Distribuzione sferica uniforme Per i punti esterni, ci ritroviamo nelle stesse condizioni del guscio sferico: Il campo elettrico, per punti esterni alla distribuzione di carica, è uguale a quello di una carica puntiforme, pari alla carica totale, posta al centro della distribuzione r punto in cui si vuole determinare il campo elettrico

Distribuzione sferica uniforme Per i punti interni, solo la carica all’interno della superficie di Gauss va considerata I gusci esterni alla superficie di Gauss non contribuiscono al campo elettrico in P r punto in cui si vuole determinare il campo elettrico E r R

Distribuzione rettilinea uniforme La simmetria del problema in questo caso ci permette di affermare Il campo elettrico non può avere una componente parallela alla distribuzione Si creerebbe una asimmetria tra i due versi lungo la distribuzione Perciò giace nel piano perpendicolare alla distribuzione rettilinea di carica Nel piano perpendicolare è diretto radialmente tutti i punti equidistanti dalla distribuzione devono avere la stessa intensità del campo Il campo elettrico non può dipendere dalla coordinata lungo la distribuzione di carica Usiamo come superficie di Gauss una superficie cilindrica Concentrica con la distribuzione di carica Passante per il punto in cui si vuole calcolare il campo (raggio r) Di altezza arbitraria h Sulle basi il flusso è nullo (E perpendicolare a dS) Sulla superficie laterale (E parallelo a dS, E costante) l h r

Distribuzione piana In questo caso la simmetria del problema ci consente di affermare Il campo elettrico non può avere alcuna componente parallela alla distribuzione Perciò è diretto lungo la perpendicolare alla distribuzione piana L’intensità del campo elettrico non può dipendere dalle coordinate parallele alla distribuzione, ma, eventualmente, solo dalla distanza,r, del punto P dalla distribuzione. Il campo elettrico deve essere simmetrico in punti simmetrici che si trovano da parte opposta rispetto alla distribuzione r

Distribuzione piana Si sceglie come superficie di Gauss un cilindro con l’asse perpendicolare alla distribuzione di carica di area di base arbitraria A di altezza pari a 2r, due volte la distanza del punto P dalla distribuzione simmetrico rispetto alla distribuzione Il flusso attraverso la superficie laterale è nullo E è perpendicolare a dS Sulle basi E è parallelo e concorde con dS Il campo elettrico è costante in modulo, direzione e verso in ciascuno dei due semispazi determinati dalla distribuzione di carica Il campo elettrico è simmetrico rispetto alla distribuzione di carica

Doppia distribuzione piana Consideriamo due piani paralleli carichi con densità +s e -s rispettivamente A distanza arbitraria d tra di loro Determiniamo il campo elettrico in tutti i punti dello spazio con il principio di sovrapposizione Applicando Gauss abbiamo determinato il valore del campo elettrico per ciascuna delle due distribuzioni Il campo elettrico complessivo si otterrà sommando i valori dei ottenuti quando ciascuna distribuzione agisce separatamente

Moto di cariche in un campo elettrico Consideriamo un campo elettrico uniforme realizzato mediante due distribuzioni uniformi piane di carica, diretto lungo l’asse y Consideriamo una carica q che si muove con velocità v lungo l’asse x La particella subisce una forza Supponendo q positiva la forza sarà diretta come il campo elettrico Per q negativa avrebbe avuto verso opposto Applicando la seconda legge di Newton Proiettando lungo gli assi e tenendo conto delle condizioni iniziali (xo=0, yo=0, vox=v, voy=0) Il moto è simile al moto del proiettile (traiettoria parabolica) Questa tecnica viene utilizzata per deflettere gli elettroni negli oscillografi o per deflettere gocce di inchiostro nelle stampanti a getto di inchiostro Tempo impiegato a percorrere la zona in cui è presente il campo elettrico Deflessione all’uscita dal campo elettrico

L’energia potenziale elettrostatica Come la forza di gravitazione universale la forza di Coulomb è una forza centrale quindi è conservativa Energia potenziale della forza di gravitazione universale L’energia potenziale compete al sistema di cariche q1 q2. La carica q1, quando è da sola non possiede energia potenziale eo=8.85x10-12C2/Nm2 Il punto di riferimento si sceglie all’infinito Si assegna energia potenziale nulla all’infinito.

L’energia potenziale elettrostatica L’energia potenziale può essere interpretato come il minimo lavoro che bisogna effettuare per portare la carica q2 dall’infinito a distanza r dalla carica q1. Infatti, in condizioni quasi statiche, la forza applicata deve differire al più per un infinitesimo dalla forza di Coulomb Se scegliamo un cammino radiale Se le due cariche hanno lo stesso segno il lavoro fatto dalla forza applicata è positivo, così anche l’energia potenziale Se le due cariche hanno segno opposto il lavoro è negativo Così anche l’energia potenziale

L’energia potenziale della carica q in presenza di un sistema di cariche Se tutte le cariche sono al finito L’energia potenziale della carica q sarà dato dal lavoro necessario per portare la carica dall’infinito alla posizione iniziale oppure ri è la distanza della carica q dalla carica qi NB: questa non è l’energia potenziale del sistema di cariche Per calcolare questa energia va calcolato il lavoro necessario per costruire il sistema di cariche Prima si trasporta q1: il lavoro in questo caso è nullo perché non ci sono altre cariche Poi si trasporta q2: bisogna fare del lavoro contro la forza generata da q1. Poi si trasporta q3: anche in questo caso si fa del lavoro contro le forze generate da q1 e q2. Etc.

Il potenziale elettrostatico Così come abbiamo fatto nel caso del campo elettrico si definisce potenziale elettrostatico nel punto P, l’energia potenziale relativa alla carica q quando si trova in P diviso per la carica stessa Il potenziale elettrostatico è l’energia potenziale che spetterebbe alla carica unitaria posta nel punto considerato. Per una carica puntiforme q1 Per un sistema di n cariche: q1,q2,…,qn ri è la distanza del punto P considerato dalla carica qi

Legame tra il potenziale e il campo elettrico V(P1) ---> U(P1) = q V(P1) V(P2) ---> U(P2) = q V(P2) NB: poiché la forza elettrostatica è conservativa, l’integrale puo essere effettuato su qualunque traiettoria che connette P1 a P2 Se DV>0 allora per q>0 anche DU>0 ----> per la conservazione dell’energia DK<0 Se DV<0 allora per q>0 anche DU<0 ----> per la conservazione dell’energia DK>0 La carica q (positiva) si sposta spontaneamente verso punti a potenziale più basso, è necessaria una forza esterna per spostarla verso punti a potenziale più elevato

Definizione generale del potenziale L’espressione Può essere assunta come la definizione del potenziale elettrico Per determinare V(P) occorre fissare il punto di riferimento Po Ed assegnare un valore arbitrario al potenziale V(Po), solitamente “zero” Se tutte le cariche sono al finito Allora per Po si prende un punto all’infinito E si assegna potenziale zero ai punto all’infinito Se non tutte le cariche sono al finito Per esempio un una distribuzione lineare indefinita di carica Si prende per P un punto a distanza unitaria, 1m, dalla distribuzione di carica Si assegna potenziale zero a tale punto Nel caso di una distribuzione piana Si assegna potenziale 0 ad un punto della distribuzione

Superfici equipotenziali Il luogo dei punti aventi lo stesso potenziale Per una carica puntiforme Le superfici equipotenziali sono delle superfici sferiche con centro nella carica

Superfici equipotenziali e campo elettrico Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale. Consideriamo uno spostamento infinitesimo dr su una superficie equipotenziale: dr è tangente alla superficie equipotenziale. La variazione di potenziale dV sarà sempre uguale a zero per qualunque spostamento dr sulla superficie equipotenziale per le proprietà del prodotto scalare Le linee di forza sono perpendicolari alle superfici equipotenziali

Differenza di potenziale tra due distribuzione piane e parallele di carica Sappiamo che Il campo elettrico è perpendicolare alle distribuzioni di carica È costante in modulo È diretto dal piano positivo a quello negativo Le superfici equipotenziali sono dei piani paralleli alle distribuzioni Le due distribuzioni stesse sono equipotenziali Chiamiamo Vi il potenziale della distribuzione positiva e Vf quello della distribuzione negativa Applichiamo la definizione di differenza di potenziale Integriamo tra i ed f lungo una linea di forza del campo elettrico Con d la distanza tra le due distribuzioni Il potenziale della distribuzione negativa è più basso del potenziale della distribuzione positiva Il campo elettrico tra le distribuzioni vale volt/m

Calcolo del campo elettrico dal potenziale Supponiamo di conoscere il valore del potenziale in tutti i punti dello spazio È possibile determinare i valori del campo elettrico? Si, Consideriamo uno spostamento infinitesimo ds. La differenza di potenziale tra il punto iniziale e quello finale di ds ovviamente sarà infinitesima e varrà: Dalla definizione di prodotto scalare Derivata direzionale di V In generale

I conduttori in un campo elettrostatico Abbiamo identificato come conduttori quei materiali dotati di cariche in grado di muoversi all’interno del conduttore Quando il conduttore viene immerso in un campo elettrostatico, si ha uno spostamento delle cariche mobili È facile intuire quando si raggiunge una condizione stazionaria Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo Se così non fosse, il campo elettrico agirebbe sulle cariche mobili del conduttore accelerandole, contro l’ipotesi di condizione stazionaria Il campo elettrico immediatamente fuori al conduttore è perpendicolare al conduttore stesso (superficie equipotenziale) Un conduttore in condizioni stazionarie è equipotenziale

Localizzazione della carica sui conduttori in equilibrio Uu conduttore in equilibrio non ha accumuli di carica al suo interno. Dimostrazione Applichiamo il teorema di Gauss ad una qualunque superficie tutta interna al conduttore Sappiamo che nei conduttori in equilibrio il campo interno è nullo Il flusso del campo elettrico è nullo La carica interna alla superficie è nulla Questo vale per qualunque superficie all’interno del conduttore Conclusione Eventuali accumuli di carica sono localizzati sulla superficie del conduttore Caso del conduttore inizialmente neutro La densità di carica dipende dal raggio di curvatura locale, più piccolo è il raggio più grande è la densità effetto punta Superficie sferica = distribuzione uniforme Caso del conduttore inizialmente carico positivamente

Campo elettrico sulla superficie di un conduttore Sappiamo che il campo elettrico esterno è perpendicolare alla superficie del conduttore stesso Applichiamo il teorema di Gauss ad una superficie cilindrica di altezza infinitesima, con una base tutta all’interno del conduttore Solo la base esterna contribuisce al flusso Se l’area di base è piccola possiamo supporre costante il campo elettrico Il flusso è EA

Schermo elettrostatico Consideriamo un conduttore con una cavità Le due regioni delimitate dal conduttore La cavità Lo spazio all’esterno del conduttore sono completamente indipendenti dal punto di vista elettrostatico Le azioni elettriche non si trasmettono dalla cavità allo spazio esterno del conduttore e viceversa Variando la disposizione delle cariche all’esterno del conduttore non è rilevabile alcun effetto all’interno della cavità Viceversa variando la disposizione delle cariche all’interno della cavità non è rivelabile alcun effetto all’esterno del conduttore La carica complessiva sulla superficie della cavità è nulla (teorema di Gauss) Ma non ci possono neppure essere accumuli di carica (circuitazione di E) Variando la disposizione delle cariche esterne, le conclusioni precedenti restano immutate Anche se si fornisce una carica q al conduttore cavo, questa si distribuisce sulla superficie esterna del conduttore (cariche dello stesso segno tendono ad allontanarsi il più possibile), lasciando invariate le condizioni della cavità

Schermo elettrostatico Supponiamo ora di localizzare una carica q puntiforme all’interno della cavità di un conduttore cavo globalmente neutro Una carica uguale ma di segno opposto viene richiamata sulla superficie interna della cavità Per giustificare questa affermazione basta applicare il teorema di Gauss ad una superficie interna la conduttore che racchiuda la cavità Poiché il conduttore inizialmente era neutro, una carica dello stesso segno di quella posta nella cavità si affaccia sulla superficie esterna del conduttore Questa carica si distribuisce sulla superficie esterna sulla base delle altre cariche eventualmente presenti attorno al conduttore o, se se queste sono assenti, con una densità inversamente proporzionale al raggio di curvatura della superficie del conduttore Spostando la carica all’interno della cavità, la distribuzione delle cariche sulla superficie interna della cavità varia quella sulla superficie esterna del conduttore non cambia, nessun effetto legato agli spostamenti di cariche potrà essere notato all’esterno del conduttore cavo (effetto schermo)

Schermo elettrostatico con geometria sferica La figura mostra la sezione trasversale di un guscio sferico conduttore di raggio interno r. Una carica puntiforme di -5.0 mC viene posta ad una distanza di R/2 dal centro del guscio. Se il guscio è elettricamente neutro, quali sono le cariche indotte sulla superficie interna ed esterna? Queste cariche sono uniformemente distribuite? Qual è l’andamento del campo elettrico all’interno e all’esterno del guscio sferico?

Lastre conduttrici cariche a) b) Lastre conduttrici affacciate Avvicinando le due lastre non possiamo semplicemente applicare il principio di sovrapposizione Perché avvicinando le due lastre le cariche si spostano fino a raggiungere la configurazione della figura c Effetti di bordo Se le lastre non sono infinite, vicino ai bordi il campo elettrico non sarà costante come per lastre indefinite. Neppure le line di forza saranno delle rette parallele perpendicolare alla lastre La dimensione della zona in cui si ha uno scostamento dalla situazione ideale è dell’ordine della distanza tra le piastre