Corso di biomatematica lezione 5: propagazione degli errori Davide Grandi

Sommario Dalla somma in quadratura: Somme e differenze Prodotti e quozienti Funzioni arbitrarie di una variabile La potenza Formula generale Livelli di confidenza Rigetto dei dati Metodo dei minimi quadrati

Propagazione degli errori Nota Usiamo nei lucidi seguenti Per indicare l’errore o l’accuratezza relativo alla stima di y dove intendiamo non la deviazione standard, legata alla bontà di una misura, ma l’errore standard, ovvero l’errore della media, legato alla deviazione standard dalla relazione Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Relazione lineare Partiamo dalla relazione lineare con L’errore o l’accuratezza relativo alla stima di y dovuto alla misura di x Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Somme (e differenze) Se invece abbiamo con Abbiamo già visto che l’errore o l’accuratezza relativo alla stima di y dovuto alla misura di x e di z sarà Che solo in alcuni casi può approssimarsi a (stima per eccesso) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Prodotti e quozienti Se invece abbiamo L’errore o l’accuratezza relativo alla stima di y dovuto alla misura di a,b,c,d sarà (errore relativo) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Giustif. errore relativo Dato il caso semplice Abbiamo che l’errore relativo per a (o per b) sarà Per cui esprimerò a (o b) come Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Giustif. errore relativo Da questo avremo che Il valore più probabile più grande sarà con numeratore grande (segno +) e denominatore piccolo (meno) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Giustif. errore relativo Ovvero E siccome vale avremo Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Giustif. errore relativo La somma in quadratura introdotta la lezione precedente giustifica il passaggio da a Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Funzioni arbitrarie Data una funzione di diverse variabili Avremo che l’errore (o l’accuratezza) dato dalla misura delle variabili x,…z sarà: E non è mai più grande della somma ordinaria dei termini Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Potenza Nel caso in cui avremo Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Livello di confidenza Se abbiamo trovato con una misura un valore medio (migliore stima) Rappresentato con la deviazione standard della media, possiamo dire che la probabilità che il calcolo del valore medio cada nell’intervallo È il 68% (circa) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Livello di confidenza Partiamo dunque dall’ipotesi di avere una distribuzione centrata sul valore vero yv, la cui larghezza viene stimata dal parametro s. In questo modo avremo che la discrepanza tra il valor medio ed il valor vero (espressa in unità di s) sarà In questo modo posso calcolare la probabilità che una misura (una media) cada al di fuori di ts Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Livello di confidenza Come P(fuori da ts) = 1 – P(entro ts) Nel caso la probabilità della mia misura sia grande essa risulterà accettabile, altrimenti inaccettabile (o significativa) Ad esempio P(fuori da 2s) = 4.6% P(fuori da 1.96s) = 5% P(fuori da 2.32s) = 2% Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Rigetto dei dati Dati ad esempio 6 valori di cui uno “sospetto”, in quanto calcolato il valor medio e la deviazione standard noto che dista dal valor medio 2s . A questo punto abbiamo visto che P(fuori da 2s) = 4.6%  5% (0.05) Questo implica che 1 misura ogni 20 circa dovrebbe essere 2s oltre il valor medio, quindi: Sse ho fatto 20 misure non ha senso rigettarla (rientra nella coda statistica), invece nel nostro caso la probabilità sarà: 6 x 0.05= 0.3 Ovvero solo 1/3 di misura dovrebbe essere oltre 2s Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Rigetto dei dati Questo implica che se riteniamo 1/3 di misura altamente improbabile, possiamo rigettare il dato “erroneo”. Il criterio di Chauvenet pone il limite di improbabilità a ½ ovvero date N misure ed una di queste oltre ad esempio 2s calcoliamo NP(fuori da 2s) e se è minore di ½ “posso” rigettare il rispettivo dato.. Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Metodo dei minimi quadrati Supponiamo di avere ottenuto una serie N di misure di una variabile yi, ognuna in corrispondenza di un determinato valore xi, ovvero di possedere una serie di coppie (x1,y1), (x2,y2), ……. (xN,yN), E di voler stabilire se esiste una relazione ad esempio lineare tra le due classi di parametri, ovvero se posso scrivere y=a+bx Può ad esempio essere il caso di determinare le costanti a e b con sufficiente precisione in quanto rappresentano l’obiettivo finale della mia misura Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Metodo dei minimi quadrati Agendo come nel caso del calcolo del valor medio, se i miei dati si possono disporre su una retta dovrò minimizzare la distanza di ciascuna coppia di valori dalla retta di equazione y=a+bx, ottenendo: Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Metodo dei minimi quadrati Dove abbiamo semplificato Si può affermare che la misura di tutti gli yi sia normalmente distribuita attorno al suo valore y=a+bx con larghezza Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Propagazione degli errori Metodo dei minimi quadrati Possiamo anche calcolare gli scarti per i coefficienti a e b, che saranno: Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Regressione lineare Metodo dei minimi quadrati Il metodo dei minimi quadrati che permette di stimare a e b dall’equazione y=a+bx (x e y valori medi) in pratica cerca di minimizzare l’errore residuo ei nella relazione yi = a+bxi + ei Davide Grandi - Dottorato in Biologia