Il moto armonico Altro esempio interessante di moto è quello armonico caratterizzato dal fatto che l’accelerazione è proporzionale all’opposto della posizione: a=-w2x con w una costante positiva (s-1) L’equazione differenziale caratteristica del moto armonico è: x è la posizione del punto materiale L’accelerazione è nulla nell’origine e diventa sempre più grande, sempre diretta verso l’origine, man mano che ci si allontana da essa O x1 x2 a2 a1 La ricerca della soluzione dell’eq. diff. è un po’ più complicata che negli altri casi, ma ci si può arrivare aggirando l’ostacolo

Il moto armonico Andiamo cercando una funzione del tempo, x(t), tale che la sua derivata seconda rispetto al tempo sia uguale alla stessa funzione x(t), cambiata di segno e moltiplicata per una costante positiva. Tra le funzioni che conosciamo, le funzioni senq e cosq hanno la proprietà che la loro derivata seconda rispetto a q è uguale all’opposto della funzione stessa. Infatti: Le funzioni seno e coseno potrebbero farci comodo. Le funzioni seno e coseno sono funzioni dell’angolo A noi servono delle funzioni del tempo: Possiamo provare con le funzioni sen(k1t) e cos(k2t), k1 e k2 due costanti aventi dimensioni di un tempo alla meno uno, così che moltiplicate per t danno un numero puro che è compatibile come argomento delle funzioni seno e coseno.

Il moto armonico Proviamo: le funzioni sen(k1t) e cos(k2t) sono soluzioni dell’equazione differenziale del moto armonico se k1=k2=w w = pulsazione angolare ha le dimensioni rad/s Possiamo dunque scrivere l’integrale generale dell’equazione differenziale del moto armonico nella forma: Le costanti reali a e b ci consentono di determinare le infinito alla due soluzioni dell’equazione differenziale del moto armonico.

Il moto armonico Ampiezza Fase Fase iniziale È meglio riscrivere l’integrale generale in una forma leggermente diversa: Scegliamo A e j in modo che: L’integrale generale diventa: Poiché il cos(wt+j) varia tra -1 e 1, x(t) varia tra -A e A A si chiama Ampiezza del moto wt+j si chiama fase del moto j è la fase iniziale: il valore della fase quando t=0 Fase Ampiezza Fase iniziale

Il moto armonico e la fase vx O A -A O A -A vx

Il moto armonico è periodico Il punto materiale ripassa ad intervalli regolari, dopo ogni periodo T, per la stessa posizione. Cerchiamo l’intervallo T imponendo che la posizione del punto materiale all’istante t+T sia la stessa che aveva all’istante t: Noi vogliamo anche che anche la velocità sia la stessa: Le due condizioni si verificano se:

Il moto armonico - le condizioni iniziali I valori dell’Ampiezza e della Fase iniziale si determinano in base alle condizioni iniziali Supponiamo che x(t=0s)=xo e che la velocità a t=0s sia uguale a vox. All’istante di tempo t=0: Quadrando e sommando: Dividendo membro a membro la seconda per la prima:

Il moto armonico - il grafico orario

Il moto alternativo del pistone all’interno del cilindro è approssimativamente armonico. Scrivere la legge oraria del pistone sapendo che il motore compie 3000 giri al minuti, che la corsa del pistone è di 10 cm, in un sistema di riferimento avente origine a metà della corsa del pistone e supponendo di far partire la misura dei tempi quando il pistone si trova a metà corsa andando verso destra. Applicazione O x Legge oraria del moto armonico quando l’origine del sistema di riferimento si trova nel centro delle oscillazioni Questo è anche il nostro caso Dobbiamo determinare A,w e j. A è uguale a metà della corsa (A=5cm) Per trovare w osserviamo che ogni giro del motore il pistone si riporta nella stessa posizione. Valutiamo quanto dura un giro del motore questo sarà il periodo del moto armonico j lo valutiamo sulla base delle condizioni iniziali

dalla prima equazione: Dobbiamo determinare la durata di un giro dell’albero motore. Applicazione Il legame tra il periodo e la pulsazione angolare w nel moto armonico è dato da: La legge oraria e la velocità diventano: Dobbiamo valutare j, sulla base delle condizioni iniziali, A t=0, xo=0m, mentre vxo è positiva (il pistone si sta muovendo nella direzione positiva dell’asse delle x) dalla prima equazione: La seconda soluzione è quella compatibile con una velocità positiva

Equaz. parametriche della traiettoria Moto in tre dimensioni Traiettoria: luogo di punti via via occupati dal punto materiale La posizione del punto materiale viene individuato dal vettore posizione Il vettore posizione rappresenta lo spostamento a partire dall’origine per raggiungere la posizione del punto materiale Legge oraria: posizione in funzione del tempo. Le componenti cartesiane del vettore posizione sono le coordinate del punto materiale Il moto nello spazio è la composizione di tre moti rettilinei dei punti proiezione sugli assi coordinati Equaz. parametriche della traiettoria

La velocità vettoriale media Lo spostamento del punto materiale in Dt Si definisce velocità media nell’intervallo Dt Se il punto materiale nell’intervallo Dt viene costretto a muoversi con la velocità media, allora si muoverà sul segmento che connette il punto P(t) al punto P(t+ Dt) La descrizione del moto non è accurata Un miglioramento si ottiene se si scelgono intervalli più piccoli

La velocità vettoriale istantanea Si fissa l’istante t Si fissa un intervallo Dt maggiore di zero Si calcola la velocità media nell’intervallo Dt Si definisce la velocità istantanea come La velocità vettoriale tende ad assumere la direzione tangente alla traiettoria nel punto P(t). Il verso è quello del moto. La velocità vettoriale è la derivata del vettore posizione valutata all’istante t. Attenzione è la derivata di un vettore

La velocità riferita alla traiettoria Indichiamo con Ds il percorso effettuato sulla traiettoria dal punto materiale. Osserviamo che per La velocità media può essere scritta: Il limite per Dt che tende a zero ci darà la velocità scalare istantanea. Supponiamo di poter calcolare il limite del rapporto incrementale nel seguente modo:

La velocità riferita alla traiettoria Osserviamo che La lunghezza dell’arco, per Dt, o Ds che tende a zero diventa uguale alla lunghezza della corda Abbiamo già osservato che lo spostamento, per Dt che tende a zero, si dispone lungo la direzione della tangente alla traiettoria nel punto considerato nel verso del moto. Quindi possiamo porre La velocità istantanea può essere scritta:

Il moto in tre dimensioni La lezione non è completa Fare riferimento alle “Dispense del corso di Fisica Generale per Ing. Edile”