELLO STANDARD L’analisi presentata è di tipo classico. Una simile analisi potrebbe essere fatta in teoria quantistica, generalmente con gli stessi risultati. Correzioni quantistiche radiative di ordine più elevato possono dare risultati diversi da 0 nella  S, anche quando il risultato classico darebbe 0. Questi termini sono chiamati anomalie. Richiedere che le equazioni non contengano anomalie è una guida importante nel determinare la struttura della teoria, in particolare perché qualche volta le anomalie scompaiono se il modello ha certe simmetrie. Questo è quello che succede con il MODELLO STANDARD

Il campo mesonico di Youkawa: predizione del “mesone”  (1935) Introduciamo sorgente e interazione di un campo  la Lagrangiana di interazione viene aggiunta alla lagrangiana del campo libero Analogia con e.m.:  sorgente di  che consegue dall’ eq. di Euler Lagrange L’equazione delle onde diventa Kane 2.7 Interactions Fino ad ora abbiamo parlato di campi liberi, che non interagiscono, senza domandarci niente riguardo le loro sorgenti o in che modo interagiscono. E’ istruttivo spiegare questi concetti introducendo il punto di vista di Youkawa. Introduciamo quindi una lagrangiana di interazione, e modifichiamo l’eq. delle onde (vedi anche eq. Di Euler Lagrange) Anche la teoria di Youkawa e’ a immagine dell’elettromagnetismo. Per Yukawa il nucleone è la sorgente del campo forte. Il campo forte è il . L’interazione forte è trasmessa dal mesone . In analogia con l’elettromagnetismo,pensiamo a  (densità di carica forte e quindi di nucleoni) come ad una sorgente di .  è un campo sclare ad una componente, adatto a descrivere un bosone con spin 0. n.b. L’equazione di Euler Lagrange consegue dalla condizione di una azione stazionaria, per una lagrangiana funzione di  e derivate, ma non di x

 é indipendente dal tempo Esempio semplice: una sorgente puntiforme, di forza g, nell’origine,indipendente dal tempo  é indipendente dal tempo Risolveremo il problema con il metodo della trasformazione di Fourier.

Il campo mesonico di Youkawa: la predizione del “mesone”  .(2) Trasformata di Fourier Trasformata inversa Si ricava tenendo conto che Sostituendo si ottiene: Kane 2.7 Non capisco il passaggio di inv phi(k) ottenendo infine Osservazione : se avessimo una sorgente dipendente dal tempo, il denominatore sarebbe: propagatore e apparirebbe come un propagatore, se una particella è scambiata in una interazione

Il campo mesonico di Youkawa Yukawa :  è un campo mesonico che ha il nucleone come sorgente. Gli effetti del campo sono trasmessi da particelle (“mesoni”). Se le particelle hanno massa m, il campo ha un raggio d’azione come si vede da questa equazione Valutiamo l’integrale. Poniamo: Questo integrale può essere calcolato, ottenendo Youkawa interpretava  come il campo mesonico del nucleone. Il nucleone aveva una carica forte; il mesone  , massa m ,trasmetteva il campo. Il raggio d’azione della forza forte è r~1/m

L’interazione di Youkawa Un nucleone interagisce con un altro nucleone “sentendo” il suo campo mesonico Hamiltoniana di interazione tra due nucleoni, il secondo descritto da Utilizziamo l’espressione L’haniltoniana di interazione possiamo scrivere iI potenziale Interazione nello spazio delle posizioni. Generalmente gli elementi di matrice sono dati nello spazio dei momenti. Come un nucleone reagisce con un altro nucleone? (il propagatore completo ha anche un fattore di fase, ed un numeratore che dipende dallo spin della particella scambiata Notare il ruolo della massa. Se la massa =0, questo diventa il potenziale elettrostatico In generale la quantità che rappresenta la particella scambiata di massa m nello spazio dei momenti è il propagatore: Questo risultato ci porta alla interpretazione generale che in una teoria quantistica dei campi tutte le interazioni sono dovute a scambi di particelle. Le parole forza ed interazione sono intercambiabili .

CONCLUDENDO Per nuclear forces con range ~10-13cm, l’ ipotesi di Youkawa predice un quanto spinless con una massa ~ 100MeV

Due parole sui raggi cosmici mass GeV mean-life s 0 0,135 8,4.10-17 - 0,140 2,6.10-8  0,105 2,2.10-6 Due parole sui raggi cosmici I pioni sono generati nell’atmosfera da collisioni nucleari di protoni cosmici. La vita media del pione è abbastanza breve da far decadere il pione in volo, nella stratosfera. Il pione neutro decade in 2 gamma e dá origine ad una cascata di coppie di elettroni. (La componente “soft”dei raggi cosmici). Il mu vive 2200ns puó arrivare sulla superficie della terra. (la componente” hard”). Il decadimento del  è un processo a due corpi. Il  ha la stessa energia cinetica (4,1 MeV), e quindi ~lo stesso “range” (600 m) nella emulsione. Il decadimento del  è un processo a tre corpi, ed infatti lélettrone ha uno spettro di energia continuo. Le emulsioni nucleari consistono essenzialmente in piccoli microcristalli di bromide d’argento, sospesi in gelatina specialmente sensibilizzata (emulsione). Una particella carica ionizzante lascia una immagine latente nei cristalli che attraversa. Le lastre di emulsione vengono sviluppate e le tracce appaiono come una sequenza di granini d’argento anneriti. Le emulsioni nucleari consistono essenzialmente in piccoli microcristalli di bromide d’argento, sospesi in gelatina specialmente sensibilizzata (emulsione). Una particella carica ionizzante lascia una immagine latente nei cristalli che attraversa. Le lastre di emulsione vengono sviluppate e le tracce appaiono come una sequenza di granini d’argento anneriti. Inizialmente il mu scoperto dai raggi cosmici è stato preso per il “bosone di Youkawa”. Poi l’ esperienza di Pancini Piccioni e Conversi ha dimostrato che questo non era possibile. Essi hanno essenzialmente dimostrato che il mu decadeva e non interagiva nuclearmente. Cosmic rays and nuclear emulsion

L’ esperimento di Pancini Piccioni Conversi

L’interazione di Yukawa l’eqauazione di KleinGordon e il propagatore sono trattati anche dal Perkins, paragrafi 2.2 e 2.3

Sommario delle Lagrangiane Vector field, mass=0 (elettromagnetismo) fotone  pione  Real Scalar or Pseudoscalar field Campo reale di massa m e spin=0 Complex scalar or pseudoscalar field of mass m K1 K2 Kane 2.8 anti-K0 K0

Interazione elettromagnetica Le regole di Feynman Interazione elettromagnetica Abbiamo inserito una corrente: = è la carica elettrica Il fattore è tale per cui il termine è un quadrivettore. Un elettrone di quadrimomento p emette un fotone e rincula con un quadrimomento p Kane 2.9 In pratica spiegare il Modello Standard, e perché sembra descrivere cosí bene le leggi della natura consiste nello scrivere le regole di Feynman del Modello Standard. Le regole delle interazioni bosone-fermione

REGOLE DI FEYNMAN Scrivere il fattore appropriato per ogni veritice Mettere il propagatore di ogni linea interna di massa m e quadrimomento k , 1/(k2-m2) Moltiplicare per le funzioni d’onda esterne: u fermione iniziale, anti-u fermione finale, 1 per bosoni scalare ed  per i bosoni vettoriali