Sistemi dinamici

Cos’è un sistema dinamico? E’ un sistema del tipo: Il vettore X rappresenta le incognite e dipende da t. c1,…,cn sono i parametri di controllo del sistema. t è la variabile indipendente (tempo). Molti modelli fisici, biologici, meccanici, sono rappresentati da sistemi di questo tipo.

Parametri di controllo Sistemi dinamici Un sistema dinamico può anche essere visto come un sistema di input-output: Soluzioni del sistema Dati iniziali Parametri di controllo

Sistemi dinamici autonomi Un sistema dinamico si dice autonomo quando non dipende esplicitamente dal tempo. In questi casi per analizzare le soluzioni del sistema si effettua una loro proiezione sul piano delle variabili, detto piano delle fasi: Il piano delle fasi è il piano delle variabili del sistema.

Piano delle fasi Per i sistemi a due gradi di libertà, il piano delle fasi è realmente un piano su cui vengono proiettate le soluzioni. Soluzione del sistema preda predatore Proiezione sul piano delle fasi

Sistemi autonomi e non autonomi Sistema del pendolo linearizzato (per piccole oscillazioni) in assenza d’attrito: Nel punto (0,0) presenta un punto d’equilibrio. Con l’aggiunta di un termine forzante (cos(wt)), il sistema non autonomo presenta comportamenti differenti: Se w è uguale alla frequenza del pendolo allora si ha risonanza. Se w è leggermente diversa dalla frequenza del pendolo si presenta il fenomeno dei battimenti.

Risonanza e battimenti in (0,0) Risonanza in (0,0)

Sistemi autonomi e non (piano delle fasi) Piano delle fasi per il sistema del pendolo in assenza d’attrito. (autonomo) Piano delle fasi per il sistema del pendolo con l’aggiunta del termine forzante. (Non autonomo)

Stabilità Nel piano delle fasi è possibile studiare un’importante caratteristica del sistema dinamico: la stabilità. Essenzialmente essa consiste nella richiesta che un cambiamento piccolo nelle condizioni iniziali produca solo un piccolo cambiamento nella soluzione.

Filmato sulla stabilità Equilibrio stabile ed instabile

Sistemi dinamici lineari Prima di passare allo studio della stabilità di un sistema dinamico, dobbiamo introdurre i sistemi lineari. Un sistema dinamico si dice lineare quando la funzione F è lineare in X e dunque il sistema si può scrivere come: A questo punto, basta calcolare gli autovalori della matrice A, associata al sistema. Esiste, infatti, una classificazione dei punti di equilibrio legata appunto agli autovalori di A. In presenza di sistemi non lineari si effettua invece una linearizzazione in un intorno dei punti critici.

Linearizzazione Si determinano i punti singolari ponendo In un intorno del punto critico si approssima il sistema con il suo sviluppo in serie di Taylor, ovviamente arrestato al primo ordine. Si studiano gli autovalori del sistema linearizzato.

Diversi tipi di equilibri Equilibrio stabile Equilibrio instabile Equilibrio asintoticamente stabile

Punti di equilibrio stabile Si ha un punto di equilibrio stabile quando le orbite tendono ad esso per t tendente all'infinito, lungo ogni direzione. Si parla perciò di attrattore. Piccoli e successivi spostamenti da tale punto non provocano cambiamenti nel comportamento generale del sistema. Un sistema linearizzato in un punto di equilibrio stabile è caratterizzato dal possedere solo autovalori la cui parte reale è negativa. Un esempio tipico si rinviene nel sistema che descrive il moto del pendolo smorzato. In questo esempio si può osservare come le orbite siano "attratte" verso il punto di equilibrio stabile (0,0).

Punti di equilibrio instabile Si ha un punto di equilibrio instabile quando le orbite si allontanano da esso per t tendente all'infinito, lungo ogni direzione. Se il sistema parte da tale punto critico esso rimane fermo, ma un minimo scostamento da esso provoca un cambiamento totale nel comportamento del sistema, il quale si allontana dal punto critico. Per tale motivo i punti di equilibrio instabile sono punti dal carattere repulsivo. Analiticamente si può osservare che il sistema, linearizzato in un intorno di un punto di equilibrio instabile, presenta solo autovalori la cui parte reale è positiva. In questo esempio si può osservare come, pur partendo da valori molto prossimi al punto (0,0), le orbite tendano ad allontanarsi da esso.

Punto di sella Il punto critico si dice punto di sella quando ci sono due coppie di orbite asintotiche che rispettivamente convergono e divergono asintoticamente, rispetto al punto, lungo direzioni opposte (tali direzioni sono quelle specificate dagli autovettori associati agli autovalori). Nelle regioni comprese tra i due asintoti le traiettorie sono approssimativamente iperboliche. Analiticamente un punto di sella è caratterizzato da autovalori reali con segno discorde, ciò appunto per giustificare il comportamento repulsivo lungo una direzione e attrattivo lungo l'altra. Si può notare in tale figura come, nei pressi del punto di sella (1,1), le orbite seguano traiettorie iperboliche nelle regioni comprese tra i due asintoti.

Centri In alcuni sistemi dinamici, le orbite nel piano delle fasi sono delle traiettorie chiuse periodiche. Analiticamente ciò si presenta quando ci sono solo autovalori puramente immaginari. Il punto di equilibrio in questo caso è detto centro. Un esempio è dato dal sistema del pendolo in assenza d’attrito.

Cicli limite In alcuni sistemi dinamici, le orbite del piano delle fasi non convergono verso singoli punti critici ma verso una soluzione periodica. Tale soluzione viene detta ciclo limite quando è costituita da una curva chiusa isolata, cioè che possiede un intorno in cui non è contenuta nessun'altra soluzione periodica del sistema. Un esempio tipico di ciclo limite è rappresentato nel sistema di van der Pol. Si può osservare come sia le orbite interne che quelle esterne al ciclo limite convergono ugualmente ad esso.

“Attrattori strani” Nelle studio di un sistema dinamico si possono individuare soluzioni caotiche per le quali non esiste una definizione rigorosa, né è possibile effettuare previsioni sul comportamento generale dell'orbita. All'interno di tali sistemi caotici è possibile individuare tuttavia degli attrattori, detti attrattori strani. La caratteristica principale di questi attrattori strani è la cosiddetta SIC (Sensitivity to initial conditions), cioè la dipendenza critica dalle condizioni iniziali. Questo significa che, presi due punti iniziali arbitrariamente vicini sulla superficie dell'attrattore, le due traiettorie originatesi dai due punti divergeranno ben presto in maniera esponenziale. Un esempio tipico di attrattore strano è l'attrattore di Lorenz.

Osservazione Si può dunque osservare che una volta trovati gli autovalori della matrice associata al sistema dinamico lineare (o linearizzato) avremo informazioni sul carattere attrattivo o repulsivo delle orbite osservando il segno della parte reale, sul modo in cui le traiettorie vengono attratte o respinte osservando il segno della parte immaginaria.

Classificazione Autovalori reali distinti, negativi. Autovalori reali distinti, discordi. Autovalori immaginari puri. Autovalori immaginari con parte reale negativa.

Bacini d’attrazione e linee separatrici Ogni attrattore è caratterizzato dal suo bacino d'attrazione, che, per definizione, è costituito dall'insieme dei punti da cui hanno origine le orbite che convergono nell'attrattore per t tendente all'infinito. Tutte le orbite che non rientrano nel bacino d'attrazione di alcun punto critico sono dette linee separatrici, le cui traiettorie riescono a “sfuggire” all'influenza attrattiva dei punti critici. Spesso tali linee “separano” due zone di curve dal comportamento differente. La linea separatrice, disegnata in verde, segna la separazione fra i due comportamenti differenti delle orbite nel sistema del pendolo in assenza d’attrito.

Esempi Sistema di Lotka-Volterra (preda-predatore). Sistema di Van der Pol. Sistema di Lorenz.

Sistema di Lotka -Volterra Il sistema preda-predatore descrive gli andamenti di due popolazioni che interagiscono (le prede e i predatori). Dallo studio del sistema linearizzato si ottengono tre punti critici (P1,P2,P3). Per valori diversi dei parametri di controllo, che regolano il tasso di nascite, di morte, di crescita, etc, delle due popolazioni; i tre punti critici assumono nature diverse: P1 e P2 selle e P3 nodo stabile. P1 e P2 selle e P3 fuoco o centro. P1 e P3 selle e P2 nodo stabile.

Piano delle fasi del sistema preda-predatore I due punti critici segnati sono un centro (autovalori immaginari puri ) e una sella (autovalori reali discordi). Le due variabili rappresentano le popolazioni delle prede e dei predatori. Nel piano delle fasi si vede come queste popolazioni variano nel tempo l’una in funzione dell’altra.

Sistema di Van der Pol Alcuni modelli biologici di fronte a piccoli disturbi ristabiliscono nel tempo il loro andamento iniziale. Ciò è dovuto alla presenza di un ciclo limite. Un ciclo limite è una soluzione periodica isolata verso la quale convergono tutte le altre orbite. Il primo e più semplice modello biologico con tale caratteristica risiede nelle oscillazioni cardiache. La loro modellizzazione fu proposta dall’ingegnere elettronico Van der pol nel seguente sistema:

Piano delle fasi (dall’interno del ciclo) Gli andamenti nel piano delle fasi mostrano la presenza di un ciclo limite. Nel grafico sono tracciate delle soluzioni con condizioni iniziali all’interno del ciclo. Si osserva che il centro del ciclo è un fuoco instabile, infatti le soluzioni che hanno condizione iniziale vicino ad esso, si allontanano con un andamento a spirale, fino ad “avvolgersi” sul ciclo limite.

Piano delle fasi (dall’esterno del ciclo) Nel grafico sono riportate alcune traiettorie con condizioni iniziali all’esterno del ciclo. Anche queste, come quelle viste precedentemente, tendono a raggiungere il ciclo limite.

L’attrattore di Lorenz A volte, in alcuni sistemi, non si approda a nessun ciclo limite, né ad un equilibrio, ma emerge la presenza di un attrattore strano. L’attrattore di Lorenz ne è un esempio, ma com’è nato l’attrattore di Lorenz?

Due aspetti del caos Non sempre le piccole variazioni nelle condizioni iniziali e/o nei parametri del sistema provocano solo piccole variazioni nelle soluzioni. Esistono sistemi che sono molto sensibili alle variazioni dei parametri di controllo (biforcazioni). Esistono sistemi per i quali le piccole variazioni nei dati iniziali degenerano, provocando comportamenti imprevedibili nelle soluzioni (SIC)

Biforcazione “pozzo-sorgente” Ci sono sistemi per i quali, pur mantenendo fisse le condizioni iniziali, una piccola variazione dei parametri di controllo può condizionare l’intera stabilità del sistema. Il valore del parametro che segna la separazione fra i due comportamenti diversi è detto punto di biforcazione. Un tipo di biforcazione è quello detto “pozzo-sorgente”; esso genera un cambiamento radicale nel tipo di singolarità: da pozzo a sorgente.

Esempio di biforcazione Questo sistema presenta un punto di biforcazione per a = 0. Per valori negativi di a il sistema è caratterizzato da un “pozzo” nell’origine, che si trasforma in una “sorgente” quando a assume valori positivi.

Biforcazione Ovviamente anche nella musica si nota questo drastico cambiamento: a < 0 a > 0

SIC La stabilità di un sistema ci garantisce che piccole variazioni nelle condizioni iniziali possono provocare solo piccole variazioni nelle soluzioni. In presenza di sistemi caotici questa proprietà decade, per cui una piccola variazione nelle condizioni iniziali può provocare un cambiamento drastico nelle soluzioni. Un sistema che presenta questa caratteristica è il sistema di Lorenz.

L’effetto farfalla

Attrattore di Lorenz e SIC