Introduzione al Modello Standard 1. Costituenti della materia 2. Le forze fondamentali 3. Simmetrie e leggi di conservazione 4. Cinematica relativistica 5. Il modello a Quark statico 6. L’interazione Nucleare Debole 7. Introduzione al Modello Standard 8. Violazione di CP nel Modello Standard

La Lagrangiana dell’Interazione Elettrodebole (piu’ in dettaglio) Current values (Particle Data Group 2006): M(W±) = 80.403 ± 0.029 GeV M(Z0) = 91.1876 ± 0.0021 GeV Il propagatore del W e della Z Sono particelle a spin 1: ms= -1, 0, +1 Con il propagatore: Nel caso delle interazioni leptoniche del W abbiamo visto che il vertice fondamentale e’ del tipo: Vector V W- Axial vector A Struttura V-A (che viola P)

La costante debole a bassa energia: la vita media del muone. Usando massa e vita media sperimentali: GF viene cosi’ determinata dal limite a bassa energia, note massa e vita media del muone. Quindi possiamo determinare g. E la “costante di struttura fine debole” e’ Da confrontarsi con La “debolezza” dell’interazione debole a basse energie e’ dovuta non al valore della costante di accoppiamento, ma alla massa di W e Z.

Vertici che coinvolgono quarks Occorre tenere conto sia della struttura V-A dell’interazione debole che della matrice di mescolamento tra i sapori. Nel caso delle prime due generazioni occorre tenere conto della “rotazione di Cabibbo”. c c W W d s Con la struttura dei doppietti: Mentre la struttura piu’ generale e’ quella del mescolamento di tutti i sapori e della matrice CKM

Le correnti neutre Abbiamo visto che l’accoppiamento del W a quark e leptoni e’ di tipo universale V-A: Vertice del W Riguardo alla notazione: Gli accoppiamenti della Z dipendono dal quark/leptone coinvolto. Il “vertex factor”:

Vertici del W Vertici della Z

Il valore dell’angolo di Weinberg non e’ predetto. Sperimentalmente: (Moeller scatterig, Q = 0.16 GeV/c) (alla massa della Z0) (e’ “running”!) L’angolo di Weinberg ci dice, a quel valore di Q, “di quanto” la Z0 interagisce come un fotone. Inoltre e’ possibile predire il valore della massa del W a partire da GF (fissato dalla vita media del muone) e dall’angolo di Weinberg: Possiamo determinare la massa della W Nel modello GSW (Glashow,Salam,Weinberg) la massa della Z0: MW~ 80.2 GeV, MZ~ 91.2 GeV

Effetti elettrodeboli in collisioni e+e- Z0 f Gli effetti elettromagnetici tendono a rendere poco visibili gli effetti deboli Tuttavia vicino alla massa della Z0, il relativo propagatore e’ grande: Facendo il caso dello stato finale con due muoni: che e’ risonante alla massa della Z0 Quando 2E~MZc2 Quando 2E<<MZc2 (dominante, >200) (trascurabile)

Partendo dall’Eq. di Dirac, possiamodefinire gli spinori chirali: Il Modello Standard è una “Chirac Gauge Theory” (le elicità sono trattate in modo diverso) Partendo dall’Eq. di Dirac, possiamodefinire gli spinori chirali: Nel limite m=0 questi sono gli autostati dell’elicita’ La funzione d’onda di particelle libera di Dirac: W- particella antiparticella Lo possiamo scrivere dicendo che la corrente e’:

Si puo’ far vedere che vale: Come a dire che il fattore di vertice lo possiamo considerare vettoriale (come il caso elettromagnetico!) purche’ si accoppi solo ai fermioni left-handed (sinistrorsi). D’altra parte vale anche in generale: E quindi per la corrente elettromagnetica abbiamo: La corrente e.m. si accoppia sia ai fermioni destrorsi che a quelli sinistrorsi.

