SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI

PREREQUISITI Monomi e operazioni con i monomi MCD e mcm di più monomi Polinomi e operazioni con i polinomi

OBIETTIVI Comprendere il concetto di polinomio riducibile; Scomporre un polinomio in fattori; Imparare alcuni metodi standard di scomposizione in fattori; Saper determinare M.C.D. e m.cm. Di polinomi

Contenuti: Raccoglimento a fattor comune ax+ay = a(x+y) Utilizzo dei prodotti notevoli differenza di due quadrati x²-y²= (x+y)(x-y) quadrato di un binomio x²±2xy+y² = (x ± y)² quadrato di un trinomio x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz = (x + y + z)² Cubo di un binomio x³+3x²y+3xy²+y³ = (x + y)³

somma e differenza di cubi x³± y³ = (x±у)(x² ±xу+у²) Trinomio notevole x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) Utilizzo della regola di Ruffini M.C.D. e m.c.m.di polinomi

Definizioni La scrittura di un polinomio come prodotto di fattori si dice scomposizione in fattori (o fattorizzazione) del polinomio. Dunque: Scomporre un polinomio in fattori significa trasformarlo, quando è possibile, nel prodotto di due o più polinomi di grado minore. Quando ciò è possibile, il polinomio si dice riducibile,in caso contrario, si dice irriducibile.

RACCOGLIMENTO A FATTORE COMUNE Se tutti i termini di un polinomio contengono un fattore comune, il polinomio si può scrivere come prodotto del fattore comune per il quoziente che si ottiene dividendo il polinomio dato per tale fattore. Allora si dice che si è messo in evidenza il fattore comune che è, di solito, il M.C.D. ax+ay = a(x+y) Esempi: a²x+a²bу+a²z²=a²(x+bу+z²) 3x²+6xу-12x³=3x(x+2у-4x²)

RACCOGLIMENTI SUCCESSIVI A FATTORE COMUNE Consideriamo il polinomio ax + bx + ay +by i primi due monomi hanno in comune x e gli ultimi due y allora tra i primi due raccolgo la x e tra gli ultimi due la y ax + bx + ay +by = x(a+b) + y(a+b) noto che ho due termini con le parentesi uguali, quindi posso raccogliere tutta la parentesi ax + bx + ay +by = x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(x+y)

SCOMPOSIZIONI MEDIANTE I PRODOTTI NOTEVOLI Questo metodo consiste nel riconoscere se il polinomio da scomporre sia lo sviluppo di un prodotto notevole. Uso della differenza di due quadrati A²-B² =(A+B)(A-B) Esempio 9x²-4y²=(3x+2y)(3x-2y) Regola: La differenza fra i quadrati di due monomi si scompone moltiplicando la somma dei due monomi per la loro differenza

Uso del quadrato di un binomio A²+2AB+B²=(A+B)² Esempi 4a²+12ab+9b² = ( 2a + 3b )² 4x² -16xy+16y² = (2x - 4y)²

Uso del quadrato di un trinomio A²+B²+C²+2AB+2AC+2BC = (A+B+C)² Esempio 4x²+9y²+16z²+12xy-16xz-24yz= (2x+3y-4z)²

Uso del cubo di un binomio A³+3A²B+3AB²+B³ = (A+B)³ Esempio 8x³ +36x²y +54xy² +27y³ = (2x+3y)³

A³+B³ = (A+B)(A²-AB+B²) A³-B³ = (A-B)(A²+AB+B²) Uso della somma e della differenza di due cubi A³+B³ = (A+B)(A²-AB+B²) A³-B³ = (A-B)(A²+AB+B²) Esempi a³+27 = (a+3)(a²-3a+9) 8x³-y³ = (2x-y)(4x²+2xy+y²)

Scomposizione di un trinomio notevole Un trinomio del tipo: x²+(a+b)x+ab dove il 1°coefficiente è uguale a 1 e il 2°coefficiente è la somma di due numeri il cui prodotto è uguale al termine noto, si scompone così (x+a)(x+b) Esempi: x²+5x+6 = (x+2)(x+3) x²+3x-10 = (x-2)(x+5)

Scomposizioni con la regola di Ruffini Partiamo da un esempio, dobbiamo scomporre il polinomio P(x) = x3-3x2+4x-2 Se alla variabile sostituiamo il valore numerico 1, il polinomio assume il valore 0 (13-3·12+4·1-2=0). Dalla regola del resto di Ruffini deduciamo che il polinomio è divisibile per il binomio x-1. Eseguiamo la divisione con la regola di Ruffini e quindi possiamo scrivere che x3-3x2+4x-2 = (x-1)(x2-2x+2) Coefficienti del polinomio da scomporre 1 -3 4 -2 1 1 -2 2 1 -2 2 // Coefficienti del polinomio quoziente Si cambia di segno la radice

M.C.D. e m.c.m. di due, o più, polinomi Il M.C.D. di due o più polinomi,scomposti in fattori irriducibili,è dato dal prodotto di tutti e soli i fattori comuni ai polinomi dati,presi una sola volta con il minimo esponente. Il m.c.m. di due o più polinomi,scomposti in fattori irriducibili,è dato dal prodotto di tutti i fattori,comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente