Moto dell’auto azzurra: HALLIDAY - capitolo 2 quesito 7 All’istante t=0 un’auto azzurra, inizialmente ferma comincia ad accelerare con modulo costante di 2,0 m/s2 nella direzione dell’asse x partendo dal punto x=0. All’istante t=2s un’auto rossa che viaggia in una corsia parallela nella stessa direzione passa dal punto x=0 con velocità di 8,0 m/s e accelerazione di 3,0 m/s2. In quale istante di tempo l’auto rossa sorpassa quella azzurra? A quale distanza dall’origine avviene il sorpasso? x Moto dell’auto azzurra: (a1=2,0 m/s2) Moto dell’auto rossa: (t0=2s, v0=8,0m/s, a2=3m/s2)

Il sorpasso si verifica nell’istante di tempo t in cui l’auto rossa raggiunge l’auto azzurra, cioè in nell’istante t in cui x1(t)=x2(t): le cui soluzioni sono t1= -6,9s (da scartare) e t2= 2,9s La posizione in cui avviene il sorpasso si ottiene calcolando la x1 (o la x2) nell’istante t ottenuto dalla equazione precedente:

Diagrammi orari dell’auto azzurra e dell’auto rossa

HALLIDAY - capitolo 2 problema 70 Un aereo, in un’esercitazione per eludere i radar, è in volo orizzontale ad altezza h=35m dal suolo su un terreno piano alla velocità di 1300 km/h. Improvvisamente, al tempo t=0 arriva in un luogo dove il terreno inizia a salire con angolo di pendenza θ=4,3°, come indicato in figura. In che istante si schianterebbe il pilota se non correggesse l’assetto dell’aereo? x h θ y

Moto dell’aereo: (v=1300km/h=361,1m/s) Lo schianto avviene nell’istante di tempo in cui y=h,dove y=xtgθ è l’altezza del terreno rispetto al livello iniziale

HALLIDAY - capitolo 2 problema 9 Avete viaggiato sulla statale 10 da Torino a Mantova per metà del tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il resto a 90 km/h. Qual è la vostra velocità scalare media all’andata, al ritorno e per l’intero percorso? x TO MN x=D andata x MN TO x=D ritorno

PERCORSO DI ANDATA Indichiamo con TA il tempo complessivo impiegato per percorrere il tratto TO-MN all’andata. Sappiamo che per un tempo TA/2 l’auto si muoverà con velocità v1=55 km/h e per un tempo TA/2 con velocità v2 = 90 km/h Equazioni del moto di andata: per t<TA/2: x = v1t in t=TA/2: x = v1TA/2 per TA/2<t<TA: x = v1TA/2 + v2(t - TA/2) in t=TA: x = v1TA/2 + v2TA/2 ≡ D velocità media: vA=D/TA = (v1+v2)/2 = 72,5 km/h

PERCORSO DI RITORNO Indichiamo con TR il tempo complessivo impiegato per percorrere il tratto MN-TO al ritorno. Sappiamo che per un tratto di lunghezza D/2 corrispondente ad un tempo T1 l’auto si muoverà con velocità v1=55 km/h e per un secondo tratto di lunghezza D/2 corrispondente ad un tempo T2 con velocità v2 = 90 km/h Equazioni del moto di ritorno: per t<T1: x = v1t in t=T1: x = v1T1=D/2 da cui T1=D/(2v1) per T1< t < TR(=T1+T2): x = D/2 + v2(t - T1) in t=TR=T1+T2: x = D/2 + v2T2 ≡ D da cui T2 = D/(2v2) velocità media: vR=D/TR = D/(T1+T2) = 2v1v2/(v1+v2)=68,3km/h

ANDATA + RITORNO La velocità scalare media nell’intero percorso è: v=2D/(TA+TR) Dalle equazioni del moto di andata: TA=D/vA=2D/(v1+v2) Dalle equazioni del moto di ritorno: TR=D/vR=D(v1+v2)/(2v1v2) e dunque:

HALLIDAY - capitolo 2 problema 29 All’uscita da una curva il macchinista di un treno che viaggia alla velocità di 161 km/h si accorge che una locomotiva è entrata erroneamente nel binario da una diramazione posta a distanza D=0,676 km più avanti. La locomotiva va alla velocità di 29,0 km/h. Il macchinista aziona immediatamente la frenatura rapida. Quale deve essere il valore assoluto minimo dell’accelerazione costante impressa dal freno per evitare una collisione? Poniamo che il macchinista si trovi nella posizione x=0 quando al tempo t=0 avvista la locomotiva. Tracciate le curve x(t) indicative per la locomotiva e il treno per l’ipotesi che si eviti di misura la collisione.

Moto della locomotiva: (D=676m vL=29,0km/h=8,06m/s) (v0T=161km/h=44,7m/s) Moto del treno: a = incognita Per evitare la collisione il treno non deve mai raggiungere la locomotiva, cioè deve essere xT(t) ≤ xL(t) per ogni istante di tempo La condizione limite è quella per cui il treno (la cui velocità sta diminuendo) raggiunge la locomotiva e, nell’istante in cui ciò accade, treno e locomotiva abbiano la stessa velocità.

Calcoliamo l’istante t1 in cui il treno ha la stessa velocità della locomotiva: Imponiamo quindi la condizione xT(t1)=xL(t1):

Locomotiva Treno Nella situazione limite le due curve xT(t) e xL(t) sono fra loro tangenti nell’istante di tempo in cui treno e locomotiva si sfiorano

HALLIDAY - capitolo 2 problema 41 Dall’ugello di una doccia sgocciola l’acqua cadendo sul fondo posto 200 cm più in basso. Le gocce cadono a intervalli di tempo regolari. La quarta goccia si stacca nell’istante in cui la prima arriva al suolo. Trovare le posizioni della seconda e della terza in questo stesso istante. x h doccia suolo (h=2,00m)

Indichiamo con T l’intervallo di tempo (incognito) che trascorre tra la caduta di una goccia e la caduta della goccia successiva. Assumiamo inoltre che la prima goccia cada all’istante t=0. Prima goccia: Seconda goccia: Terza goccia: La prima goccia tocca il suolo nell’istante in cui cade la quarta goccia, cioè nell’istante t=3T. Il problema chiede di determinare le posizioni x2 e x3 al tempo t=3T.

Determiniamo T imponendo che x1(3T)=0: Le posizioni delle gocce 2 e 3 all’istante t=3T sono:

altezza dell’edificio HALLIDAY - capitolo 2 problema 51 Dalla cima di un edificio si lancia verticalmente verso l’alto una pietra. Essa raggiunge la massima altezza 1,60s dopo il lancio e ricade in strada, dove giunge 6,00s dopo il lancio. Determinare la velocità di partenza della pietra, l’altezza massima raggiunta sopra l’edificio e l’altezza dell’edificio. x h altezza dell’edificio suolo altezza massima t t=0 t= t1=1,60s t= t2=6,00s

Equazioni del moto: Incognite: h, v0 Nel punto di altezza massima v=0: h si trova imponendo che il corpo tocchi il suolo nell’istante t2: L’altezza massima si trova calcolando x(t1):

HALLIDAY - capitolo 2 problema 63 Per arrestare un’automobile, passa prima di tutto un certo tempo di reazione per dare inizio alla frenata, poi il tempo di rallentamento ad accelerazione costante fino all’arresto. Supponiamo che la distanza percorsa durante le due fasi sia di 56,7m per una velocità iniziale di 80,5 km/h e 24,4m per una velocità iniziale di 48,3 km/h. Quali sono il tempo di reazione del pilota ed il modulo della accelerazione? x xR Moto rettilineo uniforme tra t=0 e t=tR Moto uniformemente ritardato tra t=tR e l’istante di arresto

Legge oraria dell’automobile: Calcoliamo l’istante t1in cui la vettura si arresta (v(t1)=0) La distanza totale percorsa dall’auto è x(t1):

Sappiamo che se l’auto ha una velocità iniziale v01=80,5 km/h =22,4 m/s essa percorre una distanza x1=56,7m, mentre se ha una velocità iniziale v02=48,3 km/h=13,4 m/s, essa percorre una distanza x2=24,4m. In simboli: Mettendo a confronto i secondi membri delle due equazioni: Infine, sostituendo il valore di a in una delle due espressioni per tR: