Dall’ugello della doccia sgocciola l’acqua cadendo sul fondo posto 2 Dall’ugello della doccia sgocciola l’acqua cadendo sul fondo posto 2.00 m più in basso. Le gocce cadono ad intervalli regolari. La quarta goccia si stacca nel momento in cui la prima arriva la suolo. Trovare le posizioni della seconda e terza goccia in quell’istante. Applicazione Ogni quanto tempo cade una goccia? Nel tempo impiegato da una goccia a percorre i 2 metri di dislivello ne sono cadute 3 (sono trascorsi 3 intervalli). E’ essenziale capire quanto tempo una goccia impiega a percorrere i 2 metri tra l’ugello e il fondo. Studiamo il moto di una goccia: il moto è uniformemente accelerato, accelerazione di gravità. Facciamo partire il cronometro nell’istante in cui la goccia si stacca dall’ugello. Fissiamo un asse di riferimento verticale, orientato verso l’alto, con l’origine sul fondo. Con questa scelte le condizioni iniziali sono: xo=2m vxo=0m/s axo=-g=-9.81m/s2 l’accelerazione di gravità è diretta verso il basso

Applicazione La legge oraria della goccia sarà: L’istante tf in cui la goccia tocca il fondo si può calcolare imponendo che la posizione in quell’istante sia nulla: La durata del moto della goccia è dato da tf -ti Poiché ti è uguale a zero la durata è tf =.63s L’intervallo tra una goccia e la successiva è un terzo di questo valore Dt=.21s Per sapere dove si trovano le gocce due e tre nel momento in cui la prima tocca il fondo, basterà calcolare dove si trovava la goccia 1 dopo un Dt e dopo due Dt.

Per provare una palla da tennis la si lascia cadere da una altezza di 4.00 m dal pavimento. Rimbalza fino ad un altezza di 2.00 m. Se è stata in contatto con il suolo per 12.0 ms, qual è stata la sua accelerazione media durante il contatto. Applicazione La palla da tennis arriva al suolo con una velocità diretta verso il basso Poiché rimbalza verso l’alto, riparte dal suolo con una velocità diretta verso l’alto. C’è stata quindi una variazione di velocità. C’è stata una accelerazione! Fissiamo l’asse y di riferimento diretto l’alto, coincidente con la verticale passante per il punto di impatto, con l’origine nel punto di impatto. Occorre calcolare la velocità finale e quella iniziale sull’intervallo di tempo in cui la palla è a contatto con il suolo. La velocità iniziale è quella con cui arriva al suolo dopo la caduta di 4 m La velocità finale è quella con cui riparte dal suolo.

Il moto di caduta è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di gravità) Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far partire il cronometro nel momento del lancio, le condizioni iniziali valgono: yo= 4.00m voy=0m/s aoy=-g=-9.81m/s2 La legge oraria vale: L’istante in cui la palla raggiunge il suolo si ottiene imponendo che y(tf)=0 (va preso l’istante positivo, il suolo viene raggiunto dopo che la palla è partita) Applicazione La velocità in quell’istante sarà: Il valore che abbiamo trovato è il valore della velocità iniziale da utilizzare nella formula dell’accelerazione media.

Per calcolare la velocità finale da usare nella formula dell’accelerazione media dobbiamo studiare il moto di risalita. Anche il moto di risalita è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di gravità) Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far ripartire il cronometro nel momento in cui la palla lascia il suolo, le condizioni iniziali valgono: yo= 0.00m voy=? da determinare aoy=-g=-9.81m/s2 La legge oraria vale: Applicazione Ricavando il tempo dalla seconda eq. e sostituendo nella prima: Da cui:

Applicazione Abbiamo ottenuto l’espressione della velocità in funzione dalla posizione Il modulo della velocità a parità di posizione è lo stesso sia nel moto di risalita che in quello di discesa. Quando la coordinata y è 2m, il punto più in alto della traiettoria, la velocità è nulla: Possiamo ricavare voy: Ciò che abbiamo trovato è la velocità finale relativa all’intervallo di tempo in cui la palla è a contatto con il suolo. L’accelerazione media in questo intervallo di tempo vale dunque:

Accelerazione in funzione della posizione In alcuni casi l’accelerazione è nota in funzione della posizione del punto materiale ax(x). Quindi non si conosce direttamente ax (t), ma la dipendenza dal tempo è nota solo attraverso la legge oraria x(t), ax (x(t)). L a definizione di accelerazione ci dice che in ogni intervallo infinitesimo dt, il rapporto tra la variazione di velocità dvx e l’intervallo di tempo dt è proprio uguale all’accelerazione. Indichiamo con dx lo spostamento infinitesimo subito dal punto materiale nell’intervallo di tempo dt Se il corpo non è fermo, dx sarà in generale piccolo (infinitesimo) ma diverso da zero. Possiamo allora moltiplicare entrambi i membri dell’equazione precedente per dx

Accelerazione in funzione della posizione Otteniamo che in ogni intervallo infinitesimo dt vale la seguente uguaglianza: Osservando che dx/dt è la velocità vx, si ottiene: Sommando su tutti gli intervalli infinitesimi in cui abbiamo suddiviso l’intervallo di osservazione del moto, otteniamo: Integriamo il primo membro: La variabile di integrazione è vx La funzione integranda è f(vx)= vx La primitiva F(vx)= v2x/2

Accelerazione in funzione della posizione Pertanto: In conclusione otteniamo: Naturalmente per integrare il secondo membro doppiamo conoscere l’espressione di ax(x). Esaminiamo il caso in cui l’accelerazione ax(x) è costante, ax(x)= axo. Chiamando, come al solito, vxi=vxo, xi=xo, xf=x(t) e vxf=vx(t) Che ci da l’espressione di v in funzione di x Da confrontare con quanto abbiamo già trovato nel moto di caduta dei gravi.

La misura di g L’apparato sperimentale consiste in 12 coppie di fotocellule -fotodiodi poste a distanza di 4 cm l’una dall’altra lungo la verticale. Una pallina viene fatta cadere tra le fotocellule Si misurano 11 intervalli di tempo impiegati dalla pallina per percorrere lo spazio tra due fotocellule successive. Conoscendo la distanza tra due fotocellule successive si possono misurare 11 valori di velocità media Dy Dt1 Dt2 Dt3

Relazione tra la velocità media e la velocità istantanea Il moto viene studiato in un sistema di riferimento con l’asse y orientato verso il basso Supponendo di far partire la misura dei tempi quando la pallina passa davanti alla prima fotocellula, che viene anche assunto come origine del sistema di riferimento, le equazioni del moto sono: vyo è la velocità con cui la pallina arriva alla prima fotocellula: Non è nulla se la pallina viene fatta cadere da un po’ più in alto. Calcoliamoci la velocità media tra gli istante t1 e t2 (t2>t1) Dalla definizione

Relazione tra la velocità media e la velocità istantanea Proseguendo: la velocità media tra gli istante t1 e t2 è uguale alla velocità istantanea nel istante di mezzo dell’intervallo stesso. Si osservi che questo risultato dipende dal fatto che la velocità varia linearmente con il tempo t1 t2

La misura di g Allora mi calcolo gli istanti di tempo corrispondenti alla metà di ciascun intervallo di tempo: Riporto in un grafico i valori della velocità media in ciascun intervallo di tempo (= alla velocità istantanea al tempo intermedio) in corrispondenza del tempo intermedio Risultato: mi costruisci il grafico della velocità istantanea Dalla teoria so che i punti devono essere allineati su una retta di pendenza g Mi calcolo, con un fit, la pendenza della retta ed ottengo g

Osservazioni sulla prova Si osservi come l’errore nella misura dei tempi si ripercuote maggiormente sugli intervalli di tempo più piccoli. Limitarsi a considerare solo i primi intervalli di tempo (più lunghi) per fare la misura di g Ripetere la prova diverse volte, ed ottenere g come media delle varie misure e diminuire così l’errore casuale. Verificare se le varie misure si distribuiscono secondo una curva a campana. E’ stato raggiunto il limite degli errori casuali? Siamo affetti da errori sistematici ? Come si può fare a stimare l’errore sistematico L’orologio è tarato bene?

Il moto smorzato Il moto smorzato si verifica quando l’accelerazione è proporzionale all’opposto della velocità. ax=-bvx con b numero reale positivo. L’analisi dimensionale ci dice che b ha le dimensioni di un tempo alla meno uno e, nel SI, si misura in s-1. Un’ accelerazione di questo tipo si ottiene quando un corpo si muove in un fluido (liquido, gas). Supponiamo quindi di lanciare con una velocità iniziale non nulla vxo un corpo in una regione di spazio in cui l’accelerazione è proporzionale all’opposto della velocità. (per esempio moto di una barca su acque tranquille dopo aver smesso di remare) Possiamo scrivere la seguente equazione differenziale: Si vede che la funzione vx(t)=0 è una soluzione dell’equazione differenziale, essa però non soddisfa al problema delle condizioni iniziali: non è la soluzione che va bene per noi La nostra soluzione non è identicamente nulla.

Il moto smorzato Se la soluzione non è identicamente nulla, esistono degli intervalli di tempo in cui vx è diversa zero. Limitandoci a tali intervalli di tempo possiamo dividere ambi i membri per vx e moltiplicarli per dt Equazione differenziale a variabili separabili. In ciascuno degli infiniti intervalli infinitesimi dt, in cui abbiamo suddiviso l’intero intervallo di osservazione del moto, la variazione di velocità subita dal punto materiale diviso per la sua velocità è uguale all’opposto del prodotto della costante b per dt. L’uguaglianza continuerà a valere anche quando sommo sugli infiniti intervalli infinitesimi di tempo: i ed f rappresentano gli istanti iniziale e finale dell’intervallo di osservazione del moto, i coincide con t=0s, f con il generico istante t

Il moto smorzato Variabile di integrazione vx Funzione integranda 1/ vx Primitiva log(vx) Integriamo il primo membro: Integriamo il secondo membro: Otteniamo: Oppure: L’espressione della velocità in funzione del tempo.

Il moto smorzato - studio del grafico della velocità Abbiamo ottenuto per la velocità l’espressione: Indichiamo con t=1/b la costante di tempo del moto, t corrisponde infatti ad un intervallo di tempo. In termini di t la velocità diventa: 5t t

Il moto smorzato - studio del grafico della velocità Si noti che, se vxo è diversa da zero, la velocità vx(t) è diversa da zero per tutti gli istanti di tempo tra 0s ed infinito. A posteriori si giustifica dunque la divisione per vx. La velocità diminuisce con il passare del tempo Essa diminuisce di un fattore e=2.718 quando t aumenta di una costante di tempo Tende zero per t che tende all’infinito In realtà dopo 5 costanti di tempo il valore della velocità si è ridotto a meno dell’un % del valore iniziale. La tangente al grafico all’istante iniziale (l’accelerazione iniziale) taglia l’asse delle ascisse in un punto di ascissa pari a 1 costante di tempo. Questo è particolarmente utile quando si deve disegnare a mano un esponenziale. Conviene prima disegnarsi la retta tangente al grafico nell’istante t=0s e poi, lasciandosi guidare dalla retta tangente si disegna la curva.

Il moto smorzato: la legge oraria Abbiamo ricavato l’espressione della velocità in funzione del tempo: possiamo quindi risalire alla legge oraria. Si ottiene: Per t che tende ad infinito x(t) tende ad xo+vxot

Il moto smorzato: la legge oraria vxot 5t

Il moto smorzato: la velocità in funzione della posizione Partiamo dalla definizione dell’accelerazione e cerchiamo di eliminare il tempo. Moltiplicando ambo i membri per dx Integrando Da cui: La velocità si annulla quando x raggiunge la sua posizione limite: