INTRODUZIONE Tutti i ragazzi imparano meglio le cose che per loro sono divertenti. Il metodo e i materiali adatti allo studio devono essere agganciati, in qualche modo, ad attività piacevoli. Attività che devono essere in grado di attrarre e concentrare l’attenzione. Se gli alunni troveranno “ gradevole “ lo studio, apprenderanno di più e svilupperanno un reale interesse per la matematica ed un motivazione che dureranno nel tempo.

CONTESTO E’ a partire dagli alunni che l’insegnante deve affrontare una programmazione educativa-didattica, che non può essere un modello fisso e rigido legato alle metodologie del passato ma flessibile e adattabile all’utilizzo delle nuove tecnologie da cui i ragazzi sono molto attratti e fortemente motivati. L’ insegnamento tradizionale viene così ribaltato: il docente non è più il trasmettitore di un sapere preconfezionato, inscatolato, asettico che considera la capacità dei ragazzi solo in relazione ad una attività di ricezione passiva.

Il docente diventa un animatore, che crea la tensione indispensabile per l’apprendimento, pone problemi e suscita la curiosità, ed è anche un regista dell’apprendimento nel senso che, partendo da situazioni concrete, con dosati suggerimenti, guida l’alunno nella ricerca della soluzione di un problema e lo avvia gradualmente alla conquista del pensiero logico ed operativo.

INDIVIDUAZIONE ARGOMENTO Perché saper risolvere le equazioni? Perché le equazioni servono a risolvere dei problemi! Di fronte ad un problema, la formalizzazione matematica ha un ruolo unificatore. Mettendo << un problema in equazione >> ci si sbarazza del contesto e ci si ritrova nel mondo rassicurante della matematica, dove le regole, se conosciute, ci guidano verso la soluzione.

OBIETTIVI METODOLOGIA PREREQUISITI Riconoscere equazioni di 1° grado e saperle classificare (sia rispetto ai coefficienti che rispetto alla forma algebrica). Conoscere i principi di equivalenza e saperli applicare per ridurre le equazioni a forma normale. Acquisire le tecniche per la risoluzione delle equazioni di 1° grado ed essere in grado di discutere le soluzioni. Riconoscere nelle equazioni un valido strumento per la discussione e la risoluzione di problemi di tipo matematico e non. Saper impostare e risolvere problemi mediante l’uso delle equazioni. METODOLOGIA L’ insegnamento sarà condotto per problemi. Si trovarà un punto di incontro tra l’esigenza di acquisire la tecnica di risoluzione delle equazioni e quella di assimilare il concetto e di capirne l’utilità, per la risoluzione dei problemi. I punti essenziali della trattazione saranno costituiti da problemi concreti che permetteranno di introdurre strumenti e tecniche matematiche, per poi ritornare al problema stesso. L’uso delle tecnologie informatiche servirà soprattutto a supportare e velocizzare l’analisi comparativa di casi concreti diversi.. N.B. Un modello così organizzato mira a promuovere interesse, che resterà nel tempo, sia per le equazioni che per la matematica in genere. La conoscenza sequenziale e lineare viene, infatti, affiancata da quella reticolare. PREREQUISITI Contenutistici: Conoscenza del calcolo numerico e letterale. Tecnici: Conoscenza generale del sistema operativo Windows XP.

DESCRIZIONE ATTIVITA’ ( o fasi del percorso formativo) Cos’è una equazione? Cos’è una disequazione? Semplicemente: → equazione: verificata solo per particolari valori attribuiti all’incognita →disequazioni: verificata per infiniti valori UGUAGLIANZA TRA DUE ESPRESSIONI contenenti una incognita: 5x + 4 = 2x + 7 x2 – 5x – 6 = 0 2x + 1 = 0 DISUGUAGLIANZA TRADUE EPRESSIONI contenenti una incognita: 5x + 2 ≥ 3x – 4- -x2 + 4 > 0 x – 7 < 0

Proseguiamo con le equazioni distinguendole in base al grado (dato dall’esponente più alto dell’incognita) ma svilupperemo solo quelle di 1° grado classificandole: EQUAZIONI ↓ NUMERICHE-------------------------------------------------- LETTERALI oltre l’incognita oltre l’incognita contiene solo numeri contiene altre lettere da considerare costanti ↓ ↓ INTERE----------------------------------FRAZIONARIE INTERE-------------- FRAZIONARIE non contengono contengono non contengono contengono incognite a incognite anche incognite a incognite anche denominatore a denominatore denominatore a denominatore

FORMA NORMALE ax = b da cui Riguardo alla risoluzione di una equazione basta ricordare che per quanto possa apparire complessa, attraverso corrette trasformazioni (sfruttando le conoscenze del calcolo algebrico e i due principi di equivalenza) si arriva,attraverso una serie di passaggi tra equazioni equivalenti, alla FORMA NORMALE ax = b da cui se la soluzione si dice che l’equazione a ≠ 0 x = b/a è unica è determinata a = 0 b = 0 è un numero qualunque perché 0x = 0 sempre è una equazione indeterminata ammette infinite soluzioni (identità) b ≠ 0 non esiste perché 0x = b mai è impossibile non ammette soluzioni

La comprensione del 1° principio di equivalenza può risultare più efficace se considerata l’equazione: x + 5 = 2x osserviamo attentamente il seguente disegno in cui è evidenziato che, come nella bilancia non si altera l’equilibrio aggiungendo o togliendo lo stesso peso ai due piatti, così, aggiungendo o togliendo una stessa “ quantità “ ad entrambi i membri dell’equazione si ottiene un’equazione equivalente.

Per meglio individuare il percorso di risoluzione di una equazione di 1° grado è esauriente il seguente schema:

Ritornanando alle motivazioni che ci hanno indotto alla scelta dell’argomento, proporrò esempi di problemi di tipo matematico e non: 1) Un numero aumentato di 7 uguaglia 10. 2) Il doppio di un numero diminuito di 2 uguaglia il numero stesso aumentato di 3. 3) Un padre ha 38 anni ed il figlio ne ha 14. dopo quanti anni l’età del padre sarà il doppio di quella del figlio? 4) In un triangolo isoscele ciascuno degli angoli alla base è 5/26 dell’angolo al vertice. Determina l’ampiezza dei tre angoli del triangolo. 5) In un rettangolo, la base è triplo dell’altezza e la loro differenza è di 28cm; calcolare la misura della base. 6) In una città europea è stata registrata la temperatura alle ore 8.00 e alle ore 12.00. Si sa che la somma delle due temperature è di 7 gradi e che la temperatura delle ore 12.00 supera quella delle ore 8.00 di 9 gradi. Qual era la temperatura di quella città alle ore 8.00? 7) La stessa quantità di birra che si trova in 36 bottigliette da ½ litro ciascuna è contenuta anche in 24 caraffe. Determinare la capacità di ciascuna caraffa. 8) Un problema di Eulero <<Un padre ha tre figli e lascia in eredità 1.600 corone. Il testamento precisa che il maggiore deve ricevere 200 corone più del secondo e il secondo 100 corone più dell’ultimo. 9) Qual è la somma ereditata da ciascun figlio?>>

10) Un mattone pesa 1 kg più mezzo mattone; quanto pesa il mattone? Un televisore, dopo che è stato praticato uno sconto del 12% sul prezzo originario, è stato pagato 308 euro Qual era il prezzo originario del televisore? 11)Si vuole formare la somma di 5 euro con 40 monete, alcune da 20 centesimi e altre da 50 centesimi. Quante monete da 20 e quante da 50 centesimi sono necessarie? 12)Un bastone è infisso a terra per 1/3 della sua lunghezza ed emerge per 84 cm. Quanto è lungo il bastone? 13)Un’auto, su un’autostrada, parte da un casello A verso il casello B che dista 200 km da A; dopo 20 minuti, dal casello B parte una seconda auto che si muove in senso opposto al precedente (cioè verso il casello A). Le due auto viaggiano a una velocità che si può considerare mediamente costante e uguale a 110 km all’ora per la prima auto e a 90 km all’ora per la seconda. Dopo quanto tempo dalla sua partenza la prima auto incontrerà la seconda?

Lo schema di ragionamento da seguire per risolvere un qualsiasi problema si articola in diverse fasi: 1) Analisi del testo e scelta dell’incognita Attraverso la lettura e l’analisi accurata del testo di un problema, si individua la grandezza che può essere considerata come incognita. 2) Traduzione del problema in equazione Si traduce l’enunciato del problema nel linguaggio algebrico, cioè si esprime con una equazione il legame fra l’incognita e i dati. 4)Risoluzione dell’equazione Si risolve l’equazione trovata con le tecniche matematiche conosciute. 5)Discussione della soluzione Si verifica se la soluzione ottenuta soddisfi le condizioni del problema e quindi sia accettabile. Ad esempio ● un numero intero positivo, se indica persone o animali , ● un numero positivo, se indica la misura del perimetro o l’area di una figura piana...

ESEMPI DI RISOLUZIONE ► In un rettangolo, la base è il triplo dell’altezza e la loro differenza è di 28 cm; calcolare la misura della base. Analisi del testo e scelta dell’incognita Sappiamo che: AB = 3AD AB – AD = 28 (in cm) se dunque indichiamo con x l’altezza AD, possiamo esprimere la base AB con 3x. Traduzione del problema in equazione 3x – x = 28 ↓ ↓ ↓ base altezza differenza fra base e altezza Risoluzione dell’equazione 3x – x = 28 cioè: 2x = 28 e quindi: x =28/2 semplificando: x = 14 Discussione dell’equazione La soluzione x = 14 è accettabile, perché la misura di un segmento deve essere un numero positivo.

► In una città europea è stata registrata la temperatura alle ore 8 ► In una città europea è stata registrata la temperatura alle ore 8.00 e alle ore 12.00. Si sa che la somma delle due temperature è di 7 gradi e che la temperatura delle ore 12.00 supera quella delle ore 8.00 di 9 gradi. Qual era la temperatura di quella località alle ore 8.00? Analisi del testo e scelta dell’incognita Sappiamo che alle ore 12.00 la temperatura, rispetto alle ore 8.00, è aumentata di 9 gradi e che la somma delle due temperature è di 7 gradi. Se indichiamo con x la temperatura alle ore 8.00, possiamo esprimere con x + 9 la temperatura alle ore 12.00. Traduzione del problema in equazione x + (x + 9) = 7 ↓ ↓ ↓ temperatura temperatura somma delle alle ore 8.00 alle ore 12.00 temperature Risoluzione dell’equazione x + ( x +9) = 7 x + x +9 = 7 2x = 7− 9 2x = − 2 x = − 2/2 quindi x = −1 Discussione della soluzione La soluzione x = −1 è accettabile, perché la temperatura di una data località può essere un numero positivo o negativo.

►La stessa quantità di birra che si trova in 36 bottigliette da 1/2 litro ciascuna è contenuta anche in 24 caraffe. Determinare la capacità di ciascuna caraffa. Analisi del testo e scelta dell’incognita Sappiamo che i litri di birra contenuti nelle bottigliette sono tanti quanti quelli versati nelle caraffe. Poiché ci viene chiesto di determinare la capacità delle caraffe, indichiamo quest’ultima con x. .Traduzione del problema in equazione 24 ∙ x = 36 ∙ 1/2 ↓ ↓ litri contenuti litri contenuti nelle caraffe nelle bottiglie Risoluzione dell’equazione 24 x = 36 . ½ 24 x = 18 x = 18/24 da cui x =3/4 Discussione della soluzione La soluzione x = 3/4 è accettabile, perché la capacità delle caraffe può essere espressa con un numero intero o frazionario.

