DiGiScuola PROGETTO Gruppo di MATEMATICA Liceo Ginnasio “Satriani” con indirizzo Classico e Scientifico – Cassano J. (CS) Docenti : Anna Rita Diana e Francesco Zaccaro TUTOR: Prof. ANNA ALFIERI ----------------------------------------------- Cassano, Settembre2007 Dirigente Scolastico Prof.ssa Agata Foti

Le percentuali: che cosa sono? TITOLO DEL PROGETTO: Le percentuali: che cosa sono? TITOLO del progetto:

UNITA DIDATTICA : LE PERCENTUALI INDICE Premessa La domanda I prerequisiti Gli obiettivi Metodologia Strumenti Verifiche Valutazione Le percentuali Esempi di semplici problemi risolubili mediante le percentuali Un problema analizzato con il “Turbo Pascal” Conclusioni Bibliografia

L’insegnamento della Matematica si è sempre PREMESSA L’insegnamento della Matematica si è sempre estrinsecato e continua ad esplicitarsi in due distinte direzioni: a “leggere il libro della Natura” ed a matematizzare la realtà esterna a simboleggiare ed a formalizzare (attraverso la costruzione di modelli interpretativi) i propri strumenti di lettura Tali direzioni, tuttavia, confluiscono, intrecciandosi ed integrandosi in un unico risultato: la formazione e la crescita dell’intelligenza dei giovani. Nella fase adolescenziale, nel biennio della scuola secondaria superiore, l’insegnamento della Matematica tende ad affinare varie attività, caratterizzandole, ma nello stesso tempo fondendole in un unico processo culturale e formativo.

E’ importante ribadire la necessità che l'insegnamento della matematica sia condotto per “problemi” cercando, prima di scoprire e poi di collegare e sistemare razionalmente le nozioni teoriche e le relazioni che sottostanno a ciascun problema. L'uso di strumenti informatici consente, nella programmazione scolastica, di rafforzare le abilità di formalizzazione e, nell'applicazione di software matematico, di esemplificare e visualizzare situazioni teoriche e processi algoritmici; molto utile ed innovativa a tal proposito è la LIM (Lavagna interattiva multimediale).

LA DOMANDA Per “leggere e interpretare il libro della natura” spesso si parte da una domanda da cui successivamente si procede per cercare di trovare una risposta. La “domanda” è il motore di ricerca che spinge un uomo a trovare le adeguate risposte, è il primo passo riconosciuto dal “metodo scientifico” per il quale tanti grandi geni della nostra cultura hanno dato vita al processo evolutivo dell’umanità. Il metodo di lavoro successivo alla primordiale domanda sarà basato su osservazioni, prove, misurazioni, deduzioni, fino ad enunciare una legge, una formula che riesca a sintetizzare lo studio effettuato.

Iniziamo, dunque, il nostro percorso con una domanda: <<Cosa sono le percentuali?>>, la risposta più probabile sarà: <<Le percentuali servono a calcolare lo sconto…>>. Eppure quante tematiche della vita quotidiana possono essere affrontate ed espresse mediante le percentuali? Il tasso d’interesse di un prestito bancario La pendenza di una strada La concentrazione di una soluzione (Chimica) Un’informazione statistica ….

Le percentuali costituiscono una delle applicazioni pratiche della matematica più comuni nella società. Frasi tipo “il 40% degli elettori è favorevole…”, “la legge è stata approvata con una maggioranza del 70%”, “il film è stato visto dal 35% dei telespettatori”… fanno parte del linguaggio quotidiano e sono sicuramente comprensibili. La diffusione delle percentuali è dovuta anche al fatto che esse permettono di effettuare confronti facili e immediati.

Affermare che: “in un Istituto 40 studenti su 500 hanno conseguito valutazione ottima, mentre in un altro Istituto 30 studenti su 300 hanno conseguito la stessa valutazione” è meno chiara che esprimere lo stesso concetto in percentuale, cioè che nel primo Istituto l’8% ha avuto valutazione ottima, invece nel secondo Istituto il 10%! In un primo istante sembrerebbe che nel primo Istituto ci siano più studenti (40) che abbiano ottenuto Ottimo, rispetto al secondo (30); ma in realtà i dati letti in percentuale affermano il contrario, infatti il dato numerico ci dà un’informativa corretta se è letto relativamente alla totalità del contesto in cui si analizza.

