DefinizioneUn polinomio si dice…. Operazioni con i polinomi Prodotti notevoli Regola di RuffiniTeorema del resto di Ruffini fine Mammana Achille Patrizio Signorino Rosaria di EserciziVerifica finale

Polinomio è la somma algebrica di più monomi Nella forma canonica non compaiono monomi simili Esempio 2a+4b-3c +5d –3 x questo è un polinomio in forma canonica 2x+3y –5z –7x non è un polinomio ridotto in forma canonica Sono monomisimili Indice

Somma algebrica Divisione Moltiplicazione Indice Operazioni con i polinomi

Somma algebrica Si esegue solo fra monomi simili.monomi simili Si sommano i coefficienti e si lascia inalterata la parte letterale Esempio svolto IndiceTorna alle operazioni

Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale Esempio Sono simili Non sono simili Indietro Indice

Moltiplicazione Si usa la proprietà distributiva Moltiplicazione di un monomio per un polinomio Si moltiplica il monomio per ciascun monomio del polinomio Esempio Moltiplicazione di due polinomi Si moltiplica ogni termine del primo per ogni termine del secondo Esempio Torna alle operazioni Indice

Un polinomio si dice: intero se gli esponenti dei monomi che lo compongono sono tutti interi positivi o nulli nullo se tutti i coefficienti sono nulli Grado complessivo è il massimo dei gradi dei monomi che lo compongono Grado rispetto ad una lettera è il massimo grado con cui compare la lettera complessivamente è di grado 10 è di grado 3 rispetto ad x è di grado 6 rispetto ad y è di grado 7 rispetto a z Avanti intero non è intero Indice

omogeneo se tutti i monomi che lo compongono sono dello stesso grado ordinato se compaiono le potenze delle variabili in ordine crescente o decrescente completo se compaiono tutte le potenze, dal grado massimo al grado zero, delle variabili omogeneo di grado 3 decrescente crescente ordinato IndietroIndice

Divisione di un polinomio per un monomio ( 0) Si applica proprietà distributiva destra della somma algebrica rispetto alla divisione e le proprietà delle potenze Esempio Divisione fra due polinomiTorna alle operazioniIndice

Divisione fra due polinomi Condizioni: a)Il polinomio divisore deve essere 0 per ogni valore delle variabili b)Grado del Dividendo grado del divisore Prima di effettuare la divisione, occorre: 1)Ordinare Dividendo e divisore secondo le potenze decrescenti della variabile 2)Completare, qualora non sia già completo, il dividendo Dividendo divisore Quoziente Resto Schema D=d·Q+R Indietro ContinuaIndice

Esempio Ordiniamo e completiamo il Dividendo, ordiniamo il divisore ( non è necessario completare, neanche nel caso in cui il divisore è incompleto ) 1)Disponiamo secondo lo schema 2) Dividiamo il primo termine del Dividendo per il primo termine del divisore e scriviamo il risultato ContinuaIndietroIndice

3) Moltiplichiamo il Quoziente ottenuto per tutti i termini del divisore sottraiamo i prodotti ottenuti dai termini di uguale potenza del Dividendo 4) Ripetiamo la tecnica descritta considerando i resti ottenuti come Dividendi, fino a quando il grado del Resto è inferiore di quello del Quoziente Si ottiene: IndietroTorna alle operazioniIndice

Si chiamano prodotti notevoli alcuni particolari prodotti di polinomi che si calcolano velocemente ricordando alcune regole, che ora esaminiamo. Somma per differenza Cubo di binomio Quadrato di binomio Quadrato di polinomio Potenza di binomio Indice

1) Prodotto di una somma per una differenza (A+B)(A-B) = A 2 – B 2 Infatti: (A+B)(A-B) = A 2 – AB + BA - B 2 Esempi a. (2x+3y)(2x-3y) = 4x 2 - 9y 2 b. (2x 2 y 3 +5y 4 )(-2x 2 y 3 +5y 4 ) = - 4x 4 y y 8 c. IndiceAltri prodotti notevoli

2) Quadrato di binomio (A + B ) 2 = A 2 + 2AB +B 2 Infatti: ( A + B ) 2 = ( A + B )( A + B ) = A 2 + AB + BA + B 2 = A 2 + 2AB + B 2 e ( A - B ) 2 = ( A - B )( A - B ) = A 2 - AB – BA + B 2 = A 2 -2AB + B 2 Indice (2x+3y) 2 = 4x 2 +2·2x ·3y + 9y 2 = 4x xy + 9y 2 Esempi Altri prodotti notevoli

3) Calcoliamo, come esempio, il quadrato di un trinomio Quadrato di trinomio (A + B - C ) 2 = A 2 +B 2 +C 2 + 2AB – 2AC –2BC Infatti ( A + B – C )2 = ( A + B – C ) ( A + B – C ) = A 2 +AB –AC +BA +B 2 –BC –CA –CB +C 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB – 2AC –2BC Esempio IndiceAltri prodotti notevoli

4) Cubo di binomio ( A + B ) 3 = A 3 + B 3 + 3A 2 B + 3AB 2 Infatti ( A + B ) 3 = ( A + B) 2 ( A + B ) = ( A 2 + 2AB + B 2 ) ( A + B ) = A 3 + A 2 B + 2A 2 B + 2AB 2 + B 2 A + B 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 e ( A - B ) 3 = ( A - B) 2 ( A - B ) = ( A 2 - 2AB + B 2 ) ( A - B ) = A 3 - A 2 B - 2A 2 B + 2AB 2 + B 2 A - B 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 Esempi IndiceAltri prodotti notevoli

5) Potenza di un binomio ( A + B ) n, n N Sappiamo che: (A + B ) 0 = 1 (A + B ) 1 = A + B (A + B ) 2 = A 2 + 2AB +B 2 ( A + B ) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 +B 3 Notiamo che: 1)Il numero dei termini di ( A + B ) è n + 1; 2)Ogni sviluppo è un polinomio omogeneo di grado n, completo e ordinato secondo potenze decrescenti di A e crescenti di B; 3)I coefficienti estremi sono 1 e quelli equidistanti da essi sono fra loro uguali. Continua IndiceAltri prodotti notevoli

tali coefficienti si ricavano dal Triangolo di Tartaglia n=0 1 n=1 1 1 n= n= n= n= ………………………… i numeri di ciascuna riga,tranne il primo e lultimo che sono 1, si ottengono addizionando i due numeri della riga precedente. Così è possibile ricavare i coefficienti di qualsiasi potenza. Indietro Esempio ( x + y ) 5 = x 5 +5x 4 y + 10x 3 y x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5 IndiceAltri prodotti notevoli

Regola di Ruffini Continua Quando, in una divisione di polinomi, il divisore è un binomio del tipo x- n con n numero reale qualunque, per determinare Quoziente e Resto possiamo utilizzare un procedimento rapido, detto regola di Ruffini, che permette di calcolare i coefficienti del polinomio Q e il resto R. Vogliamo eseguire la divisione: Applichiamo la regola di Ruffini, costruendo lo schema seguente e inserendo, nelle zone indicate, gli elementi specificati Coefficienti del DividendoTermine noto del Dividendo Opposto del termine noto del divisore IndiceAltri prodotti notevoli

) ) ) ) Si ha: +3 Si abbassa il primo coefficiente del Dividendo: +3 è il primo coefficiente del Quoziente +3 Moltiplichiamo +3 per +4 e scriviamo il risultato nella colonna successiva a +3, ossia sotto Sommiamo –10 e +12 e scriviamo il risultato nella stessa colonna, sotto la linea orizzontale: +2 è il secondo coefficiente del Quoziente ContinuaIndietro IndiceAltri prodotti notevoli

ContinuaIndietro ) Ripetiamo il procedimento, moltiplicando +2 per +4 e scrivendo il risultato nella colonna a destra di +2, sopra la riga orizzontale ) +8 Sommiamo –9 e +8 e scriviamo il risultato nella stessa colonna, sotto la linea orizzontale: -1 è il Resto ) +8 Coefficienti del Quoziente Si sono ottenuti +3 e +2 come coefficienti del Quoziente e –1 come Resto. Tenendo conto che il Quoziente è di un grado inferiore del Dividendo, in definitiva, si ha: Resto Q = R = - 1 IndiceAltri prodotti notevoli

Indietro Se il divisore è un binomio del tipo mx+n, con m1 occorre: 1)dividere prima ciascun termine del dividendo e del divisore per m 2) eseguire la regola di Ruffini 3) moltiplicare il resto ottenuto per m Esempio si divide per 2 si ottiene Si esegue la regolaottenendo IndiceAltri prodotti notevoli

Il teorema del resto di Ruffini Il resto della divisione tra P(x) e x + n è R = P(- n) Il resto della divisione tra P(x) e x - n è R = P(+ n) inoltre Il polinomio P ( x ) è divisibile per x + n se R = P(- n) = 0 Il polinomio P ( x ) è divisibile per x - n se R = P(+ n) = 0 Esempio 1 Per la regole del resto si ha : Esempio 2 Per la regole del resto si ha : nellesempio 2 P(x) è divisibile per x-2 Indice

Esercizi Calcola: Esegui le seguenti divisioni: Indice

VERIFICA Esegui le operazioni indicate: Esegui le divisioni tra polinomi( nel caso di due variabili dividere rispetto alla x): Esegui la divisione applicando la regola di Ruffini( nel caso di due variabili dividere rispetto alla a):