►Un problema di Eulero <<Un padre ha tre figli e lascia in eredità 1.600 corone. Il testamento precisa che il maggiore deve ricevere 200 corone più del secondo e il secondo 100 corone più dell’ultimo. Qual è la somma ereditata da ciascun figlio?>> Scelta dell’incognita In questo problema le incognite sono apparentemente tre, ma se indichiamo con x una delle tre parti possiamo esprimere le altre in funzione della x. Quindi sia x (in corone) la parte di eredità del figlio maggiore. La parte del secondo è x – 200, quella del terzo (x – 200) – 100 = x – 300. Traduzione del problema in equazione x + ( x – 200) + ( x – 300) = 1600 ↓ ↓ ↓ ↓ eredità del eredità del eredità del eredità 1° figlio 2° figlio 3° figlio complessiva Risoluzione dell’equazione x + (x – 200) + (x – 300) = 1600 x + x − 200 + x – 300 = 1600 3x – 500 = 1600 3x = 1600 + 500 3x =2100 x = 2100/3 da cui segue che x = 700 Discussione della soluzione La soluzione x è positiva, e quindi accettabile. Il primo figlio eredita 700 corone, il secondo 500 e l’ultimo 400. La corona è il nome di antiche monete d’oro e d’argento ed attuale unità monetaria di Islanda, Svezia, Danimarca, Norvegia e di altri Paesi Baltici.

►Un mattone pesa 1 kg più mezzo mattone; Quanto pesa il mattone? Invece di procedere per tentativi, possiamo risolvere facilmente l’indovinello in questo modo. Analisi del testo e scelta dell’incognita Indichiamo con l’incognita x il peso, in kg, del mattone. Traduzione del problema in equazione x = 1 + 1/2 x peso del mattone 1 Kg peso del mezzo mattone Risoluzione dell’equazione x = 1+ 1/2x 2x = 2 + x 2x – x = 2 x = 2 Discussione della soluzione La soluzione x è positiva, trattandosi di un peso risulta accettabile.

► Un televisore, dopo che è stato praticato uno sconto del 12% sul prezzo originario, è stato pagato 308 euro. Qual era il prezzo originario? Analisi del testo e scelta dell’incognita Poiché lo sconto subito dal prezzo del televisore è il 12% ed il prezzo scontato è uguale a 308 euro, indichiamo con l’incognita x il prezzo originario del televisore Traduzione del problema in equazione x − 12/100 ∙ x = 308 ↓ ↓ ↓ ↓ il prezzo meno il 12% del prezzo è uguale prezzo originario originario al originario ossia: x – 3/25 x = 308 osserva che 12/ 100 = 3/ 25 Risoluzione dell’equazione x – 3/25 x = 308 25 x – 3 x = 308 ∙ 25 moltiplicando entrambi i membri per 25 22 x = 7700 x = 7700/22 = 350 Discussione della soluzione La soluzione trovata è accettabile infatti è positiva ed è maggiore di 308.

►Si vuole formare la somma di 5 euro con 40 monete, alcune da 20 centesimi e altre da 50 centesimi. Quantemonete da 20 e quante da 50 centesimi sono necessarie? Analisi del testo e scelta dell’incognita Abbiamo a disposizione monete da 20 e 50 centesimi; e possiamo utilizzare complessivamente 40 monete per ottenere una somma pari a 5 euro. Indichiamo con x il numero di monete da 20 centesiminecessarie: così resta automaticamente determinato,in funzione di x, il numero di monete da 50 centesimi, che sarà uguale a 40 – x, dal momento che si vogliono usare in tutto 40 monete. Traduzione del problema in equazione e relativa risoluzione 20/100 x + 50/100(40 – x) = 5 semplificando segue 1/5 x + 1/2(40 – x) = 5 moltiplicando i due membri dell’equazione per 10 si ha 2 x + 5(40 − x ) = 50 2 x + 200 – 5 x = 50 −3 x = −150 cambiando di segno (conseguenza 2° princ.equivalenza) 3 x = 150 x = 150/ 3 = 50 Discussione della soluzione La soluzione trovata è un numero naturale, ma non soddisfa la condizione di essere minore o uguale di 40 (si potevano usare al massimo 40 monete) perciò non è accettabile. Dobbiamo concludere che è impossibile formare la somma di 5 euro utilizzando 40 monete, alcune da 20 e altre da 50 centesimi.