Isospin debole e ipercarica Abbiamo visto che le correnti cariche si possono scrivere come: W- W+ E le matrici: Introduciamo il doppietto left-handed che ci permettono di scrivere: Ora notiamo che le matrici:

Se richiediamo una simmetria tra le correnti abbiamo che ci vorrebbe una terza corrente del tipo: La quale, se sviluppata sui leptoni di prima generazione da luogo a: Rappresenta una corrente debole neutra. La parte che si accoppia solo ai left-handed. Ora dobbiamo introdurre qui l’interazione elettromagnetica. La regola con cui lo facciamo e’ quella di somma tra l’ipercarica e l’isospin. Introduciamo quindi una corrente di ipercarica debole:

Il gruppo di simmetria dell’interazione elettrodebole e’ quindi SU(2)L U(1)Y Weak Isospin Weak Hypercharge E le correnti sono: Ove si e’ introdotta l’ipercarica debole rispettando la Gell-Mann-Nishijima. Infatti: Avendo ora le correnti e gli stati possiamo costruire la lagrangiana.

SU(2)L U(1) Isospin debole (left handed) Ipercarica debole (tutte e due le chiralita’) e notazioni analoghe Ecco I doppietti ruotati eR,μR,τR,uR,cR,tR,d’R,s’R,b’R Tre correnti di isospin debole Una corrente di ipercarica debole A questo punto scriviamo la Lagrangiana dell’interazione elettrodebole come:

Ove pero’ occorre tenere presente che questi sono i campi di gauge del gruppo di simmetria della teoria. Noi li trasformiamo come segue: Ed inoltre utilizziamo la nota rotazione (che rompe la simmetria): Con: Ottenendo infine:

Debole carica Debole neutra ed e.m. E.M. pura

Cos’è il Modello Standard? Una teoria quantistica e relativistica dei costituenti fondamentali Basata su concetti di simmetria (e campi) di gauge che descrive tre delle quattro interazioni fondamentali (elettrodebole e forte) Il Modello Standard è il migliore candidato che abbiamo a una: TEORIA COMPLETA DELLE INTERAZIONI FONDAMENTALI Costituenti fondamentali e interazioni tra di loro

Costruzione della lagrangiana di QED La Lagrangiana di Dirac: (Eulero-Lagrange) (Eq. di Dirac libera) La Lagrangiana Presenta una proprieta’ di invarianza per trasformazioni globali di gauge: (trasformazioni di fase) Si richiede che questa proprieta’ globale valga anche localmente. L’invarianza diviene principio dinamico. Ora la trasformazione di gauge dipende dal punto dello spaziotempo Vediamo come si comporta la L

Dal momento che si ottiene E questa lagrangiana non e’ gauge-invariante. Se noi vogliamo una L gauge-invariante occorre introdurre un campo compensante con una legge di trasformazione opportuna: Questa nuova lagrangiana e’ invariante per trasformazione locale di gauge. Per renderlo tale e’ stato necessario introdurre un nuovo campo (il campo e.m.).

Trasformazione di gauge locale Il campo di gauge A deve pero’ comprendere un termine di campo libero. Questo termine di campo libero sara’ quello del campo elettromagnetico.

Lagrangiana del campo elettromagnetico libero: (Eulero-Lagrange) (Eq. di Maxwell libera) Dimostriamo che e’ gauge-invariante. Osserviamo che la presenza di un termine di massa romperebbe l’invarianza di gauge. Infatti:

Eq. di un campo vettoriale masssivo (…se il fotone avesse massa!) Ma questo termine di massa viola l’invarianza di gauge. Infatti: L’invarianza di gauge e la m=0 del fotone sono legati. Il campo e.m. in interazione con una corrente sarebbe:

L’eq. del campo di Dirac in interazione con un campo e. m L’eq. del campo di Dirac in interazione con un campo e.m. (gauge-invariante): Dirac libero Interazione con una E.m. libero Affinche’ l’invarianza di gauge sussista, il campo compensante introdotto deve essere privo di massa. Questa e’ la simmetria di gauge U(1)

Ma per costruire la Lagrangiana del Modello Standard Elettrodebole dobbiamo: Costruire una lagrangiana elettrodebole basata su una simmetria di gauge di tipo SU(2)xU(1). Aggiungere la parte di QCD. Risolvere il problema delle masse.

Aperta parentesi su SU(2)

La simmetria SU(2) (campi di Yang-Mills) Se abbiamo due campi (di Dirac) non interagenti: Possiamo scriverla come: La lagrangiana puo’ essere scritta come: (matrice delle masse) Se le masse sono uguali M = m (scalare) Dal momento che siamo in due dimensioni possiamo avere una simmetria SU(2)

Con U matrice unitaria scrivibile come: τ: le matrici di Pauli U(1) SU(2) Concentrandoci solo su SU(2): La lagrangiana di partenza: Possiede un’invarianza di SU(2) globale: Ora noi richiediamo l’invarianza di gauge locale (dipendente da x):

Per rendere questa lagrangiana invariante occorre introdurre un terzetto di campi compensanti tali che: Occorre pero’ introdurre I termini di campo liberi di questi tre nuovi campi I quali, per essere gauge-invarianti devono essere definiti e gauge-trasformarsi come: Si ottiene con la legge di trasformazione di A

Lagrangiana di Yang-Mills, SU(2) invariante, per due campi di Dirac interagenti per mezzo di tre campi di gauge vettoriali senza massa: La diversa struttura dei campi di SU(2) e della loro legge di trasformazione dipende dal fatto che il gruppo di simmetria non e’ abeliano. La struttura presentata ha delle analogie con la lagrangiana del modello standard, in particolare per quanto riguarda il gruppo di simmetria. Se non ci preoccupiamo della massa, possiamo subito scrivere la Lagrangiana Elettrodebole usando le simmetrie SU(2) e U(1)

Chiusa parentesi su SU(2)

Apertura parentesi sulla massa

Termine esplicito di massa VIETATO nella Teoria Elettrodebole !

Chiusa parentesi sulla massa

Aperta parentesi su QCD

Quantum Chromodynamics as a Gauge Theory QCD is the Theory of Strong Interactions The quarks are structureless spin ½ elementary particles A quark is described by a 4-component spinor obeying (in a free theory) the Dirac Equation The general form of the free wavefunction Four-momentum and polarization Spin-dependent momentum-space wavefunction

Antisymmetric structure constants The free-quark Lagrangian Is invariant under a SU(3) global transformation U is an SU(3) matrix acting on the color part of the wavefunction A generic SU(3) matrix requires 8 real parameters : With the SU(3) generators (hermitian 3x3 matrices) : Gell-Mann matrices Antisymmetric structure constants If we require local gauge invariance 36

The locally SU(3) invariant Quark lagrangian 8 gauge potentials (gluons) and their transformation laws This lagrangian contains a free quark term and an interaction term: To have the full QCD Lagrangian, one needs the gluon part: Where the field strength tensor: Contains self-interaction terms of the field with itself F: SU(3) structure constants The full QCD Lagrangian: 37

Chiusa parentesi su QCD

The costituents in the Standard Model Lagrangian A set of elementary constituents: quarks and leptons (pointlike, no internal structure down to 10^(-18) m) A set of forces generated by gauge symmetries : Electroweak (quarks & leptons) Strong (quarks) Leptonic sector characterized by the SU(2)xU(1) scheme classification : (assume Massless Neutrinos)

The hadronic sector consists of the left-handed quarks: The primes on the lower components of the quark doublets signal that the weak eigenstates are mixtures of the mass eigenstates (CKM matrix):

The non-interacting Standard Model Lagrangian Massles non interacting Leptons Massles non interacting Quarks Let us require local gauge invariance of the type SU(2)xU(1)xSU(3)

