Esempio: Un sottile fascio luminoso monocromatico di 0 = 589 nm incide con angolo i = 30o su una lastra di vetro flint spessa h = 2 cm e con indice di rifrazione n = 1.66 ( a 0): determinare la posizione del fascio di uscita. La legge di Snell applicata alle due superfici della lastra: sin 2 = (1/n) sin 1; sin 3 = n sin2 da cui: 3 = 1: la lastra non altera la direzione di propagazione ma provoca uno spostamento laterale d: Ora: sin (1 - 2 ) = sin 1 cos 2 - cos 1 sin 2 e sin 2 = sin 1 /n si ottiene: Numericamente d = 4.53 mm. Se la luce non è monocromatica avviene il fenomeno della dispersione e lo spostamento d = d(): in uscita si hanno raggi paralleli di diverso colore. Misurando d() è possibile ricavare n().

Misura di n con prisma Calcolare l’indice di rifrazione n in funzione dell’angolo di deviazione minima m e dell’angolo di apertura  del prisma. In condizioni di deviazione minima la luce all’interno del prisma si propaga parallela alla base. Si ha:  = m/2, 1= /2, i= 1+ = ( +m)/2. Da Snell: sin i = n sin 1, sin ( +m)/2 = n sin /2 e: Misurato m e noto  si può calcolare l’indice di rifrazione: nel caso di liquidi si può utilizzare un prisma cavo di vetro riempito del liquido in esame

Esempio Un fascio di luce ordinaria di potenza P = 10 W incide con angolo  su una lastra piana di vetro con n = 1.5. Il fascio riflesso risulta polarizzato rettilineamente: Calcolare , la potenza del fascio riflesso e del fascio trasmesso. Calcoliamo per una sola superficie di discontinuità! L’unica condizione per cui per riflessione si origina un fascio polarizzato rettilineamente è la condizione di Brewster: tg B = 1.5; B = 56.31o; t = (B) = 33.69o. Per la componente σ con il campo elettrico perpendicolare al piano di incidenza , che trasporta la potenza P/2 la percentuale di potenza riflessa è: R = sin2(56.31 – 33.69) = 0.15 e quindi la potenza del fascio riflesso è: PR = (P/2) R = 0.74 W. Per la componente π con il campo elettrico parallelo al piano di incidenza non vi è componente riflessa: tutta la potenza P/2 viene trasmessa: La potenza del fascio trasmesso è quindi: PT = P – PR = 9.26 W. Il fascio riflesso ha poca potenza ma è polarizzato rettilineamente: il fascio

trasmesso non polarizzato contiene il 93% della potenza incidente. Se ora consideriamo anche la seconda superficie si può ripetere il ragionamento: anche in questo caso siamo con incidenza all’angolo di Brewster per cui la componente π con il campo elettrico parallelo al piano di incidenza non ha componente riflessa e viene trasmessa tutta, mentre il fascio riflesso è costituito tutto da componente σ Si avrà quindi: P(π) trasmessa = P/2 = 5 W. P(σ) riflessa = [0.74 + (5-0.74) R] W = [0.74 + 4.26*0.15] W = [0.74 + 0.64] W = 1.38 W La potenza totale PT = [5 + (5 – 1.38)] W = 8.62 W Al fascio trasmesso viene a mancare una porzione della componente σ crescente al crescere del numero di riflessioni. Il fascio riflesso è costituito da fasci paralleli ma spostati a causa dello spessore della lastra.

Esempio Un fascio luminoso di intensità I0 polarizzato rettilineamente incide normalmente su un sistema di due polarizzatori P1 e P2 i cui assi formano un angolo  = /4. L’angolo tra il campo elettrico Ei dell’onda incidente e l’asse ottico di P1 è ancora  = /4. Determinare la percentuale di energia trasmessa dal sistema P1 P2 Si applica in successione la legge di Malus: da P1 esce un’onda di intensità I1 = I0 cos2  = I0/2 e da P2 un’onda di intensità I2 = I1 cos2  = I0/4, per cui l’energia trasmessa è il 25% di quella incidente; il resto è stato assorbito e/o diffuso in ogni direzione. Esercizio Due onde luminose di 0= 0.4 m attraversano due sottili lamine traspa-renti di egual spessore L = 4 m e indici di rifrazione n1 = 1.4 e n2 = 1.6

Calcolare la i; il numero d’onde ki all’interno dei due mezzi; la differenza di tempo di percorrenza t; la differenza di fase  introdotta nell’attraversamento delle lamine. 1= 0/n1 = 0.286 m ; 2= 0/n2 = 0.25 m ; k1= k0n1= (2 / 0)n1 = 1.57 107 n1 = 2.2 107 m-1; k2= k0n2= 2.51 107 m-1 t = (L/c)(n2- n1) = 2.67 10-15 s;  = (k2-k1)L = k0L(n2-n1) = 4: le due onde sono in fase. Esercizio Un fascio di luce inizialmente in acqua (n1 = 1.33) entra in una sostanza trasparente con angolo di incidenza 1 = 37o ed il fascio rifratto esce ad un angolo 2 = 25o . Calcolare la velocità della luce nella sostanza. n2 = 1.89; v2= c/n2= 1.58 108 m/s

Esercizio Un pesce nuota sott’acqua a h = 30 cm al di sotto della superficie. Nell’ipotesi che venga osservato ad angoli  piccoli rispetto alla normale calcolare la profondità h’ apparente. Esercizio L’indice di rifrazione dell’aria è n = 1.00028. Una stella invia luce secondo una direzione che forma l’angolo 0 = 45o rispetto allo zenit. Calcolare in quale direzione  dovrà essere puntato un telescopio per vedere la stella al centro del suo campo. misurabile!

Esercizio In fig. un sottile fascio di luce incide su un sistema di tre lastre piane sovrapposte con indici n1, n2, n3= 1.55 con angolo  = 60o. Calcolare 3, 4 sin  = n1sin 1= n2sin 2= n3sin 3; sin 3= (sin )/n3; 3=34o; 4=  = 60o Un fascio di luce incide con un angolo 1 molto piccolo su una lastra di vetro trasparente a facce piane e parallele, di spessore h e indice n. Calcolare lo spostamento d del fascio all’uscita dalla lastra. Dalla ; per 1 piccolo: 1/ 2 = n; cos 2 1 per cui

Esercizio Un fascio laser incide con un angolo  = 50o sulla superficie piana di una fibra ottica di diametro d = 3 mm, lunghezza l = 50 cm ed indice n = 1.45. Calcolare il numero di riflessioni N che subisce il fascio prima di uscire dalla fibra; la lunghezza effettiva Leff del percorso della luce ed il tempo t di percorrenza. sin 1 = (sin )/n = 0.528; tg 1 = 0.622; h = d/ tg 1 = 4.82 mm; N  1/h  104; Leff = l/(cos 1)  58.9 cm; t = Leff n/c  3 ns. Esercizio Un fascio di luce incide con un angolo  = 56o su una faccia di un prisma retto; il fascio rifratto incide sull’altra faccia in modo che l’angolo di rifrazione sia di 90o con la normale. Calcolare: l’indice di rifrazione n del prisma; il massimo valore dell’indice nmax per

cui ciò è possibile. sin 1 = (sin )/n; 1 + 2 = /2; 1/n = sin 2 = sin (/2 - 1) = cos 1 da cui: Per  = /2 nmax = 1.41 Esercizio Un fascio di luce attraversa normalmente una lastra trasparente a facce piane e parallele di materiale con indice n = 1.5. Trascurando l’assorbimento del materiale calcolare la percentuale  di luce trasmessa dalla lastra. :percentuale riflessa dalla prima faccia della lastra; T = 1 – R = 0.96: percentuale trasmessa dalla prima faccia; dalla seconda faccia viene trasmessa la percentuale  = (0.96)2 = 0.92

Esercizio In fig. un sottile fascio di luce incide su una lastra a facce piane e parallele avente indice n2 = 1.5; il fascio rifratto incide su una superficie che delimita due mezzi con indici n2 ed n3: In entrambe le rifrazioni è verificata la condizione di Brewster. Calcolare n3: tg 1 = n2 = 1.5; 1 = 56.3o; sin 2 = sin 1 /n2 = 0.5547; tg 2 = 0.666 = n3/n2; n3 = 1: aria

Uno specchio sferico concavo ha raggio di curvatura R = - 20 cm Uno specchio sferico concavo ha raggio di curvatura R = - 20 cm. Trovare la posizione dell’immagine per distanze dell’oggetto dal vertice V di: s1 = 25 cm e s2= 5 cm; calcolare l’ingrandimento trasversale M di un piccolo oggetto posto nelle posizioni suddette. La distanza focale è f = -R/2 = 10 cm Per s1 = 25 cm si ha: 1/25 + 1/q1 = 1/10; q1= 16.67 cm ; M1 = -q1/s1 = -0.67; l’immagine reale si forma dalla stessa parte dello specchio in cui è l’oggetto, è più piccola e capovolta. b) Per s2 = 5 cm si ha: 1/5 + 1/q2 = 1/10; q2 = -10 cm; M2 = - q2/s2 = 2; l’immagine virtuale si forma dietro lo specchio, è diritta ed ingrandita.

Uno specchio sferico convesso ha raggio di cur-vatura R = 20 cm Uno specchio sferico convesso ha raggio di cur-vatura R = 20 cm. Trovare la posizione dell’im-magine di un piccolo oggetto posto a distanza s1= 25 cm dal vertice V dello specchio ed il suo ingrandimento trasversale. Ripetere il calcolo per s2 = 5 cm. 1/25 + 1/q1 = - 1/10; q1 = - 7.14 cm M1 = - q1/s1 = 0.29. L’immagine è virtuale, si forma tra il fuoco F ed il vertice V: è diritta e rimpicciolita. Per s2 = 5 cm, q2 = - 3.33 cm, M2 = 0.67 e valgono le stesse considerazioni.

Una signora alta h = 170 cm si specchia in uno specchio piano verticale. Calcolare l’altezza minima l dello specchio e la sua posizione rispetto a terra cui deve essere posto affinché la signora possa vedersi completamente. Si assuma che gli occhi distino 10 cm dal punto più alto della testa. Nella figura si sono tracciati i raggi estremi a e b che partendo dalla testa e dalle scarpe raggiungono gli occhi. Si vede che l’altezza dello specchio dal pavimento è h’ = ( h – 10 )/2 = 80 cm per cui lo specchio deve avere altezza minima l = h’ + d/2 = 85 cm.

Un pesciolino nuota all’interno di un vaso sferico di vetro, pieno d’acqua ( n = 1.33). Il raggio del vaso è R = 15 cm e il pesciolino si trova alla profondità p = 10 cm. Calcolare la posizione dell’immagine del pesciolino e il suo ingrandimento trasversale. Dalla ed. del diottro: n1 /p + n2 /q = (n2 – n1 )/R si ha: 1.33/10 + 1/q = (1 – 1.33)/-15 : q = -9 cm; l’immagine virtuale si forma davanti all’oggetto. Il pesciolino appare più lungo in quanto: I = n1q/n2p = -1.2

Determinare le posizioni dei fuochi per i quattro tipi di diottri possibili: Convesso: n1 < n2 f1 = n1 R/(n2-n1) f2 = n2 R /(n2-n1); R > 0 f1 > 0; f2 >0: reali Convesso n1 > n2 f1<0; f2 <0 virtuali Concavo n1 < n2 Concavo n1 > n2 f1>0; f2 >0 reali

Un pesce nuota a distanza d = 20 cm dal pelo dell’acqua Un pesce nuota a distanza d = 20 cm dal pelo dell’acqua. Calcolare la profondità apparente q. Dall’equazione del diottro: n1/s0 + n2/si = (n2 – n1)/R.applicata al diottro piano si ha: q = - (n2/n1)d si ha: q = - (1/1.33)d = -15 cm: quindi il pesce appare a 15 cm al di sotto del pelo dell’acqua

Una lente convergente simmetrica: biconvessa con R1 = 0 Una lente convergente simmetrica: biconvessa con R1 = 0.3 m, R2 = -0,3 m è fatta di vetro con n2 = 1.5. Essa è alternativamente immersa in aria (n1 = 1) o acqua (n2 = 1.33). Calcolare nei due casi la distanza focale della lente. Dalla formula Si ricava: Da cui si vede che il potere convergente è minore (la focale maggiore) quando la differenza tra gli indici di rifrazione della lente e del mezzo circostante diminuisce.

Due lenti convergenti con f1 = 15 cm e f2 = 25 cm sono distanti d = 20 cm ed hanno l’asse in comune. Un piccolo oggetto è posto a distanza p1 = 25 cm davanti alla prima lente. Calcolare la posizione dell’immagine e l’ingrandimento trasversale. Per la prima lente: 1/25 + 1/q1 = 1/15: q1 = 37.5 cm misurato rispetto alla prima lente; il punto di coordinata q1 cade a destra della seconda lente: i raggi uscenti dalla prima lente vengono intercettati dalla seconda lente e convergono a formare un’immagine reale. L’immagine della prima lente è oggetto virtuale per la seconda lente. Si ha: 1/-17.5 + 1/q2 = 1/25: q2 = 10.3 cm. L’immagine finale della seconda lente è a destra della seconda lente ed è reale. L’ingrandimento di ciascuna lente è: I1 = - q1/p1 = -1.5; I2 = - q2/p2 = 0.59 per cui I = I1I2 = -0.88: l’immagine è reale, capovolta e rimpicciolita.

Calcolare di quanto varia la distanza focale di un occhio normale quando l’occhio è accomodato per focalizzare il punto prossimo ( d = 25 cm), assumendo che quando è accomodato all’infinito sia f = 25 mm Quando p = 25 cm per avere q = 2.5 cm la focale deve essere: 1/25 + 1/2.5 = 1/f’ : f’ = 2.27 cm = 22.7 mm Per cui la distanza focale deve diminuire di Δf = -2.3 mm. Siccome vi è proporzionalità diretta tra f ed il raggio di curvatura R del cristallino deve avvenire una corrispondente diminuzione di R: ΔR/R = Δf/f = -0.11 che è effettuata dai muscoli ciliari.