►Un bastone è infisso nel suolo per 1/3 della sua lunghezza ed emerge per 84cm. Quanto è lungo il bastone? Nell’antichità, questo problema veniva risolto ragionando più o meno così:<< Attribuiamo al bastone una lunghezza qualsiasi: se, per esempio, il bastone fosse lungo 120 cm, la parte emergente sarebbe di 80 cm. Ma allora la misura del bastone ( x ) sta alla parte che emerge ( 84 ) come 120 sta a 80. Cioè ( con scrittura moderna): x : 84 = 120 : 80 → x = 126 IL bastone è lungo 126 cm>>. Questo metodo , detto della falsa posizione perché basato sulla falsa supposizione che il bastone fosse lungo 120 cm, aveva il difetto di poter essere applicabile solo a casi molto semplici. Oggi l’algebra ci consente un approccio più generale. Come più volte visto nei problemi presi in esame precedentemente, se indichiamo con x la misura del bastone, possiamo così tradurre l’enunciato del problema: x − 1/3 x = 84 misura del misura della misura della bastone parte infissa parte che emerge Questa è un’ equazione, ossia un’uguaglianza che contiene << quantità date >> e << quantità incognite >> che, come in tutti gli altri problemi illustrati in questa unità, abbiamo cercato di individuare e di determinare. x − 1/3 x = 84 moltiplicando per 3 tutti i termini 3x − x = 252 2x = 252 dividendo per 2 x = 126

► Un’auto, su un’autostrada, parte da un casello A verso il casello B che dista 200 km da A; dopo 20 minuti, dal casello B parte una seconda auto che si muove in verso opposto al precedente ( cioè verso il casello A ). Le due auto viaggiano a una velocità che si può considerare mediamente costante e uguale a 110 km all’ora per la prima auto e 90 km all’ora per la seconda. Dopo quanto tempo dalla sua partenza la prima auto incontrerà la seconda? Analisi del testo e scelta dell’incognita L’auto che parte da A viaggia a 110 km all’ora L’auto che parte da B viaggia a 90 km all’ora e parte dopo 20 minuti La distanza tra i caselli A e B è di 200 km Indichiamo con t il tempo incognito (espresso in ore) trascorso dal momento in cui l’auto A parte all’istante in cui le auto si incontrano. L’auto B parte dopo 20 minuti cioè dopo un terzo di ora. Si incontreranno quando l’auto A avrà percorso uno spazio = 110 km/h ∙ t ; l’auto B avrà percorso uno spazio = 90 km/h ∙ (t – 1/3) e la somma degli spazi percorsi sarà uguale alla distanza dei due caselli pari a 200 km. Trasformazione del problema in equazione, risoluzione e discussione. 110 ∙ t + 90 ( t – 1/3) = 200 110 ∙ t + 90 ∙ t – 30 = 200 200 ∙ t = 230 t = 230/200 = 23/ 20 la soluzione è accettabile poiché, avendo misurato il tempo in ore, le auto si incontreranno dopo un tempo uguale a: 23/20 ∙ 60 minuti = 69 minuti ossia dopo 1 ora e 9 minuti.

Possiamo concludere che riguardo alla risoluzione di un problema relativo a numeri o a relazioni astratte tra quantità, è necessario solo tradurre il problema dal proprio linguaggio al linguaggio dell’algebra. Una equazione è uno strumento algebrico per risolvere (una classe di) problemi, le incognite sono le risposte che si cercano e poiché ancora non si conoscono, le indichiamo con delle lettere ( incognite).

Verifica relativa al percorso formativo Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false : a)L’identità è una uguaglianza fra due espressioni algebriche, contenente una variabile, verificata per qualunque valore numerico attribuito alla variabile che in essa figura. V F b)L’equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche, contenente una variabile, verificata per qualunque valore numerico attribuito alla variabile che in essa figura. V F c)Un’equazione è frazionaria se presenta l’incognita a denominatore. V F d)Un’equazione è letterale se oltre l’incognita non presenta altre lettere. V F e) non è un’equazione frazionaria. V F f)Se nella forma normale a∙x = b risulta a≠0 e b=0 l’equazione è determinata. V F g)Se nella forma normale a∙x = b risulta a=0 e b≠0 l’equazione è indeterminata. V F h)4x=25 V F

2) Completa le seguenti frasi: a)La forma normale di una equazione di primo grado è…………………………… b)Le equazioni che posseggono un numero infinito di soluzioni si dicono …………………. c)Le equazioni che posseggono un numero………………… di soluzioni si dicono determinate. d)Se si aggiunge o si sottrae ad ambo i membri di una equazione uno stesso numero o una espressione algebrica nell’incognita considerata, allora si ottiene ………………………………………………………………………….. e)3x+5 ≥ 2x-4 e x+7 <4-6x sono …………………………………. f)Se in un problema di geometria indichiamo con l’incognita x la misura di un segmento,nella relativa discussione un valore ………………………… non potrà essere accettato. g)Lo schema di ragionamento da seguire per risolvere un qualsiasi problema si articola generalmente in quattro fasi; elencale: ………………………………… …………………………………. ………………………………….. …………………………………….

3)Associa, mediante frecce, ad ogni equazione la sua caratteristica. a∙x + 6a = 3 intera a coefficienti numerici interi intera a coefficienti numerici frazionari frazionaria (o fratta) letterale

4) Scegli la risposta esatta tra quelle suggerite: a) Data una equazione che ridotta in forma normale risulta 0∙x = 0 essa ammette soluzione: x = 0 è indeterminata è impossibile x = −7 b) Data una equazione che ridotta in forma normale risulta 0∙x = 3 essa ammette soluzione: x = 0 è indeterminata è impossibile x = − 3 c) L’equazione 2x = − 5 ammette soluzione: x = x = − x = x = − d) L’equazione 6x − 18 = 0 ammette soluzione: x = è impossibile x = 3 è indeterminata

5) Tradurre le seguenti frasi in equazioni Un numero sommato a 3 è uguale a 12. _________________________________________ Il doppio di un numero è uguale alla sua metà aumentata di 2_________________________ Addizionando 9 al prodotto tra 7 ed un numero si ottiene 16 __________________________ Il triplo di un numero è uguale alla somma del numero stesso e del suo successivo ____________________________ La somma di due numeri consecutivi è uguale alla somma tra il minore di essi e 6 ____________________________ La quinta parte di un numero aumentata di 3 è uguale alla sua terza parte diminuita di 5___________________________

6) Calcola, sul foglio a parte, le seguenti quattro equazioni:

7) Risolvi il seguente problema: Un padre ha 38 anni ed il figlio ne ha 14; dopo quanti anni l’età del padre sarà il doppio di quella del figlio? Ricordati ♣ di individuare l’elemento incognito ♣ di esprimere il problema in equazione ♣ di risolvere l’equazione ♣ di discutere il risultato ottenuto per verificare se sia accettabile

STRUMENTI UTILIZZATI Software didattico, Word, Power point, scanner, internet, libri di testo. DURATA Da quattro a più settimane in base alle capacità di attenzione e di concentrazione degli alunni. La sfida non è tanto quella di insegnare la matematica a tutti ma è quella di fornire un’educazione matematica a tutti. Al centro di questa impostazione sta sicuramente la capacità di matematizzare il reale, ovvero la capacità di passare dalla realtà alla matematica (modellizzazione di una situazione reale) e viceversa (trasferimento dei risultati dal modello alla situazione reale). la costruzione di quest’abilità, sebbene richieda momenti di riflessione sul proprio percorso d’apprendimento, avviene essenzialmente attraverso un lavoro collaborativo di confronto. non ci si deve limitare all’allenamento dei ragazzi nei riguardi della padronanza di particolari tecniche matematiche, ma si deve insistere soprattutto sullo sviluppo di una comprensione e di una consapevolezza critica di quando e come le tecniche matematiche debbano essere usate. Sarà auspicabile stimolare l’adozione di un approccio euristico alla soluzione dei problemi per cui di fronte ad un problema che non si è capaci di risolvere, si tenti di formularne uno simile che invece si sa risolvere.