Centro di Massa di corpi rigidi Il corpo rigido è un particolare sistema di punti materiali in cui le distanze, tra due qualunque dei suoi punti, non variano nel tempo. Un corpo rigido non subisce alcuna deformazione anche se sottoposto a sollecitazioni estremamente elevate (conserva la sua forma). I corpi solidi possono, in prima approssimazione, essere considerati rigidi. Il corpo rigido è quindi un’astrazione: in natura non ci saranno mai corpi perfettamente rigidi.

Determinazione del CM dV Se il corpo è omogeneo: r è costante per ogni elementino

Determinazione del CM Densità lineare Densità superficiale Densità volumetrica

Centro di Massa di corpi rigidi Se un corpo ha simmetria sferica il centro di massa coincide con il centro geometrico della sfera. Se un corpo ha simmetria cilindrica, ossia la sua massa dipende solo dalla distanza da un certo asse, il suo centro di massa deve giacere sull’asse di simmetria. Se la massa di corpo è distribuita in modo simmetrico rispetto ad un piano, il centro di massa deve cadere sul piano.

Esempio In figura si vede una piastra quadrata di lamiera uniforme con lato di 6m, dalla quale è stato ritagliato un pezzo quadrato di 2 m di lato con centro nel punto x = 2m,y = 0m L’origine delle coordinate coincide con il centro della piastra quadrata. Trovare le coordinate x e y del CM. CM Intera piastra (0,0 m) CM1 da calcolare (x1,0) di m1=(36-4)M/36=8/9M CM2 (2,0) m2=1/9M

Moti del corpo rigido 2) Rotazione 3) Rototraslazione 1) Traslazione le orientazioni degli assi della terna solidale rimangano costanti (gli assi si muovono mantenendosi paralleli a se stessi) Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello stesso intervallo di tempo che è lo stesso di quello subito dal CM Tutti i punti sono fermi rispetto al centro di massa È sufficiente determinare il moto del CM 2) Rotazione 3) Rototraslazione

2) Moto rotatorio Moto di un corpo rigido si dice puramente rotatorio: se e solo se tutti gli elementi del corpo si muovono lungo una traiettoria circolare. I centri di tutte le circonferenze devono cadere su una stessa retta detta asse di rotazione. Il piano della traiettoria è perpendicolare all’asse di rotazione. O P Linea di riferimento Moto di un corpo rigido si dice puramente rotatorio attorno ad un asse se e solo se tutte le linee di riferimento ortogonali all’asse descrivono angoli uguali in intervalli di tempo uguali.

Variabili rotazionali La posizione del corpo è specificata dalla posizione di un suo elemento P. P 2D P A Moto 2D di un elemento lungo una circonferenza di raggio r (PA). Verso positivo è scelto quello antiorario rispetto al’asse z. q individua la posizione angolare della linea di riferimento 2p rad= 360° 1 rad = 57.3°

Variabili rotazionali [rad/s] In un moto puramente rotatorio di un corpo rigido: tutti i suoi elementi hanno la stessa w. Se P ha una w non costante: [rad/s2] In un moto puramente rotatorio di un corpo rigido: tutti i suoi elementi hanno la stessa a.

Relazione tra variabili lineari e angolari

Variabili rotazionali vettoriali Entrambi vettori w è un vettore di modulo dq/dt, direzione perpendicolare al piano della circonferenza, il verso della rotazione determina il verso in cui punta il vettore (regola della mano destra).

Relazioni Vettoriali Acc. tangenziale Acc. centripeta

Dinamica dei moti rotatori Dinamica del punto materiale Asse di rotazione a dipende dalla forza e dal punto in cui viene applicata (momento di F) a dipende dalla distribuzione della massa rispetto all’asse di rotazione (momento di inerzia)

Rotazioni attorno ad un asse fisso Tutti i punti hanno la stessa w ma v diversa. Momento di inerzia rispetto asse z

Momento di inerzia La massa è una caratteristica univoca di un corpo. Il momento di inerzia dipende da come è distribuita la massa del corpo rispetto all’asse di rotazione. Non è una caratteristica del corpo Massa vicino all’asse di rotazione… minore inerzia … minore resistenza alla rotazione massa in media in regioni più lontane dall’asse di rotazione maggiore inerzia … maggiore resistenza alla rotazione

Momento di inerzia dei corpi rigidi Corpo rigido: distribuzione continua di massa, suddivisa in infiniti elementi di massa infinitesima

Tabella Momenti di inerzia

Rotazioni ottorno ad un asse fisso

Simmetria Assiale Due particella di stessa massa che ruotano attorno all’asse. Un corpo rigido è simmetrico attorno ad un asse se e solo se per ciascun elemento ne esiste un secondo di ugual massa posto alla stessa distanza dall’asse sulla retta ad esso ortogonale passante per il punto occupato dal primo elemento.

Assi principali di inerzia Corpo rigido in rotazione attorno ad un suo asse di simmetria: Ogni corpo per un suo punto passano almeno tre assi (assi principali di inerzia) ortogonali tra loro tale che quando il corpo ruota rispetto ad uno di essi:

Equazione del moto di rotazione Se Noto Iz ed t si ottiene la legge oraria.

Equazione del moto Moto circolare uniformemente accelerato Fermo o di Moto circolare uniforme

Conservazione momento angolare: applicazioni Il momento delle forze esterne rispetto al CM è nullo I + grande I + piccolo I + grande I + piccolo I + grande

Il Teorema di Huygens Steiner Il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualunque è uguale alla somma del momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa e di un termine pari al prodotto della massa totale del corpo per la distanza al quadrato tra i due assi. y’ y yi y’i CM x’i x’ d O xi x

Il Teorema di Huygens Steiner x’i, , y’i coordinate di mi nel sistema CM y mii yi y’i xi, , yi coordinate di mi nel sistema con O r’i ri CM x’i x’ d b a xi O x ICM d2

Momento forza di gravità Una sbarra lasciata libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale ruota sotto l’azione della forza di gravità Su ciascun elementino infinitesimo, di cui è composta la sbarra, agisce la forza di gravità che esercita un momento torcente. L’insieme di tutte le forze che agiscono sulla sbarra può essere sostituito da una sola forza……….

Centro di Massa e baricentro y ..applicata in un punto detto baricentro mii CM O x Il momento torcente totale rispetto ad O dovuto alla forza gravitazionale è pari al momento rispetto ad O della forza Mg applicata al CM. Attenzione: baricentro e CM coincidono solo nel caso del campo gravitazionale uniforme, e sono due concetti distinti.

Statica dei corpi rigidi con asse fisso Condizione necessaria ( ma non sufficiente) perché un corpo rigido sia fermo è che: l’accelerazione del suo centro di massa sia nulla l’accelerazione angolare sia nulla rispetto a qualsiasi asse passante per il centro di massa. Le due condizioni non sono sufficienti perché, anche se soddisfatte, il corpo potrebbe: muoversi con velocità del centro di massa costante (moto rettilineo uniforme) ruotare con velocità angolare costante attorno ad un asse centrale di inerzia Occorre quindi che il corpo occupi la posizione iniziale con velocità del centro di massa nulla velocità angolare nulla rispetto a qualunque asse passante per il centro di massa

Energia cinetica nel moto rotatorio Corpo rigido che ruota attorno asse fisso Se

Lavoro nel moto rotatorio Lavoro compiuto da una forza F su un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso: f r dq

3) Moto di rototraslazione: di puro rotolamento B B wr B 2vcm 2vcm vcm vcm vcm C vcm C C C wr vcm A A A Sovrapposizione di un moto di traslazione e di un moto di rotazione attorno ad un asse perpendicolare alla figura e passante per il centro di massa I punti della ruota a contatto con l’asfalto sono fermi rispetto all’asfalto (non scorrono, non strisciano sull’asfalto): rotolamento senza strisciamento (oppure puro rotolamento).

Moto di puro rotolamento Dx> 0 2vcm 2vcm vcm C vcm C Dq<0 Consideriamo due istanti successivi t1 e t2. Lo spostamento subito dal centro della ruota Dx è pari alla distanza tra i punti di contatto della ruota agli istanti t1 e t2. Nello stesso tempo la ruota avrà subito anche uno rotazione e quindi uno spostamento angolare Dq. Se il moto è di puro rotolamento deve esistere una relazione tra questi due spostamenti.. N.B.:Il segno meno dipende solo dal sistema di riferimento usato.

Moto rototraslatorio P CM Combiniamo il moto rotatorio attorno asse passante per CM e traslatorio nel piano xy P CM

Ruolo della forza di attrito Nel moto di puro rotolamento il punto di contatto della ruota con l’asfalto è fermo rispetto all’asfalto. Il compito di mantenere fermo rispetto al piano di appoggio il punto (o i punti) di contatto è affidato alla forza di attrito, statica proprio perché il punto di contatto non scivola sulla superficie di appoggio. Senza attrito questo tipo di moto non è realizzabile!! La forza di attrito statico, è limitata superiormente, per cui non sempre è garantito il moto di puro rotolamento: frenate brusche fatte con l’automobile in cui si bloccano le ruote che scivolano sull’asfalto Occorre verificare caso per caso se la forza di attrito statico sia sufficiente per garantire il moto di puro rotolamento

Interpretazione del moto di puro rotolamento Pura rotazione attorno ad un asse perpendicolare alla figura passante per i punti di contatto. L’asse di rotazione cambia continuamente (si parla di asse istantaneo di rotazione. Comunque istante per istante il moto di ogni punto della ruota è uguale a quello che avrebbe se la ruota ruotasse attorno ad un asse fisso passante per i punti di contatto.

Corpi simmetrici e asimmetrici La sbarra con corpi di massa m è rigidamente connessa con l’albero centrale. Il corpo non è simmetrico rispetto all’asse di rotazione e l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia: L’albero ruota a velocità angolare constante. Precede attorno all’asse

Corpi simmetrici e asimmetrici Il momento torcente delle forze esterne è dovuto alle forze che i sostegni esercitano sull’albero: Per mantenere i due punti materiali sulla traiettoria circolare occorre applicare a ciascun punto materiale una forza centripeta. il cui momento è ortogonale a piano individuato da tz = 0  az  w costante

Poiché non hanno nessun altra funzione che quella di far precedere il momento angolare attorno all’asse di rotazione non hanno alcuna influenza sulla velocità angolare Ma al tempo sottopongono a sforzi inutili tutta la struttura (l’asse di rotazione, i cuscinetti, etc) Si preferisce lavorare in modo che il momento angolare sia parallelo all’asse di rotazione (in cui tali forze non sono richieste) Questo si ottiene “equilibrando” il corpo rigido rispetto all’asse di rotazione (equilibrature delle gomme dell’automobile)

La Trottola Consideriamo il moto della trottola in rotazione attorno al suo asse di simmetria. L’asse di rotazione precede ossia si muove attorno all’asse verticale. Il momento torcente della forza P: perpendicolare sia all’asse di rotazione che ad L modifica la direzione di L, ma non il modulo: O r

Equazione del moto Da cui si ricavano le leggio orarie esattamente come prima

Trottola: moto di precessione La velocità angolare di precessione è inversamente proporzionale ad L e quindi alla velocità angolare di rotazione attorno all’asse di simmetria