Corso di biomatematica lezione 10: test di Student e test F Silvia Capelli

Sommario Distribuzione di Student Media osservata e attesa Medie di due campioni Test F Facciamo il punto sui test di significatività

t di Student La distribuzione t di Student Abbiamo già incontrato la distribuzione t di Student come distribuzione campionaria diversa dalla distribuzione normale Z ed espressa dalla formula Quando la media della popolazione  non è nota, di solito anche la sua varianza  è ignota. Si utilizza quindi la varianza del campione S, che ne rapprensenta la stima più attendibile. La distribuzione di probabilità non è più quindi data da Z, ma dalla t di Student. Essa può essere applicata a piccoli campioni anche con meno di una decina di osserv. Per n40 Student Z. Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student La distribuzione t di Student La forma della distribuzione t di Student è a campana con una dispersione maggiore rispetto alla gaussiana standardizzata, ed esiste un’intera famiglia di distribuzioni t in funzione dei gradi di libertà (la distribuzione normale rappresenta una t quando i g.d.l. aumentano…). I valori critici per l’area in una coda alla probabilità a coincidono con quelli a probabilità 2a nella distribuzione a due code e viceversa. Con il t di student calcolerò un intervallo fiduciale ovvero l’intervallo entro il quale è collocato il valore reale della popolazione alla probabilità , partendo dalla misura campionaria! Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student La distribuzione t di Student Condizioni di validità: Distribuzione di dati normale Osservazioni indipendenti La t di Student è robusta, ovvero vale anche per una serie di dati che devia dalla normalità.. Applicazioni per il confronto tra: Media campione e media universo Singolo dato e media di un campione Media delle differenze di due campioni dipendenti e differenza media attesa Medie di due campioni indipendenti Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Media osservata e media attesa La t di Student con n-1 g.d.l. è data da Con: - m valore atteso - errore standard - n numero di dati - S la deviazione standard calcolata sui dati del campione. Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Media osservata e media attesa Per verificare l’ipotesi relativa alla media nel caso di un test bilaterale avremo: Ipotesi nulla H0 :m = m0 Ipotesi alternativa H1 :m  m0 Mentre nel caso di un test unilaterale l’ipotesi relativa alla media sarà: Ipotesi nulla H0 :m  () m0 Ipotesi alternativa H1 :m < (>) m0 Per verificare se la media è significativamente inferiore (o maggiore) di quella attesa Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Media osservata e media attesa Quindi dalla formula per la differenza tra media attesa e campionaria avremo E da questo posso stimare l’intervallo fiduciale (o intervallo di confidenza) entro il quale è compresa la media reale della popolazione da cui ho estratto il campione alla probabilità a. Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Media osservata e media attesa - esempio Abbiamo un vivaio con pianticelle di tipo A, che dopo due mesi raggiungono un’altezza media di 25 cm (m0), nel terreno vengono versate sostanze tossiche e per verificare l’incidenza negativa sulla crescita delle piante ne vengono seminate 7 che dopo 2 mesi raggiungono le altezze di 22,25, 21,23,24,25,21 cm Voglio sapere: Le sostanze tossiche inibiscono la crescita? Qual è la media reale dell’altezza delle piante nel nuovo terreno? Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Media osservava e media attesa - esempio Le sostanze tossiche inibiscono la crescita? Questo è un test ad una coda con Ipotesi alternativa H1 :m < m0 Ipotesi nulla H0 :m  m0 Il test ovviamente assume significato solo se la media campionaria assume valore minore della media attesa m0, e serve per verificare se la differenza sia casuale o significativa. Scegliamo una probabilità a =0,05 Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Media osservata e media attesa - esempio Avremo dunque la formula Con i nostri 7 dati abbiamo X =23,0 S =1,732 t0,025;6 =2,447 n=7 m0=25 Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Media osservata e media attesa - esempio Ed il calcolo di t con 6 g.d.l. mi dà Cioè t(6) = - 3,053 Dove il segno meno indica solamente che la differenza è negativa rispetto al valore atteso. Per la significatività prendo il modulo. Per il test ad una coda abbiamo con a =0,05 t0,05;6 =1,943 Accetto dunque H1 (cioè le sostanze tossiche inibiscono la crescita) e rifiuto H0 con il 5% di prob. di sbagliare Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Media osservata e media attesa - esempio Qual è la media reale dell’altezza delle piante nel nuovo terreno? L’altezza media reale può essere stimata tramite l’intervallo di confidenza, ovvero Prendendo i dati del nostro campione con la probabilità associata ad a =0,05 per un test a due code t0,025;6 =2,447 Cioè   (21,398 ; 24,602) Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Confronto tra una misura e la media di un campione Voglio ora stabilire se una misura (per ragioni non note) si possa considerare errata. Questo può essere effettuato con un test unilaterale o bilaterale a seconda delle ipotesi mediante la formula: Con: - nA numero di oservazioni del campione, - x1 misura da verificare, - xA,media del campione - S2A varianza del campione A Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Confronto una misura e media di un campione Ad esempio voglio “rigettare” una misura (x1 =49,7) nel campione A=(40,3 - 38,8 – 33,5 – 38,6 – 31,9 – 37,6) Dove nA =6, xA= 36,873, S2A=12,206, ottenendo Ora dalle tabelle per il test bilaterale abbiamo i valori critici 2,571 per a =0,05 4,032 per a =0,01 Mentre il test unilaterale dà 3,365 per a =0,01 5,893 per a =0,001 Rifuto l’ipotesi nulla (quindi rigetto x1 ) con a tra 0,05 e 0,01 (0,01 e 0,001 uni) Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Confronto le medie di due campioni Posso derivare la distribuzione t di Student dal rapporto tra la differenza delle due medie campionarie ed il suo errore standard, ovvero Dove nell’ipotesi nulla H0 le due medie sono identiche, Ovvero H0 :m1 = m2 oppure H0 :m1 - m2 =0 Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Confronto le medie di due campioni DIPENDENTI Se ho due campioni dipendenti, posso accoppiare ogni osservazione di un campione con UNA ed UNA SOLA osservazione dell’altro (senza entrare nello specifico dell’appaiamento). L’analisi dunque è applicata ad una nuova serie di dati, risultanti dalle differenze tra gli elementi di ciascuna coppia. Per il test di Student bilaterale, abbiamo H0 : d =0 mentre H1 : d  0 Il test unilaterale invece è H0 : d < (>) 0 mentre H1 : d  () 0 Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Confronto le medie di due campioni DIPENDENTI La significatività della media delle differenze viene verificata con: Dove dm è la media delle differenze,  è la differenza media attesa (spesso ma non sempre 0), n è il numero di differenze e Sd è la deviazione standard delle differenze. L’intervallo di confidenza entro cui è compresa la differenza media reale d è Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Confronto le medie di due campioni INDIPENDENTI In questo caso aumenta la variabilità tra i due gruppi, ovvero potrò Utilizzare numero diverso di osservazioni tra i due gruppi Avere dati che esprimono la variabilità casuale Confrontare il mio campione con quello raccolto da altri Nel caso di due campioni indipendenti i calcoli per il test di significatività vengono effettuati sulle due serie di osservazioni e non sulla serie delle differenze come era nel caso di campioni dipendenti Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Confronto le medie di due campioni INDIPENDENTI Nel caso di un test bilaterale l’ipotesi nulla H0 è che i due campioni A e B siano estratti dalla stessa popolazione o da due popolazioni diverse ma con media m uguale ovvero: Ipotesi nulla Ho mA = mB oppure mA - mB =0 L’ipotesi alternativa H1 sarà mA  mB oppure mA - mB  0 Mentre nel test unilaterale avremo H0 mA  () mB oppure mA - mB  () 0 H1 mA < (>) mB oppure mA - mB <(>) 0 Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Confronto le medie di due campioni INDIPENDENTI Per due campioni indipendenti i gradi di libertà di t sono dati da (nA-1) + (nB-1) =(nA+ nB-2) =(N-2) Il valore di t è ottenuto così: Con xAe xB medie dei due campioni, mAe mb medie attese nAe nB numero di osservazioni e S2p è la varianza associata (pooled) dei due gruppi a confronto Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Confronto le medie di due campioni INDIPENDENTI S2p la varianza pooled è in pratica una varianza media ponderata (sul numero di dati presi per ciascun gruppo) calcolata a partire dalle due devianze e dai loro g.d.l. ed è data dalla formula: Questo test si può quindi applicare anche ai risultati di due ricercatori diversi (che saranno ora A e B), al patto di disporre dei dati, delle rispettive varianze, e delle medie Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Validità del t-di Student Le assunzioni per la validità del test di Student sono essenzialmente tre: Indipendenza dei dati entro i campioni Omogeneità della varianza tra i due campioni Dati (o scarti rispetto alla media) distribuiti normalmente Con due campioni indipendenti è molto importante che le varianze dei due campioni siano statisticamente uguali. Infatti la varianza pooled S2p che è una quantità fondamentale ha significato solo se è rappresentativa delle varianze di ogni gruppo. Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Validità del t-di Student Per applicare il test t , la cosiddetta omoschedasticità tra due gruppi A e B è verificata con un test bilaterale, dove l’ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa sono: H0 s2A = s2B e H1 s2A  s2B Esistono vari test per verificare quella che si chiama omoschedasticità bilaterale o unilaterale, in particolare accenneremo solo al test F bilaterale Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Validità del t-di Student: test F Il test F bilaterale è fondato sul rapporto tra la varianza campionaria (S2) maggiore e quella minore: Dove S21 è la varianza maggiore e S22 è quella minore (F[1;)). Una volta calcolato il rapporto (che non sarà mai 1 perchè la stima delle due varianze campionarie non è mai esatta) lo si confronta con una tabella di distribuzione F relativa ai due g.d.l. (di solito entro a =0,05) Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

t di Student Validità del t-di Student: test F Solo se si dimostra che l’ipotesi nulla (s2A = s2B) è vera, ovvero i due gruppi hanno varianze statisticamente uguali, posso usare il test t di Student per i due campioni indipendenti. NB: Sono costretto ad utilizzare un test di inferenza statistica per verificare se s2A = s2B perchè non conosco i valori reali delle varianze, ma solo i valori campionari. Se avessi conosciuto i valori reali sarebbe bastato il semplice confronto.

test F di Fisher e analisi della varianza Confronto tra medie Nel caso del confronto tra più medie non è corretto ricorrere al test t di Student per ripetere l’analisi tante volte quanti sono i possibili confronti a coppie tra i singoli gruppi in quanto la probabilità a di commettere un errore di I tipo (rifiutare Ho quando è vera) è valida SOLO per ogni singolo confronto. Se i confronti sono numerosi la probabilità complessiva di sbagliare rifiutando l’ipotesi nulla diventa a’=1-(1-a)k con k numero dei confronti effettuati ovvero aumenta col numero di confronti. Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

test F di Fisher e analisi della varianza Confronto tra medie In questo caso si utilizza quindi un metodo detto di analisi della varianza. Abbiamo già introdotto un metodo di analisi della varianza per il test di Student, ovvero il confronto tra le varianze di due campioni a cui è applicato il test. Per confrontare le due varianze abbiamo detto che si effettua un test di Fisher, dato dal rapporto tra s21, la varianza maggiore e s22 è quella minore. In seguito il risultato viene confrontato con le tabelle del test di Fisher tenendo conto dei gradi di libertà dei due campioni. Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

Facciamo il punto sui test... -Test del 2: Si utilizza per: Confrontare distribuzione osservata e distribuzione attesa Confrontare 2 o più distribuzioni osservate Condizioni di validità: * è valido quando il numero totale di osservazioni > 100 * è meno attendibile, ed ha bisogno di una correzione (Yates) per numero di osservazioni tra 30 e 100 * perde ogni attendibilità quando il numero totale di osservazioni è < 30 e/o il numero di osservazioni attese entro una o più classi < 5 Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

Facciamo il punto sui test... -Test t di Student: Si utilizza per: Cfr la media di un campione e la media attesa Cfr un dato di un campione e la media del campione Cfr la media delle differenze di due campioni dipendenti con una differenza media attesa Cfr le medie di due campioni indipendenti Condizioni di validità: * Si utilizza per piccoli campioni (decina o meno). Per n >40 diventa equivalente allo Z test * I dati entro e tra i campioni devono essere indipendenti * Le varianze delle popolazioni da cui sono estratti i campioni a confronto devono essere simili * I dati (o gli scarti rispetto alla media) devono essere distribuiti in modo normale (gaussiano) Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

Facciamo il punto sui test... -Test F di Fisher: Si utilizza per: Confrontare varianze campionarie Verificare la significatività di una regressione lineare calcolata Confrontare più medie tra loro (analisi della varianza) Condizioni di validità: * I fattori non noti (non dovuti al trattamento effettuato sui campioni) che determinano la differenza tra la media generale e la media di ogni campione a confronto devono essere indipendenti tra loro, distribuiti normalemente, * Le varianze dei vari gruppi devono essere omogenee Silvia Capelli - Dottorato in Biologia