L’infinito potenziale

virginia alberti-FORTIC B «Se gli esseri sono molti è necessario che essi siano tanti quanti sono e né di più né di meno. Ma se sono tanti quanti sono, saranno limitati. Se sono molti, gli esseri sono infiniti. Infatti tra l'uno e l'altro di questi esseri ve ne saranno sempre altri e tra l'uno e l'altro di questi altri ancora. E così gli esseri sono infiniti» virginia alberti-FORTIC B

Achille la tartaruga e Il paradosso di Zenone Secondo argomento contro il moto di Aristotele virginia alberti-FORTIC B

virginia alberti-FORTIC B Ha osservato Bertrand Russell “La singolarità della filosofia è di cominciare con qualcosa di così evidente da non sembrare neanche degno di essere affermato, e di finire con qualcosa di così paradossale che nessuno ci crederebbe”. virginia alberti-FORTIC B

virginia alberti-FORTIC B Cos’è un paradosso? etimologicamente definizione è «una conclusione apparentemente inaccettabile, che deriva da premesse apparentemente accettabili, mediante un ragionamento apparentemente accettabile». è un’asserzione che va contro (in greco parà) l’opinione comune (doxa). Mark Sainsbury virginia alberti-FORTIC B

Aristotele (384-322 a.C.) nella Fisica, ( Phys., VI, 9, 239b 14 ): "Il secondo argomento è quello detto di Achille. Eccolo: il più lento corridore non sarà mai raggiunto nella sua corsa dal più veloce. Infatti sarà necessario che l'inseguitore proceda fin là donde si è mosso il fuggitivo, quindi è necessario che il corridore più lento si trovi sempre un po' più innanzi". virginia alberti-FORTIC B

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virginia alberti-FORTIC B Supponiamo che Achille sia due volte più veloce della tartaruga e che entrambi gareggino lungo un percorso di un metro. Supponiamo inoltre che Achille dia mezzo metro di vantaggio alla tartaruga. ½+1/4+1/8 1/2 ½+1/4 1 metro virginia alberti-FORTIC B

La difficoltà si basa sulla divisibilità infinita dello spazio. Michele Emmer scrive: La difficoltà si basa sulla divisibilità infinita dello spazio. Ma allora Achille raggiunge o no la tartaruga? virginia alberti-FORTIC B

Schema riassuntivo del problema virginia alberti-FORTIC B

virginia alberti-FORTIC B Quando Achille avrà percorso mezzo metro, la tartaruga si troverà più avanti di Achille di un quarto di metro; quando Achille avrà percorso quel quarto, la tartaruga si troverà avanti di un ottavo di metro e così via all'infinito cioè Achille non raggiungerà mai la tartaruga. virginia alberti-FORTIC B

virginia alberti-FORTIC B Se osserviamo il percorso di Achille troviamo che esso è dato da infiniti tratti che costituiscono la successione 1/2 ; 1/2 + 1/4 = 3/4; 3/4 + 1/8 = 7/8; 7/8 + 1/16 = 15/16; ... ; (2n - 1)/2n è facile osservare che questa è una successione e tende a 1. Vediamo così che una somma di quantità finite in un numero illimitato non è necessariamente finita. virginia alberti-FORTIC B

Le successioni di numeri reali sono delle funzioni da N ad . Cioè : dove  N è l'insieme dei numeri naturali ed    è l'insieme dei numeri reali. virginia alberti-FORTIC B

virginia alberti-FORTIC B La differenza tra 1 ed sn, per n opportunamente grande, si fa più piccola di un qualsiasi numero per quanto piccolo da noi scelto. È questa una proprietà caratteristica del Limite definito nell'Ottocento da Weierstrass. virginia alberti-FORTIC B