Automi Cellulari Def. formale di AC e di AC unidimensionale Parte II Automi Cellulari Def. formale di AC e di AC unidimensionale Stati, spazio cellulare e intorni unidimensionali Regole di evoluzione per AC unidimensionali Esempi

Def. formale di AC A = < Ed , S , X ,  > Un Automa Cellulare è una quadrupla A = < Ed , S , X ,  > Ed è l’insieme delle celle identificate dai punti a coordinate intere in uno spazio euclideo d-dimensionale; S è l’insieme finito degli stati dell’automa elementare; X è la relazione di vicinanza;  : Sm  S, con m = # X, è la funzione di transizione locale dell’automa elementare.

Caratteristiche degli AC Lo spazio ed il tempo sono “discreti” Lo spazio è costituito da un insieme di punti a coordinate intere Il tempo si misura in “passi di calcolo” Inizialmente l’AC si trova in uno stato arbitrario In un passo di calcolo la funzione di transizione :SmS viene applicata ad ogni cella (o sito) dell’Automa Cellulare simultaneamente

Def. formale di AC unidimensionale Un Automa Cellulare unidimensionale è una quadrupla A = < E1 , S , X ,  > E1 è lo spazio cellulare unidimensionale dell’AC S è l’insieme finito degli stati dell’automa elementare; X è la relazione di vicinanza unidimensionale;  : Sm  S, con m = # X, è la funzione di transizione locale dell’automa elementare.

Def. di AC unidimensionale “Crutchfield, 2000” La configurazione st di un AC unidimensionale, al tempo t, è un array unidimesionale di N celle (o siti) Se N è un numero finito bisogna specificare il comportamento ai margini dell’array. Nel seguito considereremo condizioni periodiche al bordo Al tempo t, ogni cella si trova nello stato stiA={0,1,…,k-1} per i=0,1,…,N-1 cosicché st AN t i= sti-r,…, sti,… sti+r è il vicinato dell’ i-esima cella

Ancora sulla def. di AC unidimensionale  è la funzione di transizione (aggiornamento) locale: St+1i = (t i) La lista di tutti i possibili vicinati con i corrispondenti nuovi stati per la cella centrale è chiamata tabella di aggiornamento dell’AC L’operatore di aggiornamento globale : AN ->AN applica  in parallelo a tutti i vicinati dell’array unidimensionale

Lo spazio cellulare unidimensionale Sito 0 Sito 1 Sito N-1 Spazio cellulare di N celle (o siti) Spazio cellulare di N celle con condizioni periodiche al bordo Sito N-1 Sito 0 Sito 1

Gli stati delle celle Consideriamo, per il momento, AC unidimensionali in cui ogni cella può assumere o lo stato 0 o lo stato 1 Disegniamo in bianco gli stati 0 e in blu gli stati 1 Chiamiamo k il numero di stati che può assumere una cella; nel nostro caso abbiamo: K=2 1

Intorni Il vicinato viene spesso chiamato “intorno” Consideriamo, per il momento, intorni formati dalla cella centrale, dalla vicina di sinistra e da quella di destra Chiamiamo d il numero di celle dell’intorno; nel nostro caso: d=3 Chiamiamo r il “raggio” dell’intorno; nel nostro caso: r=1

Esempio di Intorno r=1 (d=3) Cella Centrale Vicina Destra Vicina Sinistra Intorno r=1 (d=3) Possiamo allora scrivere la relazione di vicinanza: X = [-1, 0, 1] Cioè, fissato un sistema di riferimento con origine nella cella centrale, il vicinato sarà composto dalla vicina sinistra (posizione –1 rispetto alla cella centrale), dalla cella centrale stessa (posizione 0) e dalla vicina destra (posizione 1 rispetto alla cella centrale)

Sistema numerico binario Il sistema numerico decimale utilizza solo i simboli 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 per rappresentare i numeri Il sistema numerico binario utilizza solo i simboli 0 e 1 Il numero binario 101 equivale al numero decimale 5 Il numero binario 1111 equivale al numero decimale 15 Il numero decimale 23 equivale al numero binario 10111

Cambiamento di base: decimale -> binario Si utilizza l’ algoritmo di divisione euclidea Sia n un numero decimale: Si divide n per 2 e si considera il resto r Se il quoziente q è diverso da 0 si pone n=r e si ritorna al punto precedente Se il quoziente è 0 ci si ferma Il numero binario n2 corrispondente al numero decimale n è il numero composto dai resti delle divisioni presi al contrario

Esempio decimale -> binario Prendiamo n = 25 25 = 12 * 2 + 1 (q = 12  0; r = 1) 12 = 6 * 2 + 0 (q = 6  0; r = 0) 6 = 3 * 2 + 0 (q = 3  0; r = 0) 3 = 1 * 2 + 1 (q = 1  0; r = 1) 1 = 0 * 2 + 1 (q = 0; r = 1) Dunque: 252 = 11001

Cambiamento di base: binario -> decimale Se consideriamo il numero n = 12569 diciamo che la cifra 9 occupa la posizione 0, la cifra 6 la posizione 1,…, la cifra 1 la posizione 4 Lo stesso vale per i numeri binari; se n2=1110001 diciamo che 1 è nella posizione 0, 0 è nella posizione 1, e così via Per convertire un numero binario n2 nel numero decimale n si sommano le cifre di n2 ognuna moltiplicata per 2 elevato alla posizione della cifra

Esempio binario -> decimale Prendiamo n2 = 11001 Osserviamo che la cifra più a sinistra occupa la posizione 0, la penultima cifra la posizione 1 e così via Avremo dunque: n = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 +1*20 = 1*16 + 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 = 16 + 8 + 1 = 25

Regole di evoluzione per AC a stati discreti Nel caso di AC a stati discreti la funzione di transizione si può esprimere tramite una tabella Supponiamo che il nostro AC abbia k=2 ed r=1 (ECA Elementary Cellular Automata); tutti i possibili intorni saranno i seguenti: 1

Osservazione sugli intorni 00010 = 0 (Intorno 0) 00110 = 1 (Intorno 1) 1 01010 = 2 (Intorno 2) 1 01110 = 3 (Intorno 3) 1 10010 = 4 (Intorno 4) 1 10110 = 5 (Intorno 5) 1 11010 = 6 (Intorno 6) 1 11110 = 7 (Intorno 7) 1

Esempio di funzione (o regola) di transizione 1 Intorno 7 1 Intorno 6 1 Intorno 5 1 Intorno 4 1 Intorno 3 1 Intorno 2 1 Intorno 1 Intorno 0 La regola di transizione può, allora, essere pensata come una tabella che fornisce il nuovo stato della cella centrale a partire dagli stati del vicinato

Spazio delle regole di un AC unidimensionale k=2, r=1 Le regole di transizione, come nell’esempio precedente, sono stringhe di 8 bit (essendo 8 gli intorni distinti) Esse rappresentano numeri binari. Ad esempio: 0011011010 = 54 Con 8 bit si possono rappresentare i numeri binari da 0000000010 = 0 a 1111111110=255 Esistono, dunque, 256 regole di transizione per AC unidimensionali k=2, r=1

Ricapitoliamo In un AC unidimensionale k=2, r=1 (d=3) esistono: kd = 23 = 8 intorni distinti (Kd)d = (23)3 = (8)3 = 256 regole di transizione Questo vuol dire che se consideriamo un AC con k=3 ed r=2 (d=5) avremo: 35 = 243 intorni distinti (35)5 = (243)3 = 14.348.907 regole di transizione

Applicazione della regola 0011011010 = 54 Step 0: 1 Step 1: 1 Step 2: 1 Step 3: 1 Step 4:

Evoluzione spazio temporale L’AC “evolve” nel tempo attraverso l’applicazione ripetuta della regola di transizione Asse dello spazio Asse del tempo O

Simulazione 1 Simulazione 1: regola 0011011010 = 54 200 celle configurazione iniziale casuale al 50% 200 step

Simulazione 2 Simulazione 2: regola 1001011010 = 150 200 celle configurazione iniziale casuale al 50% 200 step

Simulazione 3 Simulazione 3: regola 0111100010 = 120 200 celle configurazione iniziale casuale al 50% 200 step

Simulazione 4 Simulazione 4: regola 0101101010 = 90 200 celle configurazione iniziale casuale al 50% 200 step

Simulazione 5 Simulazione 5: regola 1000110010 = 140 200 celle configurazione iniziale casuale al 50% 200 step

Simulazione 6 Simulazione 6: regola 0011111010 = 62 200 celle configurazione iniziale casuale al 50% 200 step

Classificazione di Wolfram Wolfram ha classificato gli AC unidimensionali in base al loro comportamento dinamico Classe 1 L’evoluzione porta ad uno stato omogeneo Classe 2 L’evoluzione genera strutture stabili semplici e separate o strutture periodiche Classe 3 L’evoluzione genera configurazioni caotiche Classe 4 L’evoluzione genera strutture complesse localizzate, spesso durevoli nel tempo Reference: S. Wolfram, Universality And Complexity in Cellular Automata, Physica D, 10 (January 1984) 1—35, reperibile all’indirizzo www.stephenwolfram.com/publications/articles/ca