Corso di biomatematica lezione 6: la funzione c2 Davide Grandi

Sommario Covarianza e correlazione Distribuzione del c2: Definizione Gradi di libertà e c2ridotto Tabelle Distribuzione t di student Distribuzione F di Fisher

Covarianza e correlazione Propagazione degli errori Richiamiamo la formula generale della propagazione degli errori: E ricordiamo che per un insieme di N misure la deviazione standard sarà (con N grande) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Covarianza e correlazione Propagazione degli errori Sia ora q=q(x,y) e supponiamo che tutti gli (x1,y1), (x2,y2), ……. (xN,yN), siano noti con sufficiente accuratezza, per cui potremo scrivere: Da cui ovvero Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Covarianza e correlazione Propagazione degli errori Scrivendo la deviazione standard di q abbiamo: Dove abbiamo l’ultimo termine che è: E vale dunque Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Covarianza e correlazione Propagazione degli errori Se dunque le misure di x e y sono assolutamente indipendenti, l’equazione della deviazione standard diventa: Per cui è nullo il termine Detto covarianza che misura la correlazione tra le misure di x e y supposte in partenza indipendenti Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Covarianza e correlazione Correlazione lineare Data una distribuzione di misure (x1,y1), (x2,y2), ……. (xN,yN), è possibile stabilire se tra le variabili sussiste una relazione del tipo y=a+bx tramite il coefficiente di correlazione lineare dato da: Ovvero Che nel caso di dipendenza lineare vale 1 Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La distribuzione del c2 La funzione del c2 Data una distribuzione normale standardizzata, una volta noti m e s ovvero la relazione Z=(x – m)/s, ci permette di stabilire la probabilità di trovare valori esterni o interni ad un determinato intervallo (vedi esempio pesci) . Da questo legame con distribuzione di probabilità normale o gaussiana e distribuzioni di dati posso ricavare altre distribuzioni campionare utili per l’inferenza statistica Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La distribuzione del c2 La funzione del c2 Date n variabili casuali indipendenti normalmente distribuite, con media m=0 e s =1 Il c2 è dato dalla somma dei loro quadrati. Si può rappresentare mediante la formula: Dove n sono le osservazioni indipendenti effettuate (il c2 gode della proprietà additiva..) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La distribuzione del c2 La funzione del c2 Il c2 si può anche rappresentare mediante la formula: Dove gli Ok sono i valori osservati di una determinata misura e gli Ek sono i rispettivi valori attesi (supponendo che le misure vadano a distribuirsi secondo una gaussiana…) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La distribuzione del c2 La funzione del c2 Il c2 infine per una distribuzione continua sarà: Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La distribuzione del c2 Il c2 ed i gradi di libertà Il c2 in realtà dipenderà dai gradi di libertà (o numero di osservazioni indipendenti) che sto effettuando. Questo c2 chiamato c2 ridotto e che indichiamo con c2 è legato al c2 con un solo grado di libertà secondo la formula c2 =c2/d con d numero di gradi di libertà. Ad esempio avremo dunque Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La distribuzione del c2 Il c2 ed la probabilità Assumendo che le mie misure siano governate dalla distribuzione di probabilità attesa, posso utilizzare il il c2 infine per determinare se il risultato atteso è o meno probabile (e il livello di probabilità). Infatti (vedi figura) ad ogni valore di c2 (ad esempio c2 =k) corrisponde una probabilità di ottenere valori di c2 maggiori, se questo è un numero grande (starò quindi in una regione in cui ho molta probabilità che il c2 calcolato vada a finire), la nostra distribuzione segue quella attesa, altrimenti se è molto piccolo è probabile che debba rigettare la distribuzione attesa. Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La distribuzione del c2 Il c2 ed i gradi di libertà Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La distribuzione del c2 Il c2 ed i gradi di libertà Spieghiamoci meglio: data c2 =k e P (c2 >k) = n% Se ad esempio ho ottenuto con 1 grado di libertà c2 =1.80 e P (c2 >1.80) = 18% Non posso rigettare la distribuzione attesa, mentre se ho c2 =6 e P (c2 >6) = 1% Con l’1% di errore rigetto la mia distribuzione attesa Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La distribuzione del c2 Il c2 ed i la significatività statistica Resta da stabilire il livello di significatività in corrispondenza ad esempio di un determinato valore di c2 (test statistici). Si è stabilito per convenzione internazionale che un livello di soglia delle probabilità pari a P<0.05 (5%) è statisticamente significativo P<0.01 (1%) è molto significativo P<0.001 (0.1%) è altamente significativo Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La distribuzione del c2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Altre distribuzioni t di Student Altra distribuzione campionaria utile per l’inferenza statistica, viene applicata a campioni di piccole dimensioni. Se una distribuzione segue la legge normale standardizzata è possibile ricavarne la varianza campionaria t di Student: dato Z=(x – m)/s e c2 inoltre n è il numero di gradi di libertà corrispondente a N–1 (N numero di misure) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Altre distribuzioni F di Fisher Questa distribuzione campionaria corrisponde al rapporto di due variabili casuali c2 –indipendenti (A e B) divise per i rispettivi gradi di libertà (m ed n): È una generalizzazione della t di Student e vale: Ovvero il quadrato della t è una F con gradi di libertà 1 e n Davide Grandi - Dottorato in Biologia