Esistono 10 tipi di persone al mondo: Quelli che conoscono il codice binario & Quelli che non lo conoscono

Rappresentazione binaria dei numeri interi senza segno

00110111 37 Conversione Decimale-Binario: 55 mod 2 =1 = a0 (55 div 2) mod 2 = 27 mod 2 = 1 = a1 ((55 div 2) div 2) mod 2= (27 div 2) mod 2=13 mod 2=1= a2 (13 div 2) mod 2= 6 mod 2 = 0 =a3 (6 div 2) mod 2 = 3 mod 2 = 1 =a4 (3 div 2) mod 2 = 1 mod 2 = 1 = a5 Dunque: 5510=1101112 Conversione Binario-Esadecimale: Raggruppo i bit a blocchi di 4: 11 0111 Converto ciascun blocco in base 16 112=316 01112=716 Dunque: 1101112 = 3716

00110111 37 82 52 Conversione Binario-Decimale: 01010010 =0*20+1*21+0*22+0*23+1*24+0*25+1*26+0*27= =2+16+64=8210 Conversione Binario-Esadecimale: Raggruppo i bit a blocchi di 4: 0101 0010 Converto ciascun blocco in base 16 01012=516 00102=216 =>5216

00110111 37 82 52 167 10100111 62 Conversione Esadecimale-Binario: Traduco ciascuna cifra esadecimale in un blocco di 4 bits : A16 = 1010= 23+21=10102 716 = 710= 22+21+20=01112 Il binario corrispondente si ottiene sostituendo ciascuna cifra esadecimale con il relativo blocco di 4 bit: A716=101001112 Conversione Esadecimale-Decimale: A7 =10*161+7*160=10*16+7=167 3E = 3*161+E*161=48+14=62

Conversioni numeri razionali Conversione Decimale-Binario frazionaria: Parte Intera {(0,1 * 2)} =0 = a-1 Parte Intera {Parte Frazionaria{(0,1 * 2)}} = 0 = a-2 …. 0,1 * 2 = 0,2 -> 0 = a-1 0,2 * 2 = 0,4 -> 0 = a-2 0,4 * 2 = 0,8 -> 0 = a-3 0,8 * 2 = 1,6 -> 1 = a-4 0,6 * 2 = 1,2 -> 1 = a-5 0,2 * 2 = 0,4 -> 0 = a-6 Dunque: 0,110=0,000112 (Periodico) Conversione Binario-Decimale frazionaria: 0,1010010=0*20+1*2-1+0*2-2 + 1*2-3 + 0*2-4 + 0*2-5 + 1*2-6 + 0*2-7 = 0,6562510

Somma tra Numeri Binari Interi Positivi Regole base: 0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=0 con riporto di 1 1+1+(1)=1 con rip.1, dove (1) e’ il riporto proveniente dallo step precedente Esempio: 0 0 0 0 1 1 1 0 riporti 0 0 1 0 1 1 1 0 + 0 1 0 0 0 1 1 1 = ------------------- 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 riporti 1 0 1 0 1 1 1 0 + 1 1 0 0 0 1 1 1 = 1 1 1 1 0 1 0 1 Un trabocco indica un overflow

Sottrazione tra Numeri Binari Interi Positivi Regole base: 0-0=0 0-1=1 con prestito di 1 1-0=1 1-1=0 Esempio: 0 1 0 0 0 1 1 1 prestiti 1 0 1 0 1 1 1 0 - 0 1 0 0 0 1 1 1 = ------------------- 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 prestiti 1 0 1 0 0 1 1 0 - 1 1 0 0 0 1 1 1 = 1 1 0 1 1 1 1 1 Un trabocco indica un underflow.

Moltiplicazione tra Numeri Binari Interi Positivi 00110 x 00101 = 00110 00000 000011110 La moltiplicazione puo’ essere realizzata banalmente sommando al moltiplicando se stesso, un numero di volte pari al valore del moltiplicatore. 5*3=5+5+5=15. Assumendo che la somma abbia costo costante operando su addendi rappresentabili con un numero di bits noto a priori, tale algoritmo ha complessità computazionale pari a O(N), dove N è il valore del moltiplicatore. Se moltiplicando e moltiplicatore sono rappresentati con k bits, il prodotto può richiedere fino a un max di 2k bits per la sua rappresentazione. somme parziali

Moltiplicazione tra Numeri Binari Interi Positivi: Potenze di 2 Nel caso di moltiplicazione per potenza k-esima di 2 il risultato è uno shift a sinistra di k posizioni: 00110 x 100 = 00000 00110 0011000 00110 x 10 = 00000 00110 001100

Divisione tra Numeri Binari Interi Positivi Verifichiamo la correttezza del calcolo: 1001* 10001= 1001 0000 10011001+ 0010= (resto) 10011011 10011011 1001 1001 10001 00001011 1001 0010 quoziente resto