Unità didattica: Le percentuali I PREREQUISITI In Matematica la programmazione che viene preparata in una classe di qualunque ordine e grado non può prescindere dal presupposto che siano richiesti dei prerequisiti per poter meglio comprendere un nuovo argomento da studiare. Lo studio delle percentuali prevede che l’alunno abbia già acquisito conoscenze e competenze per i seguenti macro-argomenti: Il concetto di Insieme I numeri Naturali e Relativi, le operazioni e le proprietà Concetto di multiplo e sottomultiplo Il sistema di numerazione decimale I numeri Razionali, il confronto fra due numeri, le varie operazioni e le proprietà I numeri periodici e il concetto di approssimazione Il concetto di proporzionalità Le figure geometriche piane

GLI OBIETTIVI Una corretta programmazione deve aver chiari sin dall’inizio gli obiettivi da raggiungere al termine della trattazione di un paragrafo, di un capitolo o di un modulo. Nel nostro caso possiamo prevedere di raggiungere i seguenti obiettivi: Approfondire le conoscenze sulle frazioni Riconoscere frazioni proprie, apparenti, improprie Attivare confronti tra frazioni Operare con le frazioni, sfruttandone consapevolmente le proprietà anche in relazione alla risoluzione di problemi vari Acquisire abilità nel condurre semplici elaborazioni statistiche…

METODOLOGIA Credo sia importante ribadire la necessità che l'insegnamento della Matematica sia condotto per “problemi” cercando, prima di scoprire e poi di collegare e sistemare razionalmente le nozioni teoriche e le relazioni che sottostanno a ciascun problema. L'insegnamento per problemi, evidentemente, non esclude la lezione frontale né il ricorso ad esercizi di tipo applicativo per consolidare le nozioni apprese. Gli stessi argomenti, inoltre, saranno più volte affrontati in un percorso a spirale per sistemarli, alla fine, in un quadro teorico complessivo. L'uso di strumenti informatici consente, nella programmazione in un linguaggio evoluto, di rafforzare le abilità di formalizzazione, e, nell'applicazione di software matematico, di esemplificare e visualizzare situazioni teoriche e processi algoritmici. Ove possibile, dunque,il processo sarà rinforzato mediante l'utilizzo dell'elaboratore elettronico che avverrà : impiegando software già predisposto, soprattutto di simulazione per permettere la "visualizzazione" di leggi e modelli; progettando algoritmi, specie di tipo grafico di rappresentazione dei dati.

STRUMENTI L’azione didattica ed educativa si svolgerà utilizzando i seguenti strumenti didattici: lezione / informazione partecipata lavori di gruppo o singoli in classe e i seguenti strumenti tecnici: libro di testo strumentazione didattica per esperienze di laboratorio strumentazione on-line per esperienze di laboratorio e software elaborazione dati (Excel; Programma Turbo Pascal…) IWT con i CDD Frazioni e proporzioni, Operazioni tra numeri razionali, le operazioni con gli interi, mcm e MCD. materiale audiovisivo e software divulgativo e di simulazione, ad integrazione dell'attività di laboratorio.

VERIFICHE Serviranno a constatare le abilità e le competenze acquisite dagli alunni e a definire nuovi interventi finalizzati al superamento di eventuali difficoltà, quindi costituiranno un mezzo necessario al docente per accertare l'efficacia dei metodi adottati. La valutazione, pertanto, non sarà diretta soltanto a giudicare il profitto degli alunni , ma anche il processo didattico nel suo complesso e nelle sue parti. Le verifiche si articoleranno in tre diverse fasi: Verifiche di ingresso, da effettuare all'inizio dell'anno per accertare le abilità di base esistenti e relative alle competenze espressive, comunicative e sociali, logiche e del piano percettivo e psicomotorio. Esse saranno anche diagnostiche in quanto consentiranno di accertare eventuali lacune e di avviare attività di recupero.

2. Verifiche intermedie sul rendimento degli alunni, fatte in itinere o per ogni fase significativa del lavoro svolto in classe. Esse sono: di sondaggio, per misurare le differenze di rendimento tra gli allievi; formative, per registrare i risultati dell'apprendimento e accertare il livello minimo di padronanza dei contenuti; sommative, per rilevare l'avvenuto conseguimento degli obiettivi prefissati . Consisteranno in: Prove scritte con produzione di elaborati di tipo oggettivo e soggettivo. Prove orali effettuate attraverso colloqui, relazioni, test, questionari, discussioni collettive.

VALUTAZIONE La valutazione seguirà il processo delle verifiche, che consentiranno di accertare il conseguimento o meno degli obiettivi, ma sarà completata anche dalla rivelazione dei traguardi educativi raggiunti. Essa sarà così articolata: Valutazione di ingresso, si basa sulle verifiche effettuate all'inizio dell'anno che comprendono le competenze trasversali e quelle linguistico-espressive. Tale valutazione consentirà o di iniziare con le nuove informazioni o di avviare un'attività di recupero che consenta di omogeneizzare i livelli degli alunni. Valutazione in itinere, effettuata sulle verifiche e al termine dell’Unità Didattica consentirà di decidere se iniziare subito una nuova U.D. o se procedere ad un recupero tempestivo , per portare tutti gli alunni al possesso dei prerequisiti necessari ad una nuova informazione.

Valutazione formativa, collocata all'interno del processo educativo e didattico, fornirà un'informazione continua del modo in cui ciascun alunno procede nell'itinerario di apprendimento. Valutazione sommativa. Partendo dalla situazione iniziale dell'alunno, saranno considerati i progressi fatti registrare in itinere e l'avvenuto conseguimento degli obiettivi prefissati. Inoltre si terrà conto dell'interesse e del senso di responsabilità mostrati nel corso delle attività didattiche, della acquisizione di un proficuo metodo di studio, dell'impegno profuso, del grado di autonomia raggiunto dai singoli alunni, della loro crescita umana e scolastica e quindi della loro formazione, sia culturale che etica. Dopo aver stabilito il percorso di lavoro si potrà procedere con una semplice trattazione dell’argomento (“semplice” perché ci vogliamo rivolgere ad alunni del biennio delle scuole secondarie di II grado).

LE PERCENTUALI Def.: LE PERCENTUALI SONO FRAZIONI che hanno denominatore uguale a 100. (Su un totale di elementi la percentuale indica quante unità, rispetto al numero 100, soddisfano una certa condizione) Ad esempio sono tali le seguenti frazioni: , Le frazioni con denominatore 100 potranno essere scritte in forma diversa utilizzando il simbolo di percentuale: 14%, 80% …

Tuttavia qualunque frazione può essere trasformata in percentuale, grazie alle proprietà delle operazioni, moltiplicando e dividendo per il numero 100: Con questo esempio notiamo come il numero 9 assume un significato quantitativo (in percentuale) che dipende dalla totalità degli elementi cui è riferito; ripetendo dunque lo stesso tipo di trasformazione per una frazione che ha un denominatore diverso dal precedente, il “9” ci fornirà una percentuale ovviamente diversa: = ( Quindi per ben capire il concetto di percentuale occorre già aver acquisito in precedenza il concetto di Insieme (vedi “Prerequisiti”).

Nello specifico cosa significa ? Tale frazione sta ad indicare che si scelgono 9 elementi su un totale di 360. In generale la frazione individua una totalità di elementi divisa in un certo numero di parti, di cui se ne considerano solo alcune; ad esempio “i di un quadrato” prevedono che il quadrato sia diviso in 9 parti uguali (denominatore) e se ne considerino 5 (il numeratore):

Anche sulla retta numerica tale numero frazionario si può individuare dividendo l’unità in 9 parti e considerandone 5( “i dell’unità): 1 Abbiamo compreso con questi esempi che il dato numerico considerato è riferito ad un altro dato numerico che rappresenta la totalità dell’Insieme.

Ciò può essere espresso anche mediante una proporzione: 5:9 = x:1 (se la totalità di riferimento è l’unità numerica) 5:9 = x:100 ( se si vuole ottenere il dato in percentuale la totalità corrisponde a 100) Occorre altresì precisare che il numero ottenuto dalla divisione 5:9 è un numero periodico semplice, cioè 0,55555… che richiede un’approssimazione (si presume che l’argomento sia stato già trattato in precedenza).

Esaminiamo ora il seguente esempio: Affermare, relativamente ad un risultato elettorale, che il partito “A” ha ottenuto 1500 voti non ci fa capire molto dal punto di vista quantitativo; ma se si specifica che i 1500 voti son riferiti ad un totale di 4000 votanti già riusciamo a farci un’idea, che sarà ancora più chiara riportando i dati in percentuale: 37,5% 37,5% in tal modo riusciamo immediatamente a capire che il 62,5% (100-37,5=62,5) ha espresso voti ad altri partiti politici. Interessante è la modalità di rappresentazione che si può fare per una serie di dati gestiti statisticamente: Tabelle, Grafici lineari, Grafici a torta, Istogrammi … Molto utile è, in tal senso, il programma “Excel”, con il quale proponiamo l’esempio dei dati elettorali che abbiamo appena citato (nella tabella seguente la seconda riga specifica i risultati ottenuti dai partiti, la terza riga le percentuali e di seguito tre esempi di grafici che rappresentano la medesima tabella):

Partito A Partito B Partito C Partito D Totale elettori 1500 800 580 1120 4000 37,5 20 14,5 28

Esempi di semplici problemi risolubili mediante le percentuali Calcola quanto guadagna un risparmiatore che deposita per un anno un capitale di 8000€ , sapendo che la banca corrisponde un tasso d’interesse annuo dell’1.5% Si può risolvere impostando una proporzione: 1.5 :100 = x: 8000 Cioè: il rapporto fra la percentuale d’interesse e la totalità (che corrisponde a 100) è uguale al rapporto fra il guadagno (Interesse da calcolare) e la totalità del deposito; quindi si ottiene x= (8000*1.5)/100 = 120€ (guadagno) Pertanto dopo un anno il risparmiatore avrà un totale di 8120€

E poi si calcola la percentuale come frazione In 784 grammi di acqua vengono disciolti 336 grammi di zucchero. Qual è la percentuale di zucchero rispetto al peso complessivo? Si calcola il peso complessivo della miscela: 784g + 336g = 1120g (che rappresenta la totalità) E poi si calcola la percentuale come frazione Analogamente si può impostare una proporzione, che conduce allo stesso risultato 336: 1120 = x: 100 cioè x =30 che corrisponde alla percentuale cercata, ossia dello zucchero rispetto al peso complessivo.

Calcola lo sconto del 25% su un capo d’abbigliamento che costa 190€. Si può impostare una proporzione 25: 100 = x: 190 da cui x= (25*190):100 = 47.50 € corrisponde allo sconto da detrarre al prezzo precedente di 190€. Il prezzo definitivamente scontato sarà di 142.50€

UN PROBLEMA ANALIZZATO CON IL “TURBO PASCAL” Una condominio è costituito da 3 appartamenti di misura diversa appartenenti a persone diverse (che chiamiamo A, B, C). Per il riscaldamento centralizzato sono stati spesi in un anno 9600€, quale quota deve pagare ciascun condomino sapendo che l’appartamento di A misura 150 metri quadrati, l’appartamento di B misura 180 metri quadrati, e l’appartamento di C misura 140metri quadrati? Schema della situazione: A possiede 135 mq B “ 198 mq C “ 117 mq Totale ……….. 450 mq

Percentuale della proprietà di ogni condomino: A (135:450) x 100 30% B (198:450) x 100 44% C (117:450) x 100 26% Calcolo della spesa di ogni condomino, riferita alla percentuale della sua proprietà: Spesa di A 9600 x 30 :100 = 2880€ Spesa di B 9600 x 44 :100 = 4224€ Spesa di C 9600 x 26 :100 = 2496€ Totale…………………………..= 9600€

Linguaggio di progetto “Turbo Pascal” generalizzato a qualunque misura di proprietà in un condominio a 3 piani e a qualunque spesa annua (progettato da noi, non tratto dai libri): Program spesacondominiale; uses crt; var A, B, C, Tot, Consumo, percA, percB, percC, spesA, spesB, spesC: real; Begin; clrscr; writeln(‘Introduci la proprietà di A in metri quadrati’); radln(A); writeln(‘Introduci la proprietà di B in metri quadrati’); radln(B); writeln(‘Introduci la proprietà di C in metri quadrati’); radln(C); Tot:= A+B+C;

writeln(‘La casa misura complessivamente metri quadrati =’,Tot:4:2); PercA:= (A/Tot)*100; writeln(‘La percentuale di proprietà di A è =’,PercA:4:2); PercB:= (B/Tot)*100; writeln(‘La percentuale di proprietà di B è =’,PercB:4:2); PercC:= (C/Tot)*100; writeln(‘La percentuale di proprietà di C è =’,PercC:4:2); writeln(‘Il consumo totale è =’); readln(Consumo); SpesA:= (Consumo*PercA)/100; writeln(‘Il condomino A deve pagare euro ’,SpesA:4:2); SpesB:= (Consumo*PercB)/100; writeln(‘Il condomino B deve pagare euro ’,SpesB:4:2); SpesC:= Consumo- (SpesA+SpesB); writeln(‘Il condomino C deve pagare euro ’,SpesC:4:2); readln; END.

CONCLUSIONI I numeri intervengono praticamente in quasi tutte le nostre attività quotidiane; bisogna dunque acquisire le necessarie competenze per agire razionalmente ed anche per non incorrere in errori di valutazione che possano trarci in inganno. Con i numeri si eseguono calcoli che ci consentono di risolvere problemi; la diffusione delle calcolatrici ci evita di eseguirli manualmente, tuttavia anche con l’uso di qualsiasi strumento è opportuno stare attenti e mantenere vivo lo spirito critico. “Attribuire” numeri significa innanzitutto “precisare”, ma anche “controllare” e “prevedere”. <<Se solo saremo capaci, come docenti, di far nascere negli studenti un barlume di passione verso la “scienza dei numeri”, anche senza ottenere grandi risultati, avremo già vinto!>> (A.Rita Diana) BIBLIOGRAFIA “Orizzonti della Matematica, Algebra1”- Palladino, Scotto, Frixione- Ed. Principato “Moduli di Matematica”, Mod.1A”- Trovato, Marchioni- Ed. Minerva Italica