Corso di biomatematica Lezione 2: Probabilità e distribuzioni di probabilità Davide Grandi

Sommario Definizione di probabilità la frequenza Assiomi Definizioni Distribuzioni di probabilità: Valor medio e varianza Discrete - esempi

La probabilità La probabilità P(E) di un evento E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli F (al realizzarsi di E) ed il numero di casi N possibili, giudicati egualmente possibili (stesso peso) P(E)=F/N con 0  P(E)  1 [N finito] Se F=0 non esistono casi favorevoli, e l’evento è IMPOSSIBILE ovvero P(E)=0 Se F=N ovvero tutti i casi sono favorevoli, l’evento è CERTO e P(E)=1. N.B. difficile determinare l’eguaglianza di tutti i casi possibili Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La probabilità definizione di frequenza Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni, il rapporto tra il numero v delle prove in cui l’evento si è verificato e il numero n delle prove effettuate: f=v/n con 0  f  1 f=0 evento mai verificato, f=1 evento sempre verificato La frequenza dipende dal numero di prove Se il numero di prove è sufficientemente alto il rapporto f=v/n tende a stabilizzarsi Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La probabilità legge empirica del caso In una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, eseguite tutte nelle stesse condizioni, la frequenza “tende” ad assumere valori prossimi alla probabilità dell’evento e l’approssimazione è tanto maggiore quanto più sono numerose le prove eseguite. Definizione frequestista di probabilità: La probabilità di un evento è la frequenza relativa ad un numero “elevato” di prove. Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Assiomi della probabilità definizione matematica di probabilità (Kolmogorov) Sia S un insieme di possibili risultati (Ai) di un esperimento, cioè S{A1, A2, A3,……An} se tali eventi sono mutualmente escludentesi allora per ognuno di essi esiste una probabilità P(A) rappresentata da un numero reale che soddisfa le seguenti proprietà: P(A) 0 Se come abbiamo ipotizzato A1, A2, A3,…… sono eventi mutualmente escludentesi, allora deve valere: P(A1 oppure A2) = P(A1) + P(A2) Dove P(A1 oppure A2) è la probabilità di avere il risultato A1 o il risultato A2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Assiomi della probabilità i P(Ai) = 1 dove la sommatoria è estesa su tutti gli eventi mutualmente escludentesi Le conseguenze dei tre assiomi sono: P(non Ai) = 1  P(Ai) ovvero la probabilità di non ottenere Ai é uno meno la probabilità di ottenerlo P(Ai)  1 La probabilità è un numero reale compreso tra 0 e 1, ovvero in pratica 0  P(Ai)  1 dove 1 rappresenta la certezza di ottenere l’evento e 0 di non ottenerlo Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Definizioni Evento Nel calcolo delle probabilità si definisce evento ogni fatto che in seguito ad una prova può accadere oppure no. Ad ogni evento è associato un numero reale che è tanto maggiore quanto più elevata è la possibilità che si verifichi: chiamiamo tale evento probabilità dell’evento. Eventi dipendenti ed indipendenti Sia dice che l’evento A è dipendente dall’evento B, se la probabilità dell’evento A dipende dal fatto che l’evento B si sia verificato o meno. A è indipendente da B se la probabilità dell’evento A non dipende dal verificarsi di B Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Definizioni Eventi certi e impossibili Definiamo evento certo quell’evento che in seguito ad un esperimento DEVE obbligatoriamente verificarsi. Esso costituisce l’unità di misura della probabilità: gli si attribuisce probabilità uguale all’unità. Tutti gli altri eventi, probabili ma non certi, avranno probabilità minore dell’unità. L’evento contrario all’evento certo è detto impossibile, ossia NON può accadere nella prova in questione. Ad esso è associata una probabilità uguale a zero. Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Definizioni Eventi mutualmente escludentesi Si dicono eventi mutualmente escludentesi o incompatibili quegli eventi aleatori che non possono verificarsi simultaneamente in una data prova (es moneta). Eventi equiprobabili Degli eventi casuali si dicono equiprobabili in una data prova se la simmetria dell’esperimento permette di supporre che NESSUNO di essi sia più probabile di un altro ( ad esempio lancio di UN dado) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Definizioni Eventi contrari Si dicono eventi contrari due o più eventi mutualmente escludentesi che formano un gruppo completo. Somma degli eventi Si dice somma di due eventi A e B l’evento C che consiste nel verificarsi dell’evento A o dell’evento B o di entrambe. La probabilità dell’evento C si scrive come: P(C)= P(AB)=P(A+B) =P(A oppure B) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Definizioni Prodotto degli eventi Si chiama prodotto di due eventi A e B l’evento C che consiste nel verificarsi simultaneo degli eventi A e B. La probabilità dell’evento C si indica così: P(C)=P(AB) = P(AxB) = P(A e B) Probabilità condizionata La probabilità che si verifichi l’evento A calcolata a condizione che si verifichi l’evento B si dice appunto probabilità condizionata e si denota con: P(A|B) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Definizioni Gruppo completo di eventi Si dice che eventi casuali formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi deve definitivamente accadere (da 1 a 6 per il dado). Variabili aleatorie Si dicono variabili aleatorie quelle grandezze che possono assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori. Si distinguiono tra discrete (numero finito) e continue (riempino densamente un intervallo), e miste. Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Definizioni Valore atteso di una variabile aleatoria Si dice valore atteso o speranza matematica la somma di tutti i possibili valori della variabile per la probabilità. Il valore atteso è legato al valor medio per un gran numero di prove poichè la media tende alla speranza matematica. Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Definizioni Prodotto delle probabilità Si intende il verificarsi simultaneamente di due eventi (esempio estrazione del due ed estrazione di picche da un mazzo di carte…. ovvero il due di picche!) P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB) oppure P(AxB) =P(A) + P(B)  P(A+ B) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Definizioni Addizione delle probabilità Si intende il verificarsi di due (o più) eventi sia che accadano insieme oppure in alternativa P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB) oppure P(A+B) =P(A) + P(B)  P(AXB) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Definizioni Probabilità composta Legato al teroema di moltiplicazione delle probabilità, dice che: la probabilità del prodotto di due eventi è uguale al prodotto della probabilità di uno degli eventi per la probabilità condizionata dell’altro, calcolata a condizione che il primo abbia luogo ovvero: P(AB) = P(A) P(B|A)=P(B)P(A|B) Se gli eventi sono mutualmente escludentesi, abbiamo che P(B|A)=P(B) e P(A|B)=P(A) e quindi P(AB) = P(A) P(B) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni di probabilità Gli assiomi (3°) della probabilità ci dicono che i P(Ai) = 1 Dato un insieme di valori possibili mutualmente escludentisi, quindi questa probabilità si distribuisce in un certo modo tra i valori della variabile. Per descrivere una variabile aleatoria dal punto di vista probabilistico specifichiamo questa distribuzione, ovvero stabiliamo la legge di distribuzione della variabile aleatoria. La legge di distribuzione è quindi una relazione che stabilisce una corrispondenza tra i valori possibili di tale variabile e la loro probabilità Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni di probabilità Il fatto che una variabile aleatoria si distribuisca secondo una data distribuzione ci permette di trarre alcune conclusioni importanti tra cui la possibilità di definire quello che viene chiamato livello di confidenza : ovvero la probabilità che l’affermazione a cui esso si riferisce sia vera. Le distribuzioni per variabili aleatorie si distinguono in Discrete Continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni discrete Valor medio e varianza Per una distribuzione discreta di probabilità, di variabile casuale xi il valor medio è dato da: Lo scarto del valore xi dalla media è: Si dice varianza (o scarto quadratico medio) s2 il valor medio del quadrato degli scarti, cioè: Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni discrete Teorema di Bienaymè-Cebicev Fissiamo il valore di uno scarto x come riferimento, posso mettere in relazione con questo valore gli altri scarti xi con esso e con la varianza s2 , infatti detto X uno scarto in esame vale: Ovvero la probabilità che la distanza di un dato dalla media sia superiore ad un valore predefinito NON SUPERA il rapporto tra la varianza e il quadrato del valore stesso Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni discrete Distribuzione uniforme Un esempio tipico è il lancio di un dado (o di una moneta): i sei eventi possibili sono i sei punteggi, a ciascuno corrisponde il valore di probabilità Per il terzo assioma della probabilità: In generale avremo Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni discrete Teorema delle prove ripetute Sia p=P(E) la probabilità dell’evento E e sia q la probabilità dell’evento complementare Ec, ci chiediamo qual è la probabilità che su n esperimenti l’evento E si verifichi k volte (con k<=n) Per il principio della probabilità composta abbiamo che la probabilità di una specifica combinazione di k eventi E e di (n-k) eventi Ec è E questa combinazione è realizzata da disposizioni ovvero Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni discrete Distribuzione binomiale o di Bernoulli Dati i valori n e p, il teorema precedente può essere interpretato come una funzione di una variabile casuale, k, con k che assume valori tra 0 ed n, e quindi come funzione di distribuzione discreta detta binomiale o bernoulliana, essa gode della seguente proprietà ed il valor medio ed il valor medio dei quadrati saranno Da cui e Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni discrete Distribuzione di Poisson Un caso tipico è il decadimento di un elemento radioattivo, il numero di prove è costituito dal numero di nuclei che potenzialmente possono decadere (molto grande, per una mole sono circa 1023) mentre la probabilità di “successo” è molto piccola. Si suppone che la probabilità p di decadimento sia costante e che la probabilità di successo in un intervallo [t, t+Dt] sia in prima approssimazione proporzionale a Dt. Una variabile aleatoria si distribuisce in modo poissoniano se Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni discrete Distribuzione di Poisson Dove la grandezza a è detta parametro della legge di Poisson e rappresenta la frequenza media di accadimento dell’evento osservato. Ad esempio la probabilità di ottenere due successi è La probabilità di ottenere tre successi, e cosi’ via Valor medio e deviazione standard sono Davide Grandi - Dottorato in Biologia