Numeri razionali I numeri RAZIONALI sono i numeri che possono essere rappresentati come frazioni. I razionali comprendono i numeri interi e quelli decimali limitati e illimitati periodici

Numeri razionali I numeri razionali sembrano gli unici ad avere significato nella nostra vita quotidiana, ma hanno un grave difetto: non tutte le coppie di classi contigue hanno un elemento separatore

Classi contigue Due insiemi di numeri A e B si dicono classi contigue se ogni elemento di uno (ad esempio A) è minore di ogni elemento dellaltra (ad esempio B) dato un qualsiasi numero positivo ε esistono un elemento di A e uno di B la cui differenza è minore di ε

Classi contigue Ad esempio: A = insieme dei numeri minori di 2 B = insieme dei numeri maggiori di 2 È abbastanza ovvio che: tutti i numeri minori di 2 sono minori di tutti i numeri maggiori di 2 posso prendere due numeri, uno maggiore e uno minore di 2, la cui differenza sia piccola a piacere

Elemento separatore Date due classi contigue A e B si dice elemento separatore il numero che è maggiore o uguale a ogni elemento di A e minore o uguale a ogni elemento di B Nellesempio precedente lelemento separatore è il numero 2 minori di 2 2 maggiori di 2

Elemento separatore E abbastanza intuitivo che ogni coppia di classi contigue abbia un elemento separatore, ma nellinsieme dei numeri razionali non è così

Elemento separatore Siano ad esempio: A = insieme dei numeri positivi il cui quadrato è minore di 2 B = insieme dei numeri positivi il cui quadrato è maggiore di 2 Sono classi contigue, come si può capire facilmente dal grafico cartesiano della parabola y=x 2

Elemento separatore Ma qual è il loro elemento separatore? Può essere solo un numero il cui quadrato è esattamente uguale a 2: ma nei razionali non esiste nulla del genere. Come fu già dimostrato da Euclide, infatti, non esiste nessun razionale il cui quadrato è 2 2 A B ?

I numeri irrazionali Per risolvere questo problema si definisce una nuova classe di numeri, i numeri irrazionali Si dicono numeri irrazionali gli elementi separatori delle classi contigue che non hanno un elemento separatore razionale Lelemento separatore di A e B nellesempio è il numero irrazionale 2

I numeri reali Linsieme dei numeri razionali e di quelli irrazionali costituisce linsieme dei numeri reali (naturalmente non è tutto così semplice: è necessario dimostrare che i reali hanno le caratteristiche che già avevano i razionali, come lordinamento, le proprietà delle operazioni ecc: questo è possibile ed è stato fatto)

Continuità Proprio per come è stato definito nellinsieme dei numeri reali ogni coppia di classi contigue ha uno e un solo elemento separatore Un insieme in cui vale questa proprietà si dice continuo Linsieme dei numeri reali è continuo

Retta reale La RETTA REALE è una retta su cui sono stati fissati: unorigine un orientamento una unità di misura O u

Retta reale Sulla retta reale cè CORRISPONDENZA BIUNIVOCA tra punti e numeri, per cui i suoi elementi possono essere designati indifferentemente come punti o come numeri. O u

Ordinamento La retta reale è ORDINATA: dati due punti distinti x 1 e x 2 allora: o x 2 <x 1 o x 1 <x 2 O X1 X2

Intervallo chiuso Si dice INTERVALLO CHIUSO di estremi a, b, e lo si indica con [a;b] Linsieme di tutti i numeri (o punti) compresi tra a e b, estremi inclusi O a b

Intervallo chiuso Geometricamente, un intervallo chiuso non è altro che un segmento O a b

Intervallo aperto Si dice INTERVALLO APERTO di estremi a, b, e lo si indica con ]a;b[ Linsieme di tutti i numeri (o punti) compresi tra a e b, estremi esclusi O a b

Intervallo aperto Si considerano intervalli aperti anche: ]-;b[ Insieme di tutti i numeri minori di b, e: ]a;+[ Insieme di tutti i numeri maggiori di a

Intervallo aperto Linsieme dei reali, R, si considera sia aperto che chiuso, e lo si può indicare anche con: ]-;[

Aperto a sinistra e chiuso a destra Come prima, solo che a non è incluso mentre b lo è ]a;b] O a b

Aperto a destra e chiuso a sinistra Come prima, solo che b non è incluso mentre a lo è [a;b[ O a b

Intorno Si dice INTORNO DI UN PUNTO un intervallo aperto che contiene il punto Ad esempio, ]a;b[ è intorno di P O a P b

Intorno destro Si dice INTORNO DESTRO DI UN PUNTO un intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra che ha come estremo sinistro il punto Ad esempio, [P;b[ è intorno destro di P O P b

Intorno sinistro Si dice INTORNO SINISTRO DI UN PUNTO un intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra che ha come estremo destro il punto Ad esempio, ]a;P] è intorno sinistro di P a P

Intorno sinistro ]1;5[ è un intorno di 2 [3;4[ è intorno destro di 3 ]-5;0] è intorno sinistro di 0 [2;10] non è intorno di 5, perché non è aperto ]1,2[ non è intorno di 2, perché 2 non ne fa parte

Punto interno Dato un insieme A, il punto P appartenente ad A si dice PUNTO INTERNO di A se esiste un intorno U di P tutto contenuto in A A P U

Punto interno Il punto 3 è interno allintervallo [1;5]: infatti, ]2;4[ è un intorno di 3 tutto contenuto nellintervallo Invece, il punto 5 non lo è, perché la metà destra di ogni intorno di 5 cade al di fuori dellintervallo

Punto interno Tutti i punti sono interni ad R Al contrario, Z è privo di punti interni; infatti un intorno di un intero non contiene solo numeri interi

Punti interni e intervalli aperti In un intervallo aperto TUTTI I PUNTI SONO PUNTI INTERNI

Punto di frontiera Dato un insieme A, il punto P dice PUNTO DI FRONTIERA di A se ogni intorno di P contiene sia punti di A che punti non appartenenti ad A A P U

Punto di frontiera Un punto non può essere contemporaneamente di frontiera e interno: i due ruoli si escludono a vicenda Un insieme può non avere punti di frontiera; ad esempio R Un punto può non essere né di frontiera né interno Un insieme può essere fatto di soli punti di frontiera Un punto di frontiera di un insieme non deve necessariamente appartenere allinsieme

Esempi 3 è punto di frontiera dellintervallo A=]3;5[. Infatti, ogni intorno di 3 sta con la sua parte destra in A e con la sinistra fuori da A. Lintervallo A ha come unici punti di frontiera 3 e 5; gli altri o sono interni o sono staccati da A Linsieme degli interi, Z, coincide con linsieme dei suoi punti di frontiera; infatti ogni intorno di un intero contiene anche numeri non interi

Punto isolato Dato un insieme A, il punto P appartenente ad A dice PUNTO ISOLATO di A se esiste un intorno di P che non contiene alcun altro elemento di A, oltre a P stesso A P U

Punto isolato Un punto isolato non può essere punto interno, ma può essere punto di frontiera Esistono insiemi privi di punti isolati; ad esempio gli intervalli Esistono insiemi fatti di soli punti isolati: ad esempio Z

Punto di accumulazione Dato un insieme A, il punto P dice PUNTO DI ACCUMULAZIONE di A se ogni intorno di P contiene almeno un punto di A distinto da P A P U

Punto di accumulazione Può sembrare che la definizione sia uguale a quella dei punti di frontiera, ma non è così: qui non si chiede che nellintorno ci siano anche punti fuori da A, inoltre P stesso non può essere conteggiato tra i punti di A Tutti i punti interni sono anche di accumulazione I punti isolati non possono essere di accumulazione I punti non isolati di frontiera sono di accumulazione

Esempi Il punto 0 è punto di accumulazione sia per ]0;1[ che per [0;1] Linsieme dei numeri interi è privo di punti di accumulazione. Linsieme dei reciproci degli interi maggiori di 0: I={1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…..} ha come unico punto di accumulazione il punto 0. Questo mostra che un insieme può essere fatto di soli punti isolati eppure possedere un punto di accumulazione (non appartenente allinsieme.

Insiemi superiormente limitati Un insieme A si dice SUPERIOREMENTE LIMITATO se esiste un punto P maggiore di tutti gli elementi di A. P si dice MAGGIORANTE di A A P

Estremo superiore Il minore di tutti i maggioranti di un insieme superiormente limitato si dice ESTREMO SUPERIORE dellinsieme e si indica con Sup(A) A P

Massimo Se lestremo superiore di un insieme appartiene allinsieme allora lo si chiama MASSIMO e lo si indica con Max(A) A P

Insiemi inferiormente limitati Un insieme A si dice INFERIOREMENTE LIMITATO se esiste un punto P minore di tutti gli elementi di A. P si dice MINORANTE di A A P

Estremo inferiore Il maggiore di tutti i minoranti di un insieme inferiormente limitato si dice ESTREMO INFERIORE dellinsieme e si indica con Inf(A) A P

Minimo Se lestremo inferiore di un insieme appartiene allinsieme allora lo si chiama MINIMO e lo si indica con Min(A) A P

Insiemi limitati Un insieme limitato sia superiormente che inferiormente si dice LIMITATO

Esempi Lintervallo [0;3[ è limitato: 0 è estremo inferiore e anche minimo 3 è estremo superiore ma non massimo N è limitato inferiormente ma non superiormente: il suo minimo è 0

Esempi Linsieme dei reciproci degli interi A={1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…..} È limitato sia inferiormente che superiormente: 1 è estremo superiore e massimo 0 è estremo inferiore ma non minimo

Funzioni limitate Una funzione si dice LIMITATA se il suo codominio è limitato. Se gli estremi superiore e inferiore fanno parte del codominio allora si dicono rispettivamente MASSIMO ASSOLUTO e MINIMO ASSOLUTO della funzione. I punti in cui la funzione assume tali valori si dicono PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO e PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO

Funzioni limitate Max X Min X Max Min Graficamente massimo e minimo assoluti sono il punto più alto e quello più basso del grafico

Funzioni limitate La funzione: y=x 2 +1 È limitata inferiormente e ha 1 come minimo assoluto. Il punto di minimo è x=0 La funzione: y=e x È limitata inferiormente ma non ha minimo; infatti 0 non appartiene al dominio

Funzioni limitate La funzione: y=senx È limitata sia superiormente che inferiormente, e gli estremi sono 1 e -1. I punti di massimo sono tutti i punti X max =/2+2k, mentre i punti di minimo sono tutti i punti X min = 3/2+2k