L’energia potenziale della forza di gravitazione universale - la velocità di fuga La forza di gravitazione universale è conservativa La velocità di fuga dalla terra: Per la fuga dalla terra, E>=0:

Il centro di massa del sistema terra-sole Il centro di massa si trova sul segmento che congiunge i due punti materiali È più vicino al punto materiale di massa maggiore

Tre masse uguali sono ai vertici di un triangolo equilatero di lato L Tre masse uguali sono ai vertici di un triangolo equilatero di lato L. Determinare la posizione del centro di massa Applicazione y 3 L x 1 2 Posso determinare prima il centro di massa delle particelle 1 e 2. 1 2 x Calcoliamo ora la posizione del CM della particella 3 e di una particella di massa 2m posta nella posizione del CM delle particelle 1 e 2. Il centro di massa si troverà sulla congiungente: x y 1 3 CM12

L’elemento oscillante di un pendolo è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro. Determinare la posizione del CM. Applicazione x y x y CM della sbarra (0,0.45m) ms=0.5kg CM del Disco (0,0.1m) md=1kg

Nella figura si vede una piastra quadrata di lamiera uniforme con lato di 6m, dalla quale è stato ritagliato un pezzo quadrato di 2 m di lato con centro nel punto x=2m,y=0m L’origine delle coordinate coincide con il centro della piastra quadrata. Trovare le coordinate x e y del CM. Applicazione x y CM1 CM2 CM Per ragioni di simmetria CM Intera piastra (0,0 m) M CM1 incognito (?,0) m1=(36-4)/36M=8/9M CM2 (2,0) m2=1/9M

Determinare la posizione del centro di massa di un semidisco omogeneo di massa M e raggio R. Applicazione y per ragioni di simmetria Dividiamo il semicerchio in strisce molte sottili Sostituiamo ciascuna striscia con il suo centro di massa (0,y) Associamo a ciascun CM parziale la massa dell’intera striscia. y+dy y q x

Un’auto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo Un’auto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo. Quando viene il verde (t=0s) parte con una accelerazione costante di 4 m/s2. Nello stesso istante sopraggiunge con velocità costante di 8m/s un camion di massa 2000kg che sorpassa l’auto. A che distanza dal semaforo si troverà il centro di massa del sistema auto camion per t=3.0s? Quale sarà la sua velocità? Applicazione t=0 x O t=3s x O

Un’auto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo Un’auto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo. Quando viene il verde (t=0s) parte con una accelerazione costante di 4 m/s2. Nello stesso istante sopraggiunge con velocità costante di 8m/s un camion di massa 2000kg che sorpassa l’auto. A che distanza dal semaforo si troverà il centro di massa del sistema auto camion per t=3.0s? Quale sarà la sua velocità? Applicazione t=0 O x

Un’astronave di massa totale M sta viaggiando nelle profondità dello spazio con una velocità vi=2100km/h rispetto al sole. Espelle uno stadio posteriore di massa 0.20M alla velocità relativa u=500km/h rispetto all’astronave, diretta lungo l’asse x. Quanto diventa la velocità dell’astronave rispetto al sole? Applicazione Indichiamo con U la velocità dello stadio posteriore rispetto al sole. Siamo molto lontani da qualsiasi altro corpo, quindi le forze esterne sono nulle. La quantità di moto si conserva. Consideriamo il sole come un sistema di riferimento inerziale La quantità di moto iniziale è diretta lungo l’asse x La quantità di moto finale dello stadio posteriore è anch’essa diretta lungo l’asse x Anche la quantità di moto del resto dell’astronave sarà diretta lungo l’asse x

Nella figura si vede un vagone ferroviario a pianale basso di massa M che è libero di muoversi senza attrito su un binario rettilineo orizzontale. All’inizio un uomo di massa m sta fermo sul vagone che viaggia verso destra con velocità vo. Quale sarà la variazione di velocità del vagone se l’uomo si metterà a correre verso sinistra con una velocità vrel rispetto al vagone? Si assuma vo=1m/s, vrel=5m/s, m=70kg, M=1000kg. Applicazione In questo caso le forze esterne non sono nulle: peso del vagone, peso dell’unomo, reazione vincolare del binario (solo componente normale). Però le forze sono tutte verticali Si conserva la quantità di moto orizzontale, in particolare quella diretta secondo i binari. x Il sistema di riferimento è quello dei binari (inerziale). vu velocità dell’uomo rispetto ai binari Dai moti relativi

Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m0 Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m0.5kg e lunghezza L=1m. Inizialmente il bastone ha n estremo a contatto con il pavimento e viene lasciato cadere partendo da una posizione pressoché verticale. Determinare il lavoro fatto dalla forza peso. Applicazione y Posizione iniziale x Posizione finale Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo

L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro. Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale Applicazione y Posizione iniziale x Posizione finale Il pendolo poi prosegue oltre questa posizione (in assenza di attriti raggiunge la posizione simmetrica a quella di partenza rispetto all’asse di rotazione e poi ritorna indietro e oscilla tra la posizione iniziale e quella simmetrica rispetto all’asse di rotazione)

L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro. Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale Applicazione y Posizione iniziale x Ricordando il calcolo della posizione del CM già fatto nella lezione precedente d1=.22m Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo

Una maniera alternativa per arrivare allo stesso risultato parte dall’osservazione che l’energia potenziale di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le energie potenziali delle singole particelle: Applicazione y x Che, a parte errori di arrotondamento, è uguale al valore trovato con l’altro metodo.

Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale di 500 m/s penetra per 12 cm in una parete di muratura prima di fermarsi Di quanto si riduce l’energia meccanica della pallottola? Qual è la forza media che ha agito sulla pallottola mentre penetrava nella parete? Quanto tempo ha impiegato la pallottola per fermarsi? Applicazione Prima Usiamo il sistema di riferimento del Laboratorio per descrivere il moto: la parete è ferma in tale sistema il sistema di riferimento è inerziale x Dopo Le forze agenti sono: La forza peso (fa lavoro nullo) La Normale (fa lavoro nullo) La forza di attrito(dinamico) L’energia meccanica totale coincide con l’energia cinetica. Nell’ipotesi di un moto orizzontale come mostrato in figura, non c’è variazione dell’energia potenziale della forza peso Circa 100 mila volte il peso

Per calcolaci tempo ha impiegato dalla pallottola per fermarsi, valutiamo l’impulso della forza. Applicazione Prima x La quantità di moto finale è nulla Quella iniziale ha solo la componente x Anche l’impulso avrà solo la componente x Dopo Il proiettile impiega 3.2 centesimi di secondo per fermarsi Questo semplice esempio mostra come le forze negli urti siano molto intense I tempi dell’interazione siano piuttosto piccoli

Applicazione Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con esso. Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto. Determinare l’elongazione massima del pendolo Se la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urto verificare che lo spostamento subito dal pendolo durante l’urto è trascurabile. Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.

II fase oscillazione L’oscillazione avviene sotto l’azione della forza peso (conservativa) e della tensione.

Applicazione Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con esso. Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto. Determinare l’elongazione massima del pendolo Se la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urto Verificare che lo spostamento subito dal pendolo durante l’urto è trascurabile. Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.

Applicazione Prima dell’urto: Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con esso. Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto. Applicazione y Prima dell’urto: Subito dopo l’urto, il pendolo è rimasto nella stessa posizione, ma si sta muovendo con velocità Vx: Proiettando su un asse verticale:

Urto in due dimensioni Consideriamo un urto in cui una della due particelle è ferma (senza forze esterne) Particella 1 proiettile Particella 2 bersaglio b parametro d’urto La retta di azione della velocità v1 e il punto P2 definiscono un piano Le forze di interazione sono lungo la congiungente Quindi contenute nel piano Non c’è moto perpendicolarmente al piano precedentemente individuato (accelerazione nulla, velocità iniziale nulla) L’urto è piano. Se l’urto è elastico si può aggiungere:

Urto centrale elastico-bersaglio fermo Per risolvere il sistema conviene metterlo in questa forma: Urto centrale Dividendo membro a membro la seconda per la prima:

Due automobili A e B di massa rispettivamente 1100 kg e 1400 kg, nel tentativo di fermarsi ad un semaforo, slittano su una strada ghiacciata. Il coefficiente di attrito dinamico tra le ruote bloccate delle auto e il terreno è 0.13. A riesce a fermarsi, ma Be che segue, va a tamponare il primo veicolo. Come indicato in figura, dopo l’urto A si ferma a 8.2 m dal punto di impatto e B a 6.1 m. Le ruote dei due veicoli sono rimaste bloccate durante tutta la slittata. Determinare le velocità delle due vetture subito dopo l’impatto. E la velocità della vettura B prima dell’urto. Applicazione N Fa P

Urto centrale elastico-bersaglio mobile In questo caso sia la velocità della particella 1 che quella della particella 2 sono dirette lungo la congiungente le due particelle. Considerando le componenti delle velocità lungo l’asse x: Urto centrale Operando come nel caso precedente, dividendo membro a membro la seconda per la prima si perviene al seguente risultato: Se le particelle hanno la stessa massa, nell’urto si scambiano le velocità

Un blocco di massa m1=2.0 kg scivola su di un pinao privo di attrito alla velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m2=5.0kg. Una molla priva di massa , con costante elastica k=1120 N/m, è attacata sul retro di m2. Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano? Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo l’urto. Applicazione Quando la molla è alla sua massima compressione i due blocchi sono fermi uno rispetto all’altro Prima della massima compresione si sono avvicinati Successivamente si allontanano La velocità comune dei due blocchi sarà uguale a quella del centro di massa Poiché la quantità di moto si conserva, anche la velocità del centro di massa sarà uguale a quella iniziale: La differenza tra l’energia cinetica iniziale e quella finale è immagazzinata come compressione della molla

Un blocco di massa m1=2.0 kg scivola su di un pinao privo di attrito alla velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m2=5.0kg. Una molla priva di massa , con costante elastica k=1120 N/m, è attacata sul retro di m2. Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano? Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo l’urto. Applicazione Da cui Utilizzando le espressioni per l’uro centrale elastico:

Applicazione Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/min Qual è la sua velocità angolare in rad/s? Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano? Qual è l’accelerazione centripeta di un punto sul bordo del volano? Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano? Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano? Quanti giri compirà in questi 60 s?

Applicazione Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/min Qual è la sua velocità angolare in rad/s? Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano? Qual è l’accelerazione centripeta di un punto sul bordo del volano? Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano? Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano? Quanti giri compirà in questi 60 s?

Momento di inerzia di un punto materiale di massa M Consideriamo la situazione in figura: Applichiamo la definizione:

Momento di inerzia di un anello omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse Consideriamo la situazione della figura: Supponiamo che l’anello ruoti attorno un asse, perpendicolare all’anello passante per il suo centro (asse dell’anello). Indichiamo con l la densità lineare dell’anello: Consideriamo un elemento dell’anello: a cui corrisponde la massa: Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui: I=MR2 come se la massa dell’anello fosse concetrata in un punto materiale a distanza R dall’asse.

Momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse Consideriamo la situazione di figura: Supponiamo che il disco ruoti attorno un asse, perpendicolare al disco passante per il suo centro (asse del disco). Indichiamo con s la densità superficiale del disco: Suddividiamo il cerchio in tante corone circolari infinitesime e concentriche di spessore dr. A tutti gli effetti può essere considerato un anello di massa: a cui corrisponde un momento di inerzia: Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui:

Momento di inerzia di un cilindro omogeneo di massa M e raggio R e altezza h rispetto al proprio asse Consideriamo la situazione di figura: Supponiamo che il cilindro ruoti attorno al proprio asse. Indichiamo con r la densità del cilindro: Suddividiamo il cerchio in tanti strati infinitesimi infinitesime di altezza dz. A tutti gli effetti ogni strato può essere considerato un disco di massa: a cui corrisponde un momento di inerzia: Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui: Come il disco

Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per un estremo Consideriamo la situazione della figura: Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per un suo estremo. Indichiamo con l la densità lineare della sbarra. Introduciamo un sistema di riferimento come in figura Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, indichiamo con x la coordinata del primo estremo dell’elemento infinitesimo La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per il centro Consideriamo la situazione della figura: Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per il suo centro. Indichiamo con l la densità lineare della sbarra. Introduciamo un sistema di riferimento come in figura Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, indichiamo con x la coordinata del primo estremo dell’elemento infinitesimo La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

Applicazione Ciascuna delle tre pale del rotore di un elicottero, mostrate in figura , è lunga 5.20m ed ha una massa di 240 kg Qual è il momento di inerzia del rotore rispetto all’asse di rotazione? (le pale possono essere considerate come asticelle sottili) Qual è l’energia cinetica rotazionale del rotore alla velocità angolare di 350 giri/min?

L’elemento oscillante di un pendolo è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro. Determinare il momento di inerzia rispetto ad un asse perpendicolare all figura passante per l’estremo superiore della sbarretta. Applicazione x y Asse di rotazione

La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2 La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa M=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovare l’accelerazione di caduta del blocco, l’accelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito. Applicazione y Rv Il moto del disco è un moto di rotazione attorno ad un asse fisso Introduciamo un sistema di riferimento x L’asse di rotazione coincide con l’asse z L’equazione del moto di rotazione P Il momento di inerzia I (disco omogeneo rispetto al suo asse) Dobbiamo ora calcolare Mz: Le forze esterne agenti sul disco sono L’equazione del moto:

La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2 La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa M=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovare l’accelerazione di caduta del blocco, l’accelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito. Applicazione y Rv Per il corpo di massa m invece: x Abbiamo ottenuto due equazioni con le incognite T, ay, a. P Le equazioni non sono sufficienti. Ma sappiamo che la corda è inestensibile quindi c’è una relazione tra ay, a. Ruotiamo il disco di un angolo Dq in senso antiorario (Dq negativo), osserveremo il corpo di massa m abbassarsi di un tratto Dy anch’esso negativo: Dividendo per Dt, e passando al limite E con una seconda derivazione si ottiene

La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2 La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovare l’accelerazione di caduta del blocco, l’accelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito. Applicazione y Rv Il sistema diventa x O meglio: P Sostituendo:

Con riferimento all’applicazione precedente in cui un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso e un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco, calcolare la velocità del corpo di massa m dopo che ha percorso 1m supponendo che inizialmente fosse fermo. Calcolare la corrispondente velocità angolare del disco. Calcolare l’angolo di cui ha ruotato il disco. Verificare che il lavoro fatto dalla tensione sul disco è uguale alla variazione della sua energia cinetica. Applicazione Rv x y P Noi abbiamo già calcolato l’accelerazione uniforme del corpo di massa m. Potremmo risolvere il problema per via cinematica: Possiamo anche risolvere il problema con la conservazione dell’energia: La forza peso della carrucola non fa lavoro

Con riferimento all’applicazione precedente in cui un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso e un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco, calcolare la velocità del corpo di massa m dopo che ha percorso 1m supponendo che inizialmente fosse fermo. Calcolare la corrispondente velocità angolare del disco. Calcolare l’angolo di cui ha ruotato il disco. Verificare che il lavoro fatto dalla tensione sul disco è uguale alla variazione della sua energia cinetica. Applicazione Rv x y P

Con riferimento all’applicazione precedente in cui un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso e un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco, calcolare la velocità del corpo di massa m dopo che ha percorso 1m supponendo che inizialmente fosse fermo. Calcolare la corrispondente velocità angolare del disco. Calcolare l’angolo di cui ha ruotato il disco. Verificare che il lavoro fatto dalla tensione sul disco è uguale alla variazione della sua energia cinetica. Applicazione Rv x y P Ricordiamo il valore della tensione T determinato precedentemente (T=5.96N) Per il teorema delle forze vive:

Un cilindro di massa 2 kg può ruotare attorno al proprio asse (longitudinale) passante per O. Nel piano della sezione rappresentata nella figura sono applicate quattro forze, aventi le intensità F e le distanze r dal centro riportate in tabella. Trovare l’intensità e il verso dell’accelerazione angolare del cilindro, ammettendo che, durante il moto, le forze mantengano la orientazione rispetto al cilindro. Applicazione L’equazione del moto: L’accelerazione è diretta in verso antiorario

Una riga di lunghezza L=1m, è messa in posizione verticale, appoggiata al pavimento e quindi lasciata cadere. Trovate la velocità dell’estremità superiore quando colpisce il pavimento, ammettendo che l’estremità inferiore non slitti Applicazione Possiamo considerare la riga come una sbarretta sottile. Il moto di caduta può essere immaginato come un moto di rotazione attorno ad un asse passante per il punto di contatto O. Le forze agenti sono la forza peso, la normale e la forza di attrito (statico) che mantiene fermo il punto di contatto. Possiamo applicare la conservazione dell’energia: P N Fa O U=0

Un corpo rigido è formato da tre asticelle sottili identiche di lunghezza L, unite tra loro in modo da assumere una forma ad H come mostrato in figura. L’insieme è libero di ruotare intorno ad una asse orizzontale fosso che coincide con una delle gambe della H. Partendo da una posizione di riposo in cui il piano della H è orizzontale, il sistema è lasciato libero di cadere. Qual è la velocità angolare del corpo quando il piano della H arriva in posizione verticale? Applicazione P Rv Proviamo ad applicare la conservazione dell’energia Le forze agenti sono il Peso e la reazione vincolare applicata dall’asse di rotazione: U=0 Asse di rotazione Dobbiamo calcolare il momento di inerzia dell’H rispetto all’asse di rotazione

Un corpo rigido è formato da tre asticelle sottili identiche di lunghezza L, unite tra loro in modo da assumere una forma ad H come mostrato in figura. L’insieme è libero di ruotare intorno ad una asse orizzontale fosso che coincide con una delle gambe della H. Partendo da una posizione di riposo in cui il piano della H è orizzontale, il sistema è lasciato libero di cadere. Qual è la velocità angolare del corpo quando il piano della H arriva in posizione verticale? Applicazione I1 I2 I3 La velocità angolare vale dunque:

Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a una ruota di massa M=10kg e raggio R=0.30 m, nel modo come indicato in figura. La ruota rotola senza strisciare sulla superficie orizzontale, e l’accelerazione del suo centro di massa è 0.60 m/s2. Quali sono l’intensità ed il verso della forza di attrito sulla ruota Qual è il momento di inerzia della ruota intorno all’asse di rotazione passante per il suo centro? Applicazione Dal teorema del centro di massa: N x y F Fas P per la rotazione

Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a un cilindro di massa M=10kg e raggio R=0.20 m, attraverso una corda avvolta sul cilindro nel modo come indicato in figura. Il cilindro rotola senza strisciare sulla superficie orizzontale. Determinare: l’accelerazione del suo centro di massa. L’intensità ed il verso della forza di attrito necessario per assicurare il moto di puro rotolamento Il minimo coefficiente di attrito tra il cilindro e il piano orizzontale . Applicazione Supponiamo che la forza di attrito statico sia diretta in verso opposto alla forza applicata F, salvo ricrederci se risolvendo il problema ci risultasse un modulo negativo. x y P N Fas F Dal teorema del centro di massa: La rotazione attorno al centro di massa:

Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a un cilindro di massa M=2kg e raggio R=0.20 m, attraverso una corda avvolta sul cilindro nel modo come indicato in figura. Il cilindro rotola senza strisciare sulla superficie orizzontale. Determinare: l’accelerazione del suo centro di massa. L’intensità ed il verso della forza di attrito necessario per assicurare il moto di puro rotolamento Il minimo coefficiente di attrito tra il cilindro e il piano orizzontale . Applicazione x y P N Fas F Ricavando la forza di attrito statico dalla prima e sostituendo: Il fatto di aver trovato il modulo della forza di attrito negativa, vuol dire che la nostra ipotesi iniziale circa il verso della Fas era sbagliato.

Un cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di di 30 ° Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano? Applicazione i f Consideriamo dapprima il moto di puro rotolamento sul tetto Le forze agenti sono la forza peso, la Normale, la forza di attrito statico. Possiamo trovare la velocità finale utilizzando la conservazione dell’energia meccanica totale L U=0

Un cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di di 30 ° Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano? Applicazione i f L U=0 La condizione di puro rotolamento: Il momento di inerzia del Cilindro:

Un cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di di 30 ° Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano? Applicazione y Affrontiamo ora la seconda parte del problema. Dobbiamo innanzitutto calcolarci il modulo della velocità del CM Usiamo la condizione di puro rotolamento: v La velocità è diretta come mostrato in figura. Quando il cilindro abbandona il tetto, il moto del suo centro di massa è come il moto del proiettile. Facendo ripartire l’orologio al momento del distacco,le condizioni iniziali sono: x

Un cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di di 30 ° Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano? Applicazione Determiniamo l’istante di impatto al suolo imponendo che y sia nulla: y v La soluzione negativa è da scartare. La distanza a cui atterrerà: x Si osservi che la velocità di rotazione attorno all’asse passante per il centro di massa rimane costante dal momento del distacco fino all’impatto al suolo. L’unica forza esterna agente, la forza peso, essendo applicata al CM, ha momento assiale nullo rispetto all’asse di rotazione.

Un corpo di massa m e raggio R rotola senza strisciare a velocità v su un piano orizzontale. Prosegue rotolando su per una rampa fini ad una altezza massima h Se h=3v2/(4g), qual è il momento di inerzia del corpo rispetto all’asse passante per il centro di massa? Di che tipo di corpo si tratta? Applicazione Le forze agenti sono: il peso, la normale e la forza di attrito. Possiamo applicare la conservazione dell’energia v h Da cui: Si tratta di un cilindro

Nella figura vediamo una scala dei pompieri di lunghezza L=12 m e massa m=45 kg appoggiata con l’estremità superiore ad un muro privo di attrito, ad una altezza h=9.3 m dal suolo. Il suo centro di massa si trova a un terzo della sua lunghezza. Un vigile del fuoco con massa M=72 kg si arrampica per la scala fino a che il suo centro di massa si trova a metà della scala. Quali forze esercitano, in modulo il muro ed il terreno? Applicazione In problemi di questo tipo tutte le forze sono contenute nel piano del disegno Il problema diventa un problema piano con solo tre gradi di libertà Moto lungo l’asse x Moto lungo l’asse y Rotazione attorno all’asse z Le condizioni di equilibrio si trovano imponendo che La componente x della risultante delle forze sia nulla La componente y della risultante delle forze sia nulla Il momento assiale Mz sia nullo Si osservi che scegliendo un polo sul piano che contiene le forze, i rispettivi momenti hanno solo la componente z.

Nella figura vediamo una scala dei pompieri di lunghezza L=12 m e massa m=45 kg appoggiata con l’estremità superiore ad un muro privo di attrito, ad una altezza h=9.3 m dal suolo. Il suo centro di massa si trova a un terzo della sua lunghezza. Un vigile del fuoco con massa M=72 kg si arrampica per la scala fino a che il suo centro di massa si trova a metà della scala. Quali forze esercitano, in modulo il muro ed il terreno? Applicazione NB: per il calcolo di Mz si può scegliere un punto qualsiasi del piano. Scegliendo il punto O ci siamo evitato di calcolare due momenti quello di Ftx e quello di Fty NB: non ci può essere equilibrio senza attrito sul pavimento

Nella situazione della figura, qual è l’intensità minima della forza orizzontale F da applicare al mozzo della ruota per superare un ostacolo di altezza h? Sia r il raggio della ruota ed m la sua massa. Applicazione Se aumentiamo la forza F da zero fino a quando la ruota non supera l’ostacolo Quando la forza applicata è piccola la situazione della altre forze agenti è quella illustrata nella figura accanto Un attimo prima che la ruota si mette in movimento la situazione è quella illustrata nella figura in basso La normale N è diventata nulla (perdita di contatto) Equilibrando i momenti rispetto allo spigolo P Rv N Rv P

Un disco di grammofono di raggio r=0 Un disco di grammofono di raggio r=0.10 m gira intorno ad un asse centrale verticale alla velocità di 4.7 rad/s. Il suo momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione vale 5.0x10-4 kgm2. Un pezzetto di stucco di massa 0.020 kg cade dall’alto verticalmente sul disco e si appiccica sul bordo. Qual è la velocità angolare del disco subito dopo che lo stucco si è attaccato? Applicazione L’urto è un urto anelastico, dopo l’urto i due oggetti si muovono restando attaccati Le forze esterne presenti sono le forze peso del disco e dello stucco più la reazione vincolare esercitata dall’asse di rotazione Proprio la presenza della reazione vincolare non consente la conservazione della quantità di moto Poiché la reazione vincolare, impulsiva, è applicata all’asse di rotazione, ha momento assiale nullo rispetto all’asse di rotazione. Anche le altre forze esterne presenti, le forze peso, essendo verticali hanno momento assiale nullo rispetto all’asse di rotazione Quindi si conserva il momento angolare assiale Lz. z v w O

Una palla di acciaio di massa m 0 Una palla di acciaio di massa m 0.515 kg è attacca ad una sbarra, di massa pari a 0.515 kg e lunghezza L=70 cm, il cui altro estremo è incernierato ad un asse orizzontale passante per il punto O. Il sistema composto dalla palla e dalla sbarra può ruotare liberamente attorno all'asse orizzontale passante per O. La palla viene lasciata libera quando la sbarra è orizzontale. Come mostrato in figura nel punto più basso della sua traiettoria la palla colpisce un blocco di acciaio di 2.50 kg stazionario su un piano privo di attrito. L'urto è elastico. Applicazione Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. La densità dell'acciaio è 7.87 g/cm3. Il momento di inerzia di una sfera omogenea rispetto ad un suo diametro è 2/5 mr2 y x

Applicazione Trovare y Si possono distinguere varie fasi mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y Si possono distinguere varie fasi Caduta dalla posizione orizzontale iniziale alla posizione verticale Urto con il blocco Fase successiva all’urto (palla che riparte dalla posizione verticale e ruota attorno all’asse di rotazione, blocco che si allontana dalla posizione che aveva prima dell’urto. Lo studio della prima fase ci permette di determinare la velocità angolare della sbarra+palla prima dell’urto Durante il moto di caduta agisce la forza peso e la reazione vincolare Possiamo applicare la conservazione dell’energia U=0 x Dobbiamo calcolarci il raggio della palla e il momento di inerzia I complessivo rispetto all’asse di rotazione

Applicazione Trovare y Il raggio della palla U=0 x mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y Il raggio della palla U=0 x

Applicazione Trovare y applichiamo la conservazione dell’energia: U=0 mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 R=0.025 m I=0.354kgm2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y applichiamo la conservazione dell’energia: U=0 x

Applicazione Trovare y mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 R=0.025 m I=0.354kgm2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y w =19.1rad/s Abbiamo determinato la velocità angolare della sbarra immediatamente prima dell’urto Possiamo passare alla soluzione della seconda fase, l’urto vero e proprio. Le forze esterne agenti sul sistema rigido sbarra-palla e sul blocco, l’insieme dei corpi che si urtano, sono: Le forze peso La reazione vincolare applicata dall’asse di rotazione al corpo rigido sbarra-palla La normale N esercitata dal piano orizzontale sul blocco Sia la reazione vincolare che la normale N possono diventare impulsive durante l’urto Dalla figura si vede che la forza interna che agisce sul blocco è orizzontale non influenza quello che avviene nella direzione verticale: Poiché la normale N necessariamente deve essere verticale, la normale N non è impulsiva x

Applicazione Trovare y mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 R=0.025 m I=0.354kgm2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y w =19.1rad/s Per quanto riguarda la reazione vincolare invece L’unico vincolo che possiamo porre alla sua direzione è che deve esser perpendicolare al vincolo (all’asse di rotazione) Quindi può benissimo avere delle componenti orizzontali La reazione vincolare può avere un comportamento impulsivo Non possiamo applicare la conservazione della quantità di moto Osserviamo che il momento assiale della reazione vincolare è nullo (il braccio è nullo) Allora si conserva il momento angolare assiale!! x

Applicazione Trovare y mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 R=0.025 m I=0.354kgm2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y w =19.1rad/s Calcolo del momento angolare assiale del blocco dopo l’urto: x La direzione è perpendicolare al piano del disegno Il verso è quello dell’asse z La componente assiale è proprio uguale al modulo del momento

Applicazione Trovare y mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 R=0.025 m I=0.354kgm2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y w =19.1rad/s Abbiamo potuto affermare che nell’urto si conserva il momento angolare assiale: x

Applicazione Trovare y mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 R=0.025 m I=0.354kgm2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y w =19.1rad/s Poiché sappiamo che l’urto è elastico, allora nell’urto si conserva anche l’energia cinetica. x

Applicazione Trovare y Ricapitolando x mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 R=0.025 m I=0.354kgm2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y w =19.1rad/s Ricapitolando x Abbiamo due equazioni in due incognite, v’ e w’. Non abbiamo bisogno di altre equazioni per trovare la soluzione Conviene comunque eliminare i quadrati dalla seconda equazione Riscriviamo il sistema nella seguente forma: Dividendo la seconda per la prima: Sostituendo nella prima

Applicazione Trovare y Sostituendo x mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 R=0.025 m I=0.354kgm2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y w =19.1rad/s Sostituendo x Il fatto che w’ sia negativa significa che nell’urto il corpo rigido sbarra-palla inverte il moto e torna indietro.

Applicazione Trovare y mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 R=0.025 m I=0.354kgm2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y w =19.1rad/s Infine valutiamo il valore della reazione vincolare subito prima (e poi subito dopo) l’urto. Subito prima dell’urto la situazione è quella mostrata in figura L’equazione che contiene la reazione vincolare è il teorema del centro di massa applicato al corpo rigido sbarra-palla x Poiché il peso è noto se noi conoscessimo l’accelerazione del centro di massa potremmo determinare la reazione vincolare Il centro di massa della sbarra si muove su una traiettoria circolare con centro sull’asse di rotazione Sarà soggetto ad una accelerazione centripeta e una accelerazione tangenziale

Applicazione Trovare y x mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 R=0.025 m I=0.354kgm2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y w =19.1rad/s x Noi abbiamo già calcolato w nella posizione desiderata a invece la possiamo calcolare attraverso l’equazione del moto di rotazione attorno ad un asse fisso Osserviamo che nella posizione considerata a è nulla perché Mz è nullo Dobbiamo calcolarci rCM la distanza del CM dall’asse di rotazione. Calcoliamoci yCM ponendo l’origine dell’asse y proprio in corrispondenza dell’asse di rotazione

Applicazione Trovare y x mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 R=0.025 m I=0.354kgm2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y w =19.1rad/s x Osserviamo che nella posizione considerata a è nulla perché Mz è nullo Proiettando sugli assi x e y

Applicazione Trovare y x mpalla =0.515 kg msbarra =0.515 kg mblocco =2.50 kg L=70 cm Densità acciaio= 7.87 g/cm3 Isfera= 2/5 mr2 R=0.025 m I=0.354kgm2 Trovare la velocità della palla e la velocità del blocco subito dopo l'urto. La reazione vincolare esercitata dall'asse di rotazione sulla sbarra subito prima e subito dopo l'urto. Applicazione y w =19.1rad/s x Possiamo concluder questo esercizio valutando l’impulso della reazione vincolare durante l’urto Dalla definizione di impulso sappiamo che

Un tondino di acciaio da costruzione ha raggio R=9 Un tondino di acciaio da costruzione ha raggio R=9.5 mm e lunghezza L =81 cm. Una forza di modulo 6.2 x104 lo tira longitudinalmente. Qual è lo sforzo nel tondino? Quanto l’allungamento e la sua deformazione? Applicazione La sezione del tondino è data da: Lo sforzo: La deformazione: L’allungamento:

A che profondità bisogna immergersi in mare perché la pressione raddoppi rispetto a quella in superficie Applicazione Dalla legge di Stevino ricaviamo che la pressione alla profondità h in un liquido conoscendo quella in superficie Po, è data da: Vogliamo trovare h* in modo che P sia uguale a 2Po. Da cui: h Ogni 10 m di profondità la pressione aumenta di un atmosfera Se al posto dell’acqua c’è un gas, la densità del gas è circa 1000 volte più piccola di quella dell’acqua Alla profondità di 10 m in un gas la pressione sarebbe cambiata solo di 1 millesimo di atmosfera Per recipienti di piccolo volume, entro i 10 m di profondità, possiamo considerare la pressione costante in tutto il recipiente.