Automi Cellulari Automi Cellulari multistato Gliders, domini e filtri Parte IV Automi Cellulari Automi Cellulari multistato Gliders, domini e filtri I cataloghi di Crutchfield

Def. Di AC unidimensionale La configurazione st di un AC unidimensionale, al tempo t, è un array unidimesionale di N celle (o siti) Al tempo t, ogni cella si trova nello stato stiA={0,1,…,k-1} per i=0,1,…,N-1 cosicché st AN t i= sti-r,…, sti,… sti+r è il vicinato dell’ i-esima cella  è la funzione di transizione (aggiornamento) locale: St+1i = (t i) L’operatore di aggiornamento globale : AN ->AN applica  in parallelo a tutti i vicinati dell’AC determinandone l’evoluzione temporale

AC multistato Un AC unidimensionale multistato è un AC in cui k>2 Ad esempio, per k=3 stiA={0,1,2}, cioè: 2 1 Nel grafico precedente abbiamo segnato in bianco le celle nello stato 0, in blu le celle nello stato 1 e in rosso le celle nello stato 2

Lo spazio delle regole per un AC multistato In un AC unidimensionale con k stati e raggio r (d=2r+1) esistono: kd intorni distinti regole di transizione Se k=3 ed r=1 (d=3), esistono: kd=33=27 intorni distinti regole di transizione Poiché gli intorni distinti sono 27, le regole di transizione saranno stringhe di 27 caratteri (0,1 o 2); ad esempio 102111112101110002200011000

Esempio k=3 r=1 (parte 1) Regola 102111112101110002200011000, Passo 0 -> 299

Esempio k=3 r=1 (parte 2) Regola 102111112101110002200011000, Passo 300 -> 599

Esempio k=3 r=1 (parte 3) Regola 102111112101110002200011000, Passo 600 -> 899

Esempio k=3 r=1 (parte 4) Regola 102111112101110002200011000, Passo 900 -> 1199

Un altro esempio k=3 r=1 Regola 102121212200202100220210100, Passo 0 -> 299

Un esempio k=4, r=1 Regola 1013231201202212131323130011202022131233113330112211032020300030

Un altro esempio k=4, r=1 Regola 3322130201332211220233100001222133002230111121113310032120131113

I Glider (Alianti) Il nome glider (aliante) deriva, probabilmente, dal Gioco della Vita Un glider è una “struttura periodica” che è in grado di “muoversi”, con una certa “velocità”, nello spazio cellulare Il moto dei glider all’interno dello spazio cellulare può dar luogo a collisioni tra i glider stessi o tra glider ed altre strutture stabili o periodiche

Un esempio di glider nel Gioco della Vita (parte 1) Passo 0 Passo 1

Un esempio di glider nel Gioco della Vita (parte 2) Passo 2 Passo 3

Un esempio di glider nel Gioco della Vita (parte 3) y x o Al passo 4 ritroviamo, “shiftata” verso Nord-Ovest, la stessa struttura del passo 0 Passo 4 Siamo, dunque, in presenza di un glider di periodo 4 (poiché si ripete dopo 4 passi) La sua velocità orizzontale è: vx=-1/4 (celle/passi di calcolo) La sua velocità verticale è: vy=-1/4 (celle/passi di calcolo)

La velocità della luce negli AC Come abbiamo visto, ogni glider è caratterizzato da un periodo e da una velocità Mentre in AC arbitrariamente complessi si possono teoricamente costruire strutture di periodo arbitrariamente grandi, la velocità non può superare un valore massimo (la velocità della luce) dipendente dalla forma del vicinato Nel Gioco della Vita, poiché il vicinato di una cella è costituito dalle 8 celle adiacenti la cella centrale (più la cella centrale stessa), vx1 e vy1

Altri Glider di Life

Una collisione (parte 1) Passo 0 Passo 8 Passo 9 Passo 10

Una collisione (parte 2) Passo 11 Passo 12 Passo 13 Passo 23

Una collisione (parte 3) Passo 26 Passo 28 Passo 27 Passo 29

Domini regolari Nel Gioco della Vita i glider si muovono nello spazio cellulare su uno sfondo uniforme costituito da celle nello stato quiescente 0 In generale, comunque, esistono glider che si muovono su sfondi non uniformi ma “regolari” chiamati domini o domini regolari I domini regolari possono essere individuati osservando la dinamica spazio temporale dell’AC

Il dominio regolare di ECA 54 ECA 54 è un AC complesso (classe IV di Wolfram) Le strutture più complesse si muovono sull’unico sfondo (dominio) regolare, 54, di ECA 54 Dominio regolare di ECA 54 54 = {0001* sulla riga i, 1110* sulla riga i+1} i i+1 54 si ripete con periodicità e shift 2

Filtri Una volta individuati, i domini regolari possono essere “cancellati” per osservare meglio la dinamica di “particelle” più complesse come i glider Questo avviene tramite apposite procedure, i filtri Crutchfield & Hanson hanno costruito un particolare filtro per ECA 54 (Crutchfield & Hanson, “Computational Mechanics of CA. An Example”, 1995)

ECA 54 “filtrato” ECA 54 prima e dopo il filtraggio di Crutchfield & Hanson

Particelle Il filtraggio del dominio regolare ha permesso di individuare quattro tipi di particelle (…glider), le particelle , , +e - Le particelle possono essere anche interpretate come “muri”, cioè elementi di separazione, tra domini distinti o tra pezzi di uno stesso dominio

Interazioni tra le particelle (parte 1) Il filtraggio del dominio consente lo studio delle interazioni tra le particelle , , +e -    - +   - +  - +  - + 

Interazioni tra le particelle (parte 2)  + +  -  -    +  - +  -  - + 

La tabella delle interazioni Gli effetti delle collisioni tra le particelle possono essere sintetizzate tramite una tabella

I cataloghi (Crutchfield 1995) Un catalogo è una sorta di riassunto delle caratteristiche salienti di un Automa Cellulare Esso contiene di solito: Informazioni sui domini regolari Informazioni sulle particelle Informazioni sulle interazioni tra le particelle

Il catalogo di ECA 54