The free gauge fields The gauge potentials: Hypercharge phase Weak Isospin rotation Color rotation 42 42

We introduce a doublet of scalar field: Now the masses ! We introduce a doublet of scalar field: With a Lagrangian: A two parameters potential: This potential gives mass to W,Z in a gauge invariant way (more on this later) This potential can give mass to the constituent fermions by adding to the Lagrangian terms like The Full Lagrangian of the Standard Model (prior to 1996,massless neutrinos) : 43 43

Cenni sul Meccanismo di Higgs

Sui termini di massa della lagrangiana. Immaginiamo di partire da: Per capire dove ci sia un termine di massa facciamo il confronto con la KG: E facciamo lo sviluppo in serie: Quindi questa lagrangiana descrive un campo massivo con

Sullo stato fondamentale della lagrangiana In generale, per trovare lo stato fondamentale occorre scrivere la L nella forma L = T-U e poi trovare il minimo di U rispetto ai campi. Ad esempio nella Klein-Gordon: E il minimo di U rispetto ai campi si ha per Partiamo ora da: Troviamo il minimo di Sono I punti:

Quindi possiamo riformulare la teoria in termini di deviazione dallo stato fondamentale: In termini di questa nuova variabile la lagrangiana diviene Questo ci ha portato a evidenziare un termine di massa: Quindi per evidenziare correttamente il termine di massa in una lagrangiana, occorre prima espandere intorno allo stato fondamentale.

Rottura spontanea della simmetria La lagrangiana di partenza: Ha una simmetria in Invece la versione in cui abbiamo espanso intorno allo stato fondamentale Ha perso questa simmetria. Questo perche’ il vuoto (stato fondamentale) non ha la simmetria della lagrangiana. La simmetria e’ spontaneamente rotta. In questo caso abbiamo una simmetria discreta, composta da due valori. Otteniamo una simmetria continua usando due campi

invariante per rotazioni nello spazio La parte di “energia potenziale” ha una serie di minimi disposti lungo la circonferenza: Quindi ci proponiamo di espandere in serie a partire da un punto di minimo. Siccome sono punti equivalenti si puo’ scegliere, ad esempio:

Quindi la L viene riscritta in funzione di campi che sono fluttuazioni attorno allo stato fondamentale: accoppiamenti KG libero con KG libero con Uno dei campi e’ senza massa, caratteristico di quanto avviene quando si rompe una simmetria globale continua

Il meccanismo di Higgs La rottura spontanea della simmetria applicata al caso di invarianza di gauge locale. Innanzitutto una forma equivalente, con un campo complesso al posto di due reali: Riscrivendo cosi’ la lagrangiana: ove la simmetria di rotazione ha una forma di tipo U(1) Ora rendiamo locale questa invarianza Rendendo necessaria l’introduzione di un campo compensante:

Ora sviluppiamo I campi attorno al minimo: Particella scalare con massa Massless Goldstone Boson Termine del campo (compensante) di gauge, che ora ha acquisito una massa

Origine del termine di massa: spostamento del campo phi nella lagrangiana originale: Quando il campo phi “si sposta”, nasce per forza un termine Che e’ un “termine di tipo Proca” responsabile dell’acquisizione di massa del campo di gauge. Questo e’ il meccanismo di Higgs.

The Standard Model is a great success A Model that accounts for all constituents and 2 out of 3 fundamental forces of nature in a quantum-relativistic way It explains an enormous amount of data However: The Model has very many free parameters (constants of Nature) It has few internal consistency problems (source of CP and radiative correction of masses, understood up to the TeV scale, strong interaction problems out of the perturbative regime) Gravity not included Dark Matter and Dark Energy not included 54 54

Neutrino Physics: extension of the Standard Model (M. Mezzetto) Neutrino Physics - Trento, May 2012 Advanced Techniques in Experimental Physics

Thank you for your attention 56 56

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