Divisione tra Numeri Binari Interi Positivi: Potenze di 2 Nel caso di divisione per potenza k-esima di 2 il risultato è uno shift a destra di k posizioni: 10011011 1000 1000 10011 0001101 1000 1011 11

Rappresentazione binaria dei numeri interi con segno

Proprietà della rappresentazione in complemento a 2: 101011012 = 1+4+32+128 =16510 (senza segno) 101011012=-1*(1+4+8+32)=-4510 (segno e modulo) 101011012=-1*27+1+4+32=-9110 (complemento a 2) per verificare: a) invertiamo 1 con 0 e viceversa: 0101000102, b) sommiamo 1: 0101000112=91 Proprietà della rappresentazione in complemento a 2: 1) L’operazione di cambiamento di segno è eseguibile complementando alla base 2) La sottrazione si può ricondurre ad una somma (vedi prox slide) 3) E’ possibile rappresentare lo stesso numero con un numero maggiore di bit semplicemente copiando il bit + significativo: es: -710=10012 (con 4 bit)=111110012 (con 8 bit)= 11111111111110012

Somma tra Numeri Binari in Complemento a 2 Siano a e b due numeri e sia R(a) e R(b) la rappresentazione di a e b in complemento alla base (ad es. base 2) Sommando R(a) ed R(b), e ignorando l’eventuale riporto dalla posizione più significativa, otteniamo R(a+b). A meno che non vi sia discordanza tra il segno del risultato e quello comune dei due addendi (ovvero a>0,b>0,a+b<0 oppure a<0,b<0,a+b>0): in tal caso si ha un supero di capacità. 00102+11012=11112 [2 + (-3) = -1] riporto 0000 0010+ 1101= 1111 01102+01112=OVERFLOW [6 + 7 = 13>7!] riporto 0110 0110 0111 1101 In generale per calcolare a – b basta: Trovare il complemento a 2 di b, cioè -b Sommare a+(-b)

Somma tra Numeri Binari in Complemento a 2 Siano a e b due numeri e sia R(a) e R(b) la rappresentazione di a e b in complemento alla base (ad es. base 2) Sommando R(a) ed R(b), e ignorando l’eventuale riporto dalla posizione più significativa, otteniamo R(a+b). A meno che non vi sia discordanza tra il segno del risultato e quello comune dei due addendi (ovvero a>0,b>0,a+b<0 oppure a<0,b<0,a+b>0): in tal caso si ha un supero di capacità. 11112+10002=OVERFLOW [-1 + (-8) = -9<-8] riporto 1000 1111+ 1000= 0111 01102+11112=0101 [6 + (-1) = 5] riporto 1110 0110 1111 0101 L’overflow è possibile solo se gli addendi hanno segno comune!

CORREZIONE ERRORI CODICI DI HAMMING Per “rivelare” errori di trasmissione il sistema che invia dati introduce ridondanza nelle informazioni trasmesse. Codice (n, k) con n> k => codice con parole di lunghezza n di cui k bit di informazione Un codice a distanza minima d e’ capace di rivelare errori di peso <= d-1 Dato un codice a distanza minima d esso ha una capacita’ di correzione di errori di peso <= INTINF((d-1)/2) Bits di informazione ricevuti Sistema trasmissione Generatore di chek bits (Encoder) Bits di parità Controllo dei chek bits (Decoder) p4 = I5 + I6 + I7 p2 = I3 + I6 + I7 S4 = p4 + I5 + I6 + I7 p1 = I3 + I5 + I7 S2 =p2 + I3 + I6 + I7 S1 = p1+ I3 + I5 + I7

CORREZIONE ERRORI CODICI DI HAMMING INFORMAZIONE DA INVIARE: 0110 STRINGA DI INVIO: 0110011 7 6 5 4 3 2 1 posizione X Gruppi I7 + I6 + I5 + p4 = 0 I7 + I6 + I3 + p2 = 0 I7 + I5 + I3 + p1 = 0 Bit di parità I7 I6 I5 p4 I3 p2 p1

CORREZIONE ERRORI CODICI DI HAMMING STRINGA RICEVUTA: 0110011 INFORMAZIONE RICEVUTA: 0110 ok!!!!! STRINGA RCEVUTA: 0111011 INFORMAZIONE RICEVUTA: ERRORE NEL 4 BIT, QUINDI CORREGGO E AVRO’ 0110011 ED ESTRAENDO L’INFORMAZIONE: 0110 ok!!!!! S4 = p4 + I5 + I6 + I7 S2 =p2 + I3 + I6 + I7 S1 = p1+ I3 + I5 + I7 S4 = 0 S2 = 0 S1 = 0 S4 = p4 + I5 + I6 + I7 S2 =p2 + I3 + I6 + I7 S1 = p1+ I3 + I5 + I7 S4 = 1 S2 = 0 S1 = 0