La quantità di moto La quantità di moto di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le quantità di moto di ciascun punto materiale Ricordando l’espressione della velocità del centro di massa La quantità di moto di un sistema di punto materiali è proprio uguale alla quantità di moto del Centro di Massa Centro di massa: massa pari alla massa totale del sistema velocità uguale alla velocità del centro di massa Per quanto riguarda la quantità di moto, il centro di massa rappresenta completamente il sistema di particelle.

I equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali La derivata della quantità di moto di un sistema di punti materiali è uguale alla risultante delle sole forze esterne È equivalente al teorema del centro di massa

La conservazione della quantità di moto Se la risultante delle forze esterne è nulla la quantità di moto delle singole particelle agenti sul sistema possono variare, ma la quantità di moto totale del sistema rimane costante in modulo, direzione e verso. Un sistema isolato è un sistema molto lontano da altri corpi e quindi non soggetto a forze esterne: la quantità di moto di un sistema isolato si conserva. La conservazione della quantità di moto è equivalente alla terza legge di Newton Noi abbiamo ricavato la conservazione della quantità di moto dalle leggi di Netwon: in realtà il principio di conservazione della quantità di moto è un principio più generale: vale anche al di fuori della meccanica classica.

Un’astronave di massa totale M staviaggiando nelle profondità dello spazio con una velocità vi=2100km/h rispetto al sole. Espelle uno stadio posteriore di massa 0.20M alla velocità relativa u=500km/h rispetto all’astronave, diretta lungo l’asse x. Quanto diventa la velocità dell’astronave rispetto al sole? Applicazione Indichiamo con U la velocità dello stadio posteriore rispetto al sole. Siamo molto lontani da qualsiasi altro corpo, quindi le forze esterne sono nulle. La quantità di moto si conserva. Consideriamo il sole come un sistema di riferimento inerziale La quantità di moto iniziale è diretta lungo l’asse x La quantità di moto finale dello stadio posteriore è anch’essa diretta lungo l’asse x Anche la quantità di moto del resto dell’astronave sarà diretta lungo l’asse x

La conservazione parziale della quantità di moto La I equazione cardinale della dinamica dei sistemi è una relazione vettoriale Se il sistema non è isolato, allora la risultante non sarà nulla È possibile che alcune delle componenti della risultante siano nulli Allora si conservano le corrispondenti componenti della quantità di moto

Nella figura si vede un vagone ferroviario a pianale basso di massa M che è libero di muoversi senza attrito su un binario rettilineo orizzontale. All’inizio un uomo di massa m sta fermo sul vagone che viaggia verso destra con velocità vo. Quale sarà la variazione di velocità del vagone se l’uomo si metterà a correre verso sinistra con una velocità vrel rispetto al vagone? Si assuma vo=1m/s, vrel=5m/s, m=70kg, M=1000kg. Applicazione In questo caso le forze esterne non sono nulle: peso del vagone, peso dell’unomo, reazione vincolare del binario (solo componente normale). Però le forze sono tutte verticali Si conserva la quantità di moto orizzontale, in particolare quella diretta secondo i binari. x Il sistema di riferimento è quello dei binari (inerziale). vu velocità dell’uomo rispetto ai binari Dai moti relativi

L’energia cinetica di un sistema di punto materiali Come già visto nel caso della quantità di moto: L’energia di un sistema di punti materiali è la somma dell’energia cinetica dei singoli punti materiali.

Il sistema di riferimento del centro di massa Il sistema di riferimento del CM è un sistema di riferimento avente Origine nel Centro di Massa CM Assi paralleli a quelli del sistema inerziale in cui si studia il moto del sistema.

Il I teorema di Konig L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale all’energia cinetica del centro di massa più l’energia cinetica del sistema di particelle misurata nel sistema di riferimento del CM. Dimostrazione:

Il I teorema di Konig Per quanto riguarda l’energia cinetica, il CM non rappresenta completamente il sistema di particelle, occorre aggiungere l’energia cinetica del moto relativo al centro di massa.

Estensione del teorema delle forze vive ai sistemi di punti materiali Per ogni particella del sistema

Il lavoro delle forze interne Abbiamo già osservato che le forze interne esistono a coppie. Consideriamo le particelle i e j Facciamo vedere che il lavoro complessivo fatto delle forze interne tra le particelle i e j è nullo se la distanza tra le due particelle resta costante! Spostamenti uguali i ferma, j moto circolare attorno a i

Il lavoro delle forze interne Per valutare il lavoro fatto dalle forze interno consideriamo la particella i ferma e la particella j che si sposta facendo variare la distanza tra le due particella Il lavoro complessivo fatto delle forze interne di un sistema di particelle è nullo se le distanze tra le particelle restano costanti!

Estensione della conservazione dell’energia ai sistemi di punti materiali Se tutte le forze interne ed esterne sono conservative Allora si può definire una funzione energia potenziale relativa a tutto il sistema ed è uguale alla somma delle energie potenziali dei singoli punti materiali Ui è la somma delle energie potenziali della particella i In altri termini la somma va estesa a tutte le forze interne ed esterne agenti sulla particella i Poiché per ogni particella vale la conservazione dell’energia, allora essa vale anche per tutto il sistema. Se tutte le forze sono conservative, l’energia meccanica totale del sistema rimane costante durante il moto. Se, alcune delle forze agenti, siano esse interne od esterne, sono non conservative, allora vale la relazione lavoro-energia: Wnc è il lavoro di tutte le forze non conservative.

L’energia potenziale della forza peso Per ciascuna particella: L’energia potenziale è uguale al prodotto della massa totale del sistema di particelle per l’accelerazione di gravità per la quota del CM.

Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m0 Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m0.5kg e lunghezza L=1m. Inizialmente il bastone ha n estremo a contatto con il pavimento e viene lasciato cadere partendo da una posizione pressoché verticale. Determinare il lavoro fatto dalla forza peso. Applicazione y Posizione iniziale x Posizione finale Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo

L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro. Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale Applicazione y Posizione iniziale x Posizione finale Il pendolo poi prosegue oltre questa posizione (in assenza di attriti raggiunge la posizione simmetrica a quella di partenza rispetto all’asse di rotazione e poi ritorna indietro e oscilla tra la posizione iniziale e quella simmetrica rispetto all’asse di rotazione)

L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro. Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale Applicazione y Posizione iniziale x Ricordando il calcolo della posizione del CM già fatto nella lezione precedente d1=.22m Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo

Una maniera alternativa per arrivare allo stesso risultato parte dall’osservazione che l’energia potenziale di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le energie potenziali delle singole particelle: Applicazione y x Che, a parte errori di arrotondamento, è uguale al valore trovato con l’altro metodo.

Momento della quantità di moto, o momento angolare, di un sistema di punti materiali Per ciascuna particella Il momento della quantità di moto o momento angolare dell’intero sistema rispetto al polo O, è dato da:

Cambiamento di polo Naturalmente possimo calcolare il momento della quantità di moto rispetto a qualsiasi punto, non necessariamente l’origine!

Il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa Se O’ coincide con il centro di massa CM Il momento della quantità di moto valutato rispetto al centro di massa assume lo stesso valore sia se viene calcolato nel sistema Oxyz che nel sistema di riferimento del CM. Il momento della quantità di moto rispetto al polo O è uguale al momento della quantità di moto del centro di massa rispetto al polo O + il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa (II teorema di Konig) Il CM non rappresenta del tutto il sistema

Teorema del momento angolare II equazione cardinale della dinamica Se le particelle del sistema sono in moto, variano le loro posizioni e potrebbe anche variare la loro velocità. Il momento della quantità di moto rispetto al polo O varia. Valutiamo la rapidità con cui varia.

II equazione cardinale della dinamica dei sistemi Il momento risultante delle forze interne è nullo: Pertanto la variazione del momento della quantità di moto di un sistema di punti è uguale al momento risultante delle sole forze esterne Mentre nel caso del punto materiale questa equazione è equivalente alla II legge della dinamica Nel caso dei sistemi di punti, la I e la II equazione cardinale, sono indipendenti e quindi forniscono informazioni complementari. O = origine del sist. Rif O = punto fisso O = CM (SRI o SCM) O punto mobile ma con velocità parallela a vCM

Possibile uso della seconda equazione cardinale Si consideri una carrucola il cui asse è ancorato al soffitto, su cui è avvolta una corda. Applichiamo all’estremo libero della corda una forza F. La prima equazione cardinale della dinamica non ci da alcuna informazione sul moto della carrucola, ci permette solo di determinare l’intensità della reazione vincolare. La seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi non è banalmente soddisfatta Questa equazione ci può dare informazioni sul moto di rotazione della carrucola attorno all’asse passante per il centro di massa.