La reazione vincolare Consideriamo un corpo fermo su di un tavolo orizzontale. La sua accelerazione è nulla. Dalla II legge di Newton ricaviamo che la forza complessiva agente sul copro deve essere nulla. Il tavolo ha schermato la forza peso? No! Il tavolo esercita sul blocco una forza uguale e contraria al peso in modo tale che la forza complessiva agente sul corpo sia nulla. Il corpo è in equilibrio La forza richiesta per assicurare l’equilibrio è perpendicolare al tavolo. Per questo si chiama “Componente normale della reazione vincolare” Normale vuol dire perpendicolare al vincolo, alla superficie del tavolo.

La reazione vincolare Le reazioni vincolari si manifestano ogni volta che esiste un vincolo, ossia un impedimento, al moto di un corpo. Nel caso in considerazione, il piano orizzontale impedisce al corpo di occupare una qualsiasi posizione al di sotto del piano stesso: il corpo non può penetrare nel piano orizzontale. La reazione vincolare: Ha sicuramente una componente normale al vincolo diretta verso la parte di spazio consentito (componente Normale N) Se non ce l’ha vuol dire che non c’è contatto del corpo con il vincolo può avere una componente parallela al vincolo se ce l’ha si chiama “Forza di attrito” Statico: il corpo è fermo rispetto al vincolo Dinamico: il corpo striscia sul vincolo. La reazione vincolare agisce per contatto N.B.: La reazione vincolare non ha una espressione che permette di determinarla: essa va determinata caso per caso utilizzando le leggi di Newton.

La forza di attrito statico La Forza di attrito è la componente parallela al vincolo della Reazione Vincolare. Si parla di attrito statico se non c’è scorrimento tra il corpo e la superficie su cui il corpo è poggiato N P Nel caso di un corpo appoggiato su un piano orizzontale abbiamo visto che la sola componente normale è sufficiente a garantire l’equilibrio del corpo. La forza di attrito, ossia la componente parallelo al vincolo è nulla.

La forza di attrito statico Applichiamo al corpo una forza orizzontale. Si osserva che: Per piccoli valori della forza applicata il corpo resta ferma. Se si aumenta la forza applicata, superato un certo valore il corpo si mette in movimento. Consideriamo per ora il caso in cui il corpo resta ancora fermo. y Rv fo componenti modulo P x Rvx=forza di attrito statico componenti componenti componenti

Il valore massimo della forza di attrito statico Non esiste una espressione per determinare la forza di attrito statico (intensità, direzione, verso) La forza di attrito statico si determina applicando le leggi di Newton. Nel caso precedentemente analizzato abbiamo trovato: L’intensità uguale a quella della forza orizzontale applicata direzione quella della forza orizzontale applicata verso opposto. Abbiamo anche osservato che aumentando l’intensità della forza orizzontale applicata, raggiunto un certo valore, il corpo si mette in moto. Il modulo della forza di attrito statico è limitato superiormente, non può aumentare oltre un certo valore! Il valore massimo della forza di attrito statico dipende dal modulo della componente normale N della reazione vincolare. dalla natura e dallo stato delle superfici a contatto (ms) dalla temperatura Non dipende Dalla superficie di appoggio

La forza di attrito statico Il contatto avviene in un numero finito di asperità. Si verificano delle deformazioni, quindi forze elastiche. L’area di effettivo contatto è proporzionale alla deformazione complessiva proporzionale alla forza complessiva esplicata (N). L’area di effettivo contatto è la stessa nei due casi (N è lo stesso nei due casi). Pochi punti molto deformati Molti punti poco deformati

La forza di attrito dinamico Se le superfici a contatto sono scabre e c’è scorrimento tra esse. Nel caso dell’attrito dinamico è possibile determinare tutto: modulo direzione e verso. È diretta in verso apposto al moto (stessa direzione della velocità ma verso opposto) Il modulo della forza è dato da: Superfici lisce: i coefficienti di attrito statico e dinamico sono nulli! La reazione vincolare ha solo la componente normale La forza di attrito dinamico dipende dalla natura e dallo stato delle superfici a contatto (md) dalla componente normale (N) dalla temperatura non dipende dalla superficie di appoggio dalla velocità di scorrimento delle superfici a contatto La forza di attrito dinamico è più piccola del valore massimo della forza di attrito statico (md< ms) Nel caso dell’attrito statico si formano delle vere e proprie saldature nei punti di effettivo contatto, che non hanno il tempo di formarsi nel caso dinamico.

I coefficienti di attrito Questi numeri sono indicativi, i coefficienti di attrito dipendono molto dallo stato delle superfici, dalla temperatura, dall’umidità, etc.

Tensione nelle corde m m La corda è un dispositivo per trasmettere (applicare) una forza ad un corpo. Le corde possono trasmettere forze aventi la stessa direzione della corda Inoltre possono solo tirare Consideriamo un corpo di massa m attaccato ad una corda. Tiriamo la corda con la forza F2. Chiamiamo F1 la forza che il corpo di massa m esercita sulla corda Per la terza legge di Newton, la forza che la corda esercita sul corpo sarà Fc=-F1. Applichiamo la seconda legge di Newton alla corda: F2 m F2 F1 In condizioni statiche m Fc=-F1 In condizioni dinamiche si arriva allo stesso risultato se la massa della corda è nulla Corda ideale: m=0, L=costante

Tensione nelle corde Nelle corde ideali la forza si trasmette identica lungo tutta la corda. Tensione della corda Se si taglia la corda in un punto qualsiasi la parte a destra del taglio eserciterà su quella a sinistra una forza di modulo pari alla tensione e viceversa. La tensione può essere messa in evidenza inserendo una molla nel taglio e osservando il suo allungamento A volte si usano delle carrucole ideali (piccolo raggio e piccola massa, senza attriti) per cambiare la direzione della tensione. Le carrucole ideali non cambiano l’intensità della tensione. Fsd T Fds

calcolare la massa della sabbia versata nel secchio Un blocco di 28.0 kg è collegato ad un secchio vuoto di 1 kg mediante una corda che scorre su una carrucola ideale priva di attrito. Il coefficiente di attrito statico tra il tavolo e il blocco è 0.450 mentre quello di attrito dinamico è 0.320. Il secchio viene gradualmente riempito di sabbia fino a che il sistema inizia a muoversi. calcolare la massa della sabbia versata nel secchio l'accelerazione del sistema la tensione nella corda un istante prima che inizi il moto e durante il moto. Applicazione Indichiamo con m1 la massa del blocco, con m2 quella del secchio (msc) e della sabbia (msb) Troviamo le forze agenti su ciascuno dei corpi. Blocco La forza peso La tensione della fune La reazione vincolare del tavolo composta da La componente normale La forza di attrito Secchio La forza peso La tensione della fune

Costruiamo il diagramma del corpo libero Applicazione Disegnamo le forze. Costruiamo il diagramma del corpo libero Applicazione y x blocco secchio Fissiamo un sistema di riferimento inerziale (Laboratorio) Scriviamo la seconda legge dei Newton per i due corpi: Proiettiamo sugli assi coordinati blocco secchio In condizioni statiche l’accelerazione del secchio è nulla, quindi la corda si dispone lungo la verticale, la tensione ha solo la componente verticale

In condizioni statiche Applicazione y x blocco secchio In condizioni statiche blocco secchio Si ottiene: Ma la forza di attrito statico è limitata superiormente: Il sistema comincerà a muoversi quando

Il blocco rimane a contatto con il tavolo durante il suo moto y1(t)=0 Applicazione Poichè Non appena il sistema inizia a muoversi cambiano le condizioni dinamiche: y x blocco secchio blocco secchio Ricordiamo che Il blocco rimane a contatto con il tavolo durante il suo moto y1(t)=0 Osserviamo che

Abbiamo tre equazioni e 4 incognite: T, N, a1x, a2y. Troppe!! Applicazione y x blocco secchio blocco secchio Abbiamo tre equazioni e 4 incognite: T, N, a1x, a2y. Troppe!! Sfruttiamo il fatto che la corda è ideale, la sua lunghezza resta costante per qualunque valore delle tensione. Se il blocco avanza di un tratto Dx1 (positivo), il secchio si abbassa di Dy2 (negativo)

Ricavando T dall’ultima e sostituendo nella seconda: Applicazione y x blocco secchio Da cui Ricavando T dall’ultima e sostituendo nella seconda:

Confrontiamo la tensione T con il caso statico T=m2g Applicazione y x blocco secchio L’accelerazione è costante: il moto dei due corpi è uniformemente accelerato Confrontiamo la tensione T con il caso statico T=m2g La tensione nel caso dinamico è più piccola che in quello statico

Le resistenze passive Con questo nome si indica la forza che un fluido esercita su di un corpo che si muove al suo interno (un'automobile che si muove nell'aria, un sasso che cade nell’acqua, una goccia di pioggia che cade nell’aria). La resistenza passiva è sempre opposta al moto. Se la velocità del corpo è piccola allora la forza è proporzionale all’opposto della velocità: Per una sfera di raggio r, b=6prh, in h cui è la viscosità del mezzo: Glicerina 1.5 Ns/m2 (poise) Olio lubrificante 20° 0.03 Acqua 20° 1.0x10-3 Aria 20° 1.8x10-5 Se la velocità del corpo è elevata allora l’intensità della resistenza passiva diventa proporzionale al quadrato della velocità:

Le resistenze passive Consideriamo un moto di caduta che avviene in presenza di una resistenza passiva. Inizialmente la velocità è nulla, la resistenza passiva è nulla, l’accelerazione è quella di gravità, caso (a). Man mano che aumenta la velocità, la resistenza passiva aumenterà, l’accelerazione sarà minore di g, ma la velocità continuerà ad aumentare, caso (b). La velocità continuerà ad aumentare fin tanto che la resistenza passiva diventa uguale al peso, caso (c). Da questo punto in poi il moto sarà uniforme La velocità del moto uniforme viene chiamata velocità limite. per distanza di regime si intende la distanza che il corpo deve percorrere per raggiungere il 95% della velocità limite.

Resistenza passiva-alcuni esempi di velocità limite e di distanza di regime

Moto di caduta di un chicco di grandine Trascuriamo la spinta di Archimede, data la grande differenza di densità tra il ghiaccio e l’aria (circa un fattore 1000) Le forze agenti sono: la forza peso e al resistenza passiva La velocità iniziale sia nulla. Consideriamo un sistema di riferimento con l’asse y verticale. Per quanto riguarda gli assi x e z, le soluzione vx=0 e vz=0 soddisfano l’equazione differenziale e le condizioni iniziali. Il moto avviene lungo l’asse y La cui soluzione è: risostituendo Per t che tende all’infinito la velocità tende alla velocità limite mg/b