Velocità media Abbiamo definito la velocità vettoriale media

Descrizione del moto attraverso la velocità media Supponiamo di far muovere tra t1 e t2 il punto materiale con la velocità media appena calcolata Valutiamo la sua posizione all’istante t=2s. Posizione vera al tempo t=2s Posizione al tempo t=2s predetta con la velocità media Conclusione: La descrizione del moto mediante la velocità media è insoddisfacente Le predizioni sono corrette solo agli estremi t1 e t2.

Determinazione della velocità media in intervalli di tempo sempre più piccoli Riduciamo gli intervalli di tempo in cui calcolare la velocità media si ottiene una descrizione del moto decisamente migliore Riducendo sempre più gli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media si otterrà una descrizione sempre migliore! Sarebbe opportuno ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media, così la descrizione del moto sarà perfetta! Ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli di tempo equivale a calcolare la velocità del corpo ad ogni istante: la velocità istantanea

La velocità istantanea Procediamo nel seguente modo: Consideriamo l’istante t1 in cui vogliamo calcolare la velocità t1+Dt x(t1+Dt) Dt Dx 2 Consideriamo un intervallo di tempo Dt maggiore di zero. Calcoliamo la velocità media in Dt x(t1) t1 1 La velocità media corrisponderà al coefficiente angolare della retta passante per i punti 1 e 2 del grafico Riduciamo ora l’intervallo di tempo Dt facendolo tendere a zero. Si definisce velocità istantanea all’istante t1 il seguente limite: Osserviamo che quando Dt tende a zero, il coefficiente angolare della retta che rappresenta la velocità media in Dt, tende a diventare quello della retta tangente al grafico all’istante t1.

La velocità istantanea 2 Riassumendo: Abbiamo definito la velocità istantanea come all’istante di tempo t1: Nel grafico essa è rappresentata dal coefficiente angolare della retta tangente al grafico all’istante t1. x(t1) t1 1 Il limite di: rapporto incrementale corrisponde anche al valore della derivata rispetto al tempo della funzione x(t) all’istante t1.

Velocità istantanea ad ogni istante di tempo Ripetendo l’operazione di limite per altri istanti di tempo, per esempio t2 o t3, possiamo conoscere la velocità istantanea (e quindi la derivata rispetto al tempo della funzione x(t)) a questi istanti di tempo. Positiva --> x crescenti x(t2) t2 x(t1) t1 x(t3) t3 Se ripetiamo l’operazione per tutti gli istanti di tempo dell’intervallo di osservazione del moto possiamo ricavare la velocità istantanea in funzione del tempo vx(t) Negativa --> x decrescenti Questa funzione altro non è che la derivata rispetto al tempo della funzione x(t)

Velocità scalare istantanea e velocità vettoriale istantanea xmassimo Anche per la velocità scalare di può definire la velocità istantanea: xfinale Ma quando Dt tende a zero, avremo xiniziale Si ottiene quindi la seguente relazione La velocità scalare istantanea è uguale al valore assoluto, al modulo, della velocità vettoriale istantanea

Grafico della velocità istantanea Nel moto che stavamo studiando: La pendenza del grafico orario non è costante Questo implica che la velocità non è costante Possiamo costruirci il grafico della velocità: la velocità decresce linearmente con il tempo. La velocità è maggiore di zero fino a quando il corpo non raggiunge la sua posizione massima: si muove nella direzione positiva dell’asse x Poi diventa negativa: si inverte il moto, il corpo si muove nella direzione negativa dell’asse x. Quando x è massimo la velocità è nulla

Accelerazione media e istantanea Se la velocità di un corpo varia nel tempo, ci possiamo chiedere con che rapidità varia. Si definisce l’accelerazione media nell’intervallo di tempo tra t1 e t2 il seguente rapporto: Come abbiamo fatto per la velocità anche per l’accelerazione possiamo passare all’accelerazione istantanea: L’accelerazione istantanea all’istante t1 è data da: Tenendo conto della definizione di derivata:

Grafico dell’accelerazione istantanea Ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo, possiamo determinare la funzione accelerazione. Questo equivale a determinare la derivata della funzione velocità. Dato che noi conosciamo la velocità in funzione del tempo possiamo utilizzare questa relazione per determinare l’accelerazione in funzione del tempo. L’accelerazione è costante (negativa), come d’altra parte ci aspettavamo dal grafico della velocità.

Il segno dell’accelerazione Riguardando la definizione dell’accelerazione media (ma le stesse considerazioni valgono per l’accelerazione istantanea), si vede che: axm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dell’asse x: v finale è maggiore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) Se la velocità è positiva il valore della velocità aumenta Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno aumenta, il suo valore assoluto però diminuisce axm minore di zero, diretta nella direzione negativa dell’asse x: v finale è minore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) Se la velocità è positiva il valore della velocità diminuisce Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno diminuisce, e quindi il suo valore assoluto aumenta. Possiamo concludere: Se l’accelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocità, il modulo della velocità aumenta. se ha verso opposto il modulo della velocità diminuisce.

Conclusioni Conoscendo la legge oraria: x(t) la posizione in funzione del tempo Possiamo calcolarci la velocità: vx(t) la velocità in funzione del tempo E quindi l’accelerazione: ax(t) l’accelerazione in funzione del tempo Combinando le due espressioni: L’accelerazione è la derivata seconda della funzione x(t) rispetto al tempo

Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro situazioni diverse (in tutte comunque x è in m e t in s e t>0) (1) x=3t (2) x=-4t2-2 (3) x=2/t2 (4) x=-2 a) In quale situazione la velocità vettoriale è costante? b) in quale altra v è diretta nel verso negativo dell’asse x? Applicazione a) la velocità vettoriale è costante nella situazione (1) e (4) b) la velocità vettoriale è diretta nella direzione negativa dell’asse x nei casi (2) e (3). Infatti:

Avete viaggiato sulla Statale 100 da Bari a Taranto per metà tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il resto della distanza a 90 km/h. Qual è la velocità scalare media all’andata e al ritorno? Qual è la velocità vettoriale media complessiva? Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie Applicazione Indichiamo con Dt il tempo impiegato per andare da Bari a Taranto. Le distanze percorse nelle due parti sono: La distanza totale percorsa sarà la somma delle due distanze ed il tempo impiegato è Dt.

Al ritorno diciamo d la distanza totale tra Taranto e Bari Al ritorno diciamo d la distanza totale tra Taranto e Bari. I tempi necessari per percorrere le due metà sono: Applicazione cont. Il tempo totale impiegato Dt per tornare da Taranto a Bari sarà la somma dei due tempi. La velocità vettoriale media complessiva è nulla.

x t Dt 2Dt Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie Applicazione cont. x t Dt 2Dt

La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data dall’espressione x=3t-4t2+t3, ove x è in metri e t in secondi. a) qual è la posizione per t=1,2,3 e 4 s? b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4s? c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e t=4s? d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s? e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d). Applicazione a) per risponere alla domanda a) basta sostiuire alla variabile t nell’espressione della legge oraria gli istanti di tempo richiesti:

b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4s? Applicazione cont. c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e t=4s? d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s?

Applicazione cont. e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d).

Applicazione Il campione del kilogrammo ha la forma di un cilindro di altezza pari al diametro. Si dimostri che a parità di volume e di forma, queste dimensioni forniscono la minima area; ciò consente di minimizzare gli effetti della contaminazione superficiale.

La superficie sarà minima quando f(e) sarà minima. Applicazione cont. Abbiamo espresso la superficie del cilindro in funzione del suo volume e del rapporto e tra il raggio e l’altezza Poiché il volume del cilindro deve rimanere costante, deve contenere sempre la stessa massa, possiamo limitarci a studiare la dipendenza da e. La superficie sarà minima quando f(e) sarà minima. Abbiamo visto che nei punti di massimo o di minimo relativo derivata si annulla. Cerchiamo e in cui

Calcoliamoci la derivata: Applicazione cont. Calcoliamoci la derivata: Imponendo che la derivata sia nulla: Da cui

Applicazione cont.