Il corpo rigido È un particolare sistema di punti materiali in cui le distanze, tra due qualunque dei suoi punti, non variano nel tempo un corpo rigido non subisce alcuna deformazione anche se sottoposto a sollecitazioni estremamente elevate. Il corpo rigida conserva la sua forma. I corpi solidi possono, in prima approssimazione, essere considerati rigidi. Il corpo rigido è un’astrazione: in natura non ci saranno mai corpi perfettamente rigidi Ci saranno corpi il cui comportamento, in particolari condizioni, può essere descritto come quello di un corpo rigido. Un corpo rigido non può avere moti caratterizzati da una variazione delle dimensioni del corpo stesso (vibrazioni, maree, etc.) continuo Infiniti punti discreto n numero di punti

Le equazioni a disposizione Corpo rigido = sistema di punti materiali: I e II legge della dinamica dei sistemi. Due equazioni vettoriali Equivalenti a sei equazioni scalari Poiché le distanze tra due punti qualsiasi di un corpo rigido si mantengono costanti Il lavoro delle forze interne è nullo. Il teorema delle forze vive diventa:

La terna solidale E’ una terna con origine in un particolare punto del corpo rigido e assi che passano per punti fissi del corpo rigido x’ y’ O’ Terna solidale L’asse z’ è perpendicolare alla figura uscente dal foglio. P corpo rigido Ogni punto del corpo rigido, proprio per la definizione del corpo rigido, occupa una posizione fissa in questa terna. Descrizione del moto di un CR: trovo la posizione di tutti i punti del CR all’istante di tempo iniziale to rispetto alla terna solidale (questa posizione è costante modulo direzione e verso) trovo la posizione della terna solidale in un istante successivo t. Utilizzando la posizione di ciascun punto del CR rispetto alla terna solidale determinata all’istante iniziale, posso determinare la posizione di ciascun punto all’istante t.

I moti del corpo rigido: la traslazione x’ y’ O’ P CM Traslazione Le orientazioni degli assi della terna solidale rimangano costanti (gli assi si muovono mantenendosi paralleli a se stessi) Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello stesso intervallo di tempo Spostamento che è lo stesso di quello subito dal centro di massa Tutti i punti sono fermi rispetto al centro di massa È sufficiente determinare il moto del centro di massa, utilizzando la I equazione cardinale della dinamica dei sistemi. La II equazione richiede che il momento risultante valutato rispetto al centro di massa sia nullo.

I moti del corpo rigido: la rotazione x’ y’ O’ P x’ y’ O’ P x’ y’ O’ P Rotazione Le orientazioni degli assi della terna solidale non rimangono costanti Esiste un insieme di punti, allineati su una retta, che rimangono fermi Asse di rotazione (asse fisso) L’asse z’ nel caso dell’animazione x’ y’ O’ P x’ y’ O’ P x’ y’ O’ P x’ y’ O’ P x’ y’ O’ P Tutti i punti si muovono su traiettorie circolari attorno all’asse di rotazione Il piano della traiettoria è perpendicolare all’asse di rotazione Il centro della traiettoria circolare è il punto comune dell’asse di rotazione e del piano della traiettoria Tutti i punti subiscono lo stesso spostamento angolare nello stesso intervallo di tempo Tutti i punti si muovono con la stessa velocità ed accelerazione angolare rispetto all’asse di rotazione x’ y’ O’ P Dq

I moti del corpo rigido: la rotazione La velocità di ciascun punto è tangente alla traiettoria circolare Il modulo della velocità è proporzionale alla distanza del punto considerato dall’asse di rotazione Dq x’ y’ O’ P v Anche l’accelerazione tangenziale è proporzionale alla distanza dall’asse di rotazione Così come lo è l’accelerazione centripeta

Applicazione Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/min Qual è la sua velocità angolare in rad/s? Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano? Qual è l’accelerazione centripeta di un punto sul bordo del volano? Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano? Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano? Quanti giri compirà in questi 60 s?

Applicazione Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/min Qual è la sua velocità angolare in rad/s? Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano? Qual è l’accelerazione centripeta di un punto sul bordo del volano? Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano? Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano? Quanti giri compirà in questi 60 s?

I moti del corpo rigido: la rotatraslazione x’ y’ O’ P x’ y’ O’ P Rototraslazione In generale il moto di un corpo rigido sarà la composizione di un moto di traslazione più un moto di rotazione Attenzione: non è detto che l’asse di rotazione si mantenga fisso Esso può cambiare sia in posizione che in orientazione x’ y’ O’ P x’ y’ O’ P x’ y’ O’ P x’ y’ O’ P x’ y’ O’ P x’ y’ O’ P Un moto comunque complesso può sempre essere immaginato come la sovrapposizione del moto del CM (I equazione cardinale) Più un moto di rotazione attorno al centro di massa (II equazione cardinale) Noi non affronteremo il caso generale Ci occuperemo del moto di rotazione attorno ad un asse fisso Moto di puro rotolamento (il moto delle ruote)

I gradi di libertà del corpo rigido Le equazioni a disposizione sono sufficienti a risolvere il moto del corpo rigido? Quante coordinate ci servono per individuare la posizione del corpo rigido nello spazio? Abbiamo detto che la posizione nello spazio di un CR è determinata se conosciamo la posizione nello spazio della terna solidale! Osserviamo che per conoscere la posizione della terna basta fornire le posizioni dell’origine O’ del punto P1 sull’asse x’ e del punto P2 sull’asse y’. Con questi tre punti si determinerà la posizione dell’origine e i due assi x’, y’. L’asse z’ sarà automaticamente determinato dovendo passare per l’origine ed essere perpendicolare agli altri due. Occorrono dunque nove coordinate (tre per ciascun punto) Ma i tre punti non sono liberi di assumere delle posizioni arbitrarie Facendo parte del CR le loro mutue distanze devono restare costanti! x’ y’ O’ P2 CM P1

I gradi di libertà del corpo rigido Esistono quindi tre relazioni tra le nove coordinate dei punti O’, P1 e P2. Quindi solo sei di esse possono essere scelte in maniera indipendente. Una volta scelte le prime sei le ultime tre vengono determinate dalle relazioni tra le coordinate. I gradi di libertà di un corpo rigido, ossia le coordinate indipendenti sono solo sei (nove complessive meno tre relazioni) x’ y’ O’ P2 CM P1 D’altro lato abbiamo a disposizione 6 equazioni La prima e la seconda equazione cardinale Sei equazioni e sei coordinate da determinare Dovrebbero essere sufficienti per descrivere il moto di un corpo rigido.

Moto di rotazione attorno ad un asse fisso: determinazione dell’energia cinetica Consideriamo un corpo rigido discreto (fatto da n punti materiali) in rotazione attorno ad un asse fisso. Tutti i punti si muovono attorno all’asse con la stessa velocità angolare. Consideriamo l’i-esimo punto materiale. Il mdulo della sua velocità: La sua energia cinetica: L’energia cinetica di tutto il sistema: Momento di inerzia

Il momento di inerzia di un corpo rigido rispetto all’asse di rotazione mi = massa della i-esima particella Ri = distanza dell’i-esima particella dall’asse di rotazione Il momento di inerzia dipende dalle masse dei punti che costituiscono il corpo rigido Ma soprattutto dalla distribuzione della massa attorno all’asse di rotazione Per i corpi continui: dm = massa contenuta nell’elemento infinitesimo dV dm=rdV R = distanza dell’elemento dV dall’asse di rotazione Per un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso, l’energia cinetica è data da:

Momento di inerzia di un punto materiale di massa M Consideriamo la situazione in figura: Applichiamo la definizione:

Momento di inerzia di un anello omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse Consideriamo la situazione della figura: Supponiamo che l’anello ruoti attorno un asse, perpendicolare all’anello passante per il suo centro (asse dell’anello). Indichiamo con l la densità lineare dell’anello: Consideriamo un elemento dell’anello: a cui corrisponde la massa: Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui: I=MR2 come se la massa dell’anello fosse concetrata in un punto materiale a distanza R dall’asse.

Momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse Consideriamo la situazione di figura: Supponiamo che il disco ruoti attorno un asse, perpendicolare al disco passante per il suo centro (asse del disco). Indichiamo con s la densità superficiale del disco: Suddividiamo il cerchio in tante corone circolari infinitesime e concentriche di spessore dr. A tutti gli effetti può essere considerato un anello di massa: a cui corrisponde un momento di inerzia: Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui:

Momento di inerzia di un cilindro omogeneo di massa M e raggio R e altezza h rispetto al proprio asse Consideriamo la situazione di figura: Supponiamo che il cilindro ruoti attorno al proprio asse. Indichiamo con r la densità del cilindro: Suddividiamo il cerchio in tanti strati infinitesimi infinitesime di altezza dz. A tutti gli effetti ogni strato può essere considerato un disco di massa: a cui corrisponde un momento di inerzia: Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui: Come il disco

Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per un estremo Consideriamo la situazione della figura: Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per un suo estremo. Indichiamo con l la densità lineare della sbarra. Introduciamo un sistema di riferimento come in figura Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, indichiamo con x la coordinata del primo estremo dell’elemento infinitesimo La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per il centro Consideriamo la situazione della figura: Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per il suo centro. Indichiamo con l la densità lineare della sbarra. Introduciamo un sistema di riferimento come in figura Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, indichiamo con x la coordinata del primo estremo dell’elemento infinitesimo La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

Tabella riassuntiva

Il teorema di Steiner y’ il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualunque è uguale alla somma del momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa e di un termine pari al prodotto della massa totale del corpo per la distanza al quadrato tra i due assi: y mi yi y’i R’i Ri CM x’i x’ h b a xi P x

Il teorema di Steiner Dimostriamo per un CR discreto: y’ y mi yi y’i Distanza del punto i-esimo dall’asse di rotazione passante per il CM Distanza del punto i-esimo dall’asse di rotazione passante per il punto P R’i Ri CM x’i x’ h b a xi P x

Verifica del teorema di Steiner Momento di inerzia di una sbarra rispetto all’asse della sbarra Momento di inerzia di una sbarra rispetto ad un asse passante per un estremo Verifica del teorema di Steiner

Applicazione Ciascuna delle tre pale del rotore di un elicottero, mostrate in figura , è lunga 5.20m ed ha una massa di 240 kg Qual è il momento di inerzia del rotore rispetto all’asse di rotazione? (le pale possono essere considerate come asticelle sottili) Qual è l’energia cinetica rotazionale del rotore alla velocità angolare di 350 giri/min?

L’elemento oscillante di un pendolo è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro. Determinare il momento di inerzia rispetto ad un asse perpendicolare all figura passante per l’estremo superiore della sbarretta. Applicazione x y Asse di